思维进阶课九 电场中功能关系及图像问题
[学习目标] 1．会分析处理电场中的功能关系。
2．理解电场中有关图像的斜率、面积等表示的物理意义，并能结合图像分析电场强度、电势和电势能的变化。
电场中功能关系的应用
1．电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
2．处理电场中能量问题的几点注意
(1)应用动能定理解决问题须研究合力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题须注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)有静电力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可能守恒。
[典例1] (2024·辽宁卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和静电力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中( )
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
[听课记录]
[典例3] (多选)(2024·山东卷)如图所示，带电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知A、C间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．O、B的距离l＝
B．O、B的距离l＝
C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgS
D．A、C之间的电势差UAC＝－
[听课记录]
[典例3] (多选)(2024·山东卷)如图所示，带电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．OB的距离l＝
B．OB的距离l＝
C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgS
D．AC之间的电势差UAC＝－
[听课记录]
电场中的图像问题
电场中的E-x图像
1．E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。
2．E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
3．电场中常见的E-x图像
(1)点电荷的E-x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。
(2)两个等量异种点电荷的E-x图像，如图所示。
(3)两个等量正点电荷的E-x图像，如图所示。
[典例4] (2025·浙江县域教研联盟高三检测)在x轴上A、B两点分别放置两电荷q1和q2，C为两电荷中垂线上一点，且AO＝BO＝CO，在x轴上的电场强度与x的关系图线如图所示，规定电场强度沿x轴正方向为正，无穷远处电势为零，则( )
A．两电荷为等量异种电荷
B．O点电势小于0
C．电子从C到O运动过程中电势能增大
D．电子从C到O运动过程中加速度先增大后减小
[听课记录]
电场中的φ-x图像
1．电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值，电场强度为0处φ-x图线存在极值，其切线的斜率为0。
2．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3．在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
4．在φ-x图像中可以判断电场类型，如图所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场。
5．在φ-x图像中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。
[典例5] (2024·湖南卷)真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是( )
A B
C D
[听课记录]
[典例6] (2025·八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子( )
A．将在a、d之间做周期性运动
B．在d点的电势能大于a点的电势能
C．在b点与c点所受静电力方向相同
D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点
[听课记录]
Ep-x图像、Ek-x图像
(1)Ep-x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k＝，其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。
(2)Ek-x图像
当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k＝，斜率表示静电力。
[典例7] (多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随x变化的关系如图所示，其中O～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是( )
A．O～x1段电势逐渐升高
B．O～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动
C．x1～x2段电场强度为零
D．x2～x3段的电势沿x轴均匀降低
[听课记录]
[典例8] (多选)如图甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
A．带电粒子与场源电荷带异种电荷
B．a点电势比b点电势高
C．a点电场强度比b点电场强度大
D．带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
[听课记录]
思维进阶课九 电场中功能关系及图像问题
进阶1
典例1 D [根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受静电力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受静电力与小球速度的夹角一直为锐角，则静电力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确。]
典例2 ACD [根据重力做功与重力势能变化关系可得WG＝W1＝－ΔEp重，小球上升过程重力做负功，小球的重力势能增加了－W1，故A正确；根据静电力做功与电势能变化关系可得W电＝W2＝－ΔEp电，带正电小球上升过程静电力做正功，小球的电势能减少了W2，故B错误；小球与弹簧组成的系统，在小球从静止开始运动到刚离开弹簧的过程中，由于静电力对小球做正功，大小为W2，小球与弹簧组成的系统机械能增加了W2，故C正确；在小球从静止开始运动到刚离开弹簧的过程中，根据能量守恒定律可知，减少的弹性势能与减少的电势能之和等于增加的重力势能与增加的动能之和，则有W2＋Ep弹＝－W1＋mv2，解得撤去F前弹簧的弹性势能为Ep弹＝mv2－W1－W2，故D正确。]
典例3 AD [小滑块在B点处的加速度为0，则沿斜面方向有 mg sin 30°＝cos 30°，解得l＝，A正确，B错误；小滑块从A到C的过程，由动能定理有W＋mgS sin 30°＝0，解得静电力对小滑块做的功为W＝－，C错误；根据静电力做功与电势差的关系结合C项分析可知，AC之间的电势差UAC＝＝－，D正确。]
进阶2
典例4 D [根据题意，由题图可知，O点左侧电场方向沿x轴正方向，O点右侧电场方向沿x轴负方向，O点电场强度为0，且AO＝BO，可知，q1、q2为等量正电荷，中垂线上的电场方向为由O点指向无穷远，根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，由于无穷远处电势为0，则O点电势大于0，故A、B错误；结合AB分析可知，电子从C到O运动过程中静电力做正功，电势能减小，故C错误；根据题意，设AO＝BO＝CO＝L，q1＝q2＝Q，由点电荷电场强度公式和电场强度叠加原理可得，此时C点电场强度为EC＝·，在CO连线上取一点D，令∠DAB＝30°，由点电荷电场强度公式和电场强度叠加原理可得，此时D点电场强度为ED＝·，可知ED>EC，结合等量同种电荷连线中垂线上的电场强度情况可知，从C到O电场强度先增大后减小，则电子从C到O运动过程中加速度先增大后减小，故D正确。]
典例5 D [无限远处电势为0，根据点电荷的电势公式φ＝k可知，x正半轴上，电荷量为＋4q的点电荷在x处的电势为φ1＝k，电荷量为－q的点电荷在x处的电势为φ2＝－k，x正半轴上在x处的电势φx＝k－k，可知在x＝处电势为0，在x＝0处电势接近负无穷大，则选项D正确。]
典例6 A [由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；φx图像斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，可知粒子在b点与c点所受静电力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，粒子仅受静电力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能均为0，即粒子将在a、d之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。故选A。]
典例7 ACD [电势能Ep＝φq，由于微粒带正电，O～x1段电势能变大，所以电势升高，A正确；根据ΔEp＝FΔx，图线斜率反映静电力，O～x1段图线斜率变小，静电力减小，加速度逐渐减小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B错误；x1～x2段斜率为零，不受静电力，即电场强度为零，C正确；x2～x3段的电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀降低，D正确。]
典例8 CD [粒子从a点向b点运动，Ekx图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点电场强度比b点电场强度大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的电性，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确。]
2 / 7(共72张PPT)
第八章 静电场
思维进阶课九 电场中功能关系及图像问题
[学习目标] 1．会分析处理电场中的功能关系。
2．理解电场中有关图像的斜率、面积等表示的物理意义，并能结合图像分析电场强度、电势和电势能的变化。
进阶1 电场中功能关系的应用
1．电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量。
2．处理电场中能量问题的几点注意
(1)应用动能定理解决问题须研究合力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题须注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)有静电力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可能守恒。
[典例1] (2024·辽宁卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和静电力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中( )
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
√
D [根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受静电力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受静电力与小球速度的夹角一直为锐角，则静电力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确。]
[典例2] (多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F将小球向下压至某位置静止。现撤去F，小球沿竖直方向运动，在小球由释放到刚离开弹簧的过程中，重力、静电力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离
开弹簧时的速度为v，不计空气阻力，则下列
说法正确的是( )
A．小球的重力势能增加－W1
B．小球的电势能增加W2
C．小球与弹簧组成的系统的机械能增加W2
D．撤去F前弹簧的弹性势能为mv2－W1－W2
√
√
√
ACD [根据重力做功与重力势能变化关系可得WG＝W1＝－ΔEp重，小球上升过程重力做负功，小球的重力势能增加了－W1，故A正确；根据静电力做功与电势能变化关系可得W电＝W2＝－ΔEp电，带正电小球上升过程静电力做正功，小球的电势能减少了W2，故B错误；小球与弹簧组成的系统，在小球从静止开始运动到刚离开弹簧的过程中，由于静电力对小球做正功，大小为W2，小球与弹簧组成的系统机械能增加了W2，故C正确；在小球从静止开始运动到刚离开弹
簧的过程中，根据能量守恒定律可知，减少的弹性势能与减少的电势能之和等于增加的重力势能与增加的动能之和，则有W2＋Ep弹＝－W1＋mv2，解得撤去F前弹簧的弹性势能为Ep弹＝mv2－W1－W2，故D正确。]
[典例3] (多选)(2024·山东卷)如图所示，带电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知A、C间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．O、B的距离l＝
B．O、B的距离l＝
C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgS
D．A、C之间的电势差UAC＝－
√
√
AD [小滑块在B点处的加速度为0，则沿斜面方向有 mg sin 30°＝cos 30°，解得l＝，A正确，B错误；小滑块从A到C的过程，由动能定理有W＋mgS sin 30°＝0，解得静电力对小滑块做的功为W＝－，C错误；根据静电力做功与电势差的关系结合C项分析可知，AC之间的电势差UAC＝＝－，D正确。]
进阶2 电场中的图像问题
角度1 电场中的E-x图像
1．E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。
2．E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
3．电场中常见的E-x图像
(1)点电荷的E-x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。
(2)两个等量异种点电荷的E-x图像，如图所示。
(3)两个等量正点电荷的E-x图像，如图所示。
[典例4] (2025·浙江县域教研联盟高三检测)在x轴上A、B两点分别放置两电荷q1和q2，C为两电荷中垂线上一点，且AO＝BO＝CO，在x轴上的电场强度与x的关系图线如图所示，规定电场强度沿x轴正方向为正，无穷远处电势为零，则( )
A．两电荷为等量异种电荷
B．O点电势小于0
C．电子从C到O运动过程中电势能增大
D．电子从C到O运动过程中加速度先增大后减小
√
D [根据题意，由题图可知，O点左侧电场方向沿x轴正方向，O点右侧电场方向沿x轴负方向，O点电场强度为0，且AO＝BO，可知，q1、q2为等量正电荷，中垂线上的电场方向为由O点指向无穷远，根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，由于无穷远处电势为0，则O点电势大于0，故A、B错误；结合AB分析可知，电子从C到O运动过程中静电力做正功，电势能减小，故C错误；根据题意，设AO＝BO＝CO＝L，q1＝q2＝Q，由点电荷电场强度公式和电场强度叠加
原理可得，此时C点电场强度为EC＝·，在CO连线上取一点D，令∠DAB＝30°，由点电荷电场强度公式和电场强度叠加原理可得，此时D点电场强度为ED＝·，可知ED>EC，结合等量同种电荷连线中垂线上的电场强度情况可知，从C到O电场强度先增大后减小，则电子从C到O运动过程中加速度先增大后减小，故D正确。]
角度2 电场中的φ-x图像
1．电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值，电场强度为0处φ-x图线存在极值，其切线的斜率为0。
2．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3．在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
4．在φ-x图像中可以判断电场类型，如图所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场。
5．在φ-x图像中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。
[典例5] (2024·湖南卷)真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是( )
A B
C D
√
D [无限远处电势为0，根据点电荷的电势公式φ＝k可知，x正半轴上，电荷量为＋4q的点电荷在x处的电势为φ1＝k，电荷量为
－q的点电荷在x处的电势为φ2＝－k，x正半轴上在x处的电势φx＝k－k，可知在x＝处电势为0，在x＝0处电势接近负无穷大，则选项D正确。]
[典例6] (2025·八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子( )
A．将在a、d之间做周期性运动
B．在d点的电势能大于a点的电势能
C．在b点与c点所受静电力方向相同
D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点
√
A [由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，可知粒子在b点与c点所受静电力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，粒子仅受静电力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能均为0，即粒子将在a、d之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。故选A。]
角度3 Ep-x图像、Ek-x图像
(1)Ep-x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k＝，其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。
(2)Ek-x图像
当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k＝，斜率表示静电力。
[典例7] (多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随x变化的关系如图所示，其中O～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是( )
A．O～x1段电势逐渐升高
B．O～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动
C．x1～x2段电场强度为零
D．x2～x3段的电势沿x轴均匀降低
√
√
√
ACD [电势能Ep＝φq，由于微粒带正电，O～x1段电势能变大，所以电势升高，A正确；根据ΔEp＝FΔx，图线斜率反映静电力，O～x1段图线斜率变小，静电力减小，加速度逐渐减小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B错误；x1～x2段斜率为零，不受静电力，即电场强度为零，C正确；x2～x3段的电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀降低，D正确。]
[典例8] (多选)如图甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
A．带电粒子与场源电荷带异种电荷
B．a点电势比b点电势高
C．a点电场强度比b点电场强度大
D．带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
√
√
CD [粒子从a点向b点运动，Ek-x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点电场强度比b点电场强度大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的电性，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确。]
思维进阶特训(九)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．如图所示，空间有一带正电的点电荷，图中的实线是以该点电荷为圆心的同心圆，这些同心圆位于同一竖直平面内，MN为一粗糙直杆，A、B、C、D是杆与实线圆的交点，一带正电的小球(视为质点)穿在杆上，以速度v0从A点开始沿杆向上运动，到达
C点时的速度为v，则小球由A点运动到C点的
过程中，下列说法正确的是( )
12
A．小球减少的机械能一定等于克服摩擦力做的功
B．小球减少的机械能一定大于克服摩擦力做的功
C．小球的机械能守恒
D．小球的机械能增大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B [小球由A点运动到C点，静电力做的总功为负功，电势能增加，摩擦力做负功，产生热量，由能量守恒定律知，小球减少的机械能等于增加的电势能与产生的热量之和，故A错误，B正确；静电力和摩擦力都做负功，机械能一定减少，故C、D错误。]
2．(2024·江西南昌摸底测试)如图(a)所示，空间中存在一平行于xOy平面的匀强电场。若x轴、y轴上的电势分布分别如图(b)、图(c)所示，则电场强度大小为( )
A．2.5 V/m
B．250 V/m
C．3.5 V/m
D．350 V/m
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B [由φ-x图线、φ-y图线斜率的绝对值表示电场强度大小可知，Ex＝ V/m＝200 V/m，Ey＝ V/m＝150 V/m，由电场强度叠加原理可知E＝＝250 V/m，B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(2024·河南重点中学一模联考)两个点电荷固定在x轴上的M、N点，x轴上各点的电场强度E与各点位置坐标x之间的关系如图所示。取x轴正方向为电场强度的正方向，无穷远处电势为零，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．固定在M点的点电荷电荷量比固定在N点的点电荷电荷量小
B．Q点的电势等于零
C．从C点由静止释放一正点电荷，仅在静电力作用下，到D点前它将一直做加速运动
D．从P点由静止释放一负点电荷，仅在静电力作用下，在它向左运动过程中电势能将一直减小
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C [M、N连线中点处电场强度大于0，且两点间电场强度最小位置处距离N点较近，可知，固定在M点的点电荷电荷量比固定在N点的点电荷电荷量大，故A错误；若有一正点电荷由Q点向右侧无穷远处运动，静电力做正功，电势能不断减小，一直到零，所以Q点的电势大于零，故B错误；从C点由静止释放一正点电荷，仅在静电力作用下，到D点前电场强度一直为正值，则电场强度方向不变，静电力方向不变，它将一直做加速运动，故C正确；从P点由静止释放一负点电荷，仅在静电力作用下，在它由Q向N运动过程中静电力做负功，电势能增大，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿绝缘斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了10 J，金属块克服摩擦力做功5 J，重力做功20 J，则以下判断正确的是( )
A．静电力做功5 J
B．合力做功15 J
C．金属块的机械能减少10 J
D．金属块的电势能增加5 J
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
CD [根据动能定理W合＝WG＋Wf＋WF＝ΔEk，则合力做功为W合＝ΔEk＝10 J，故B错误；重力做正功WG＝20 J，摩擦力做负功Wf＝
－5 J，故静电力做功WF＝－5 J，即静电力做功－5 J，电势能增加5 J，故A错误，D正确；除重力外静电力与摩擦力做的总功为
－10 J，机械能减少10 J，故C正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．如图所示，竖直面内，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，不计空气阻力，则小球从M运动到N的过程( )
A．动能增加mv2
B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2
D．电势能增加2mv2
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B [小球动能的增加量为ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减少的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔE′p＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(多选)(2025·四川巴中模拟)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点由静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A B
C D
√
√
BD [带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则静电力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；静电力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；由Ek-x图像斜率绝对值表示静电力大小，斜率正负表示静电力方向，由题图可知，电场强度先减小后增大，方向一直为正方向，静电力F＝qE，先减小后增大，一直为正方向，与题图中电场强度沿x轴变化一致，B正确；由能量守恒定律有E0＝Ek＋Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(多选)在匀强电场中，一电子从原点O由静止释放，仅在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图所示，则( )
A．电场强度方向沿x轴正方向
B．电场强度大小为2.5 N/C
C．x＝5 m处的电势为0
D．电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，动能增加了8 eV
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
CD [根据静电力做功与电势能的变化关系可知，电子仅在静电力作用下沿x轴正方向运动，电势能减小，则静电力做正功，因此电场强度方向沿 x轴负方向，故A错误；该电场为匀强电场，根据公式W＝qEx可知，电场强度大小E＝＝＝2 N/C，故B错误；由题图可知，x＝5 m处的电势能Ep为零，根据公式Ep＝qφ可知，x＝5 m处的电势φ＝＝0，故C正确；电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，只有静电力做功，电势能减小了8 eV，则动能增加了8 eV，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(多选)(2024·1月九省联考甘肃卷)用于医学成像的X射线是由电子加速后轰击重金属靶产生的。图(a)中M、N是电子被电场加速过程中一条电场线上的两点。电子在静电力的作用下从M点运动到N点，其运动的v-t图像如图(b)所示，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．M点的电场强度大于N点的电场强度
B．M点的电势高于N点的电势
C．电子从M点运动到N点静电力做负功
D．电子在M点的电势能大于N点的电势能
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AD [根据v-t图像的变化特点可知，从M点运动到N点电子做加速度减小的加速运动，电子在M、N两点的加速度大小关系为aM>aN，电子仅受静电力的作用，则qEM＝maM，qEN＝maN，得EM>EN，故A正确；由题图(b)可知电子的速度在增大，根据动能定理可知从M点运动到N点静电力对电子做正功，即WMN＝－qUMN>0，则UMN＝φM－φN<0，得φM<φN，故B、C错误；根据静电力做功与电势能变化的关系W＝－ΔEp，因为静电力做正功，电势能减小，即得ΔEp＝EpN－EpM<0，则EpM>EpN，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(多选)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示。取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．a、c两点的电场强度相同
B．q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍
C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零
D．将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BC [φ-x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，由题图可知，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；由题图可知，题图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2025·八省联考四川卷)如图所示，竖直平面内有一光滑绝缘轨道，取竖直向上为y轴正方向，轨道形状满足曲线方程y＝x2。质量为m、电荷量为q(q>0)的小圆环套在轨道上，空间有与x轴平行的匀强电场，电场强度大小E＝2mg/q，圆环恰能静止在坐标(1，1)处，不计空气阻力，重力加速度g大小取10 m/s2。若圆环由(3，9)处静止释放，则( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．恰能运动到(－3，9)处
B．在(1，1)处加速度为零
C．在(0，0)处速率为10 m/s
D．在(－1，1)处机械能最小
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D [由题意可知，圆环所受的静电力平行于x轴向右，如图所示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
圆环所受重力与静电力的合力为G′＝＝mg，又tan θ＝＝2，根据题意可知，坐标(1，1)处是等效最低点，过(1，1)做轨道的切线，再过坐标(3，9)作该切
线的平行线，如图所示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
根据题意写出该平行线的方程为y－9＝tan θ·(x－3)，即y＝2x＋3，设该平行线与轨道的交点为A，则A点的坐标满足方程y＝2x＋3，y＝x2，解得A点的坐标为(－1，1)，则圆环恰能运动到坐标(－1，1)处。又圆环运动到该点时克服静电力做功最多，故机械能最小，故A错误，D正确；圆环做曲线运动，在(1，1)处加速度一定不为零，故B错误；设圆环到达(0，0)处时的速度大小为v，则圆环由(3，9)处静止释放运动到(0，0)处的过程，由动能定理得mgy－qEx＝mv2，又E＝，联立解得v＝2 m/s，故C错误。故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(多选)(2024·江西卷)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x＝x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep＝k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．最低点的位置x＝
B．速率达到最大值时的位置x＝
C．最后停留位置x的区间是≤x≤
D．若在最低点能返回，则初始电势能Ep0＜(mg－f )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BD [小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据能量守恒定律有mg(x0－x)＝f(x0－x)＋，解得x＝，A错误；小球甲第一次向下运动至速度最大的位置，此时加速度为零，根据平衡条件有mg＝f＋，解得x＝，B正确；若小球甲停止是在下降的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＋f＝，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
解得x1＝，若小球甲停止是在上升的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＝＋f，解得x2＝，因此小球甲最后停留位置x的区间为≤x≤，C错误；若小球甲在最低点能返
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
回，则有>mg＋f，解得x<，结合A项分析可知x＝，则有＜，可得初始电势能Ep0＝<(mg－f )，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．如图所示，等量异种点电荷分别固定在水平线上的M、N两点处，O点位于M、N连线中点B的正上方且与B点之间的距离为L，质量为m、带电荷量为＋q(可视为点电荷)的小球固定在长度为L的绝缘轻质细杆的一端，细杆另一端可绕过O点且与M、N连线垂直的水平轴无摩擦转动。现在把杆拉起到水平位置，由静止释放，小球经过最低点B时速度为v。取O点电势为零，忽略小球所带电荷量对等量异种点电荷所形成的电场的影响，不计空气阻力，重力加速度为g。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(1)求小球在经过B点时对杆的拉力大小；
(2)在等量异种点电荷形成的电场中，求A点的电势φA；
(3)小球继续向左摆动，求其经过与A等高的C点时的速度大小。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解析] (1)小球经过B点时，在竖直方向上，有
F－mg＝m
由牛顿第三定律可知，小球对细杆的拉力大小
F′＝F＝mg＋m。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)O点电势为零，而OB在M、N连线的垂直平分线上，故B点的电势φB＝0
对小球从A点运动到B点的过程，由动能定理得mgL＋q(φA－φB)＝mv2
解得φA＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(3)由电场的对称性可得φC＝－φA
所以UAC＝2φA
对小球从A点运动到C点的过程，由动能定理得qUAC＝
解得vC＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[答案] (1)mg＋m (2) (3)
谢 谢 ！思维进阶特训(九)
1．如图所示，空间有一带正电的点电荷，图中的实线是以该点电荷为圆心的同心圆，这些同心圆位于同一竖直平面内，MN为一粗糙直杆，A、B、C、D是杆与实线圆的交点，一带正电的小球(视为质点)穿在杆上，以速度v0从A点开始沿杆向上运动，到达C点时的速度为v，则小球由A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球减少的机械能一定等于克服摩擦力做的功
B．小球减少的机械能一定大于克服摩擦力做的功
C．小球的机械能守恒
D．小球的机械能增大
2．(2024·江西南昌摸底测试)如图(a)所示，空间中存在一平行于xOy平面的匀强电场。若x轴、y轴上的电势分布分别如图(b)、图(c)所示，则电场强度大小为( )
A．2.5 V/m B．250 V/m
C．3.5 V/m D．350 V/m
3．(2024·河南重点中学一模联考)两个点电荷固定在x轴上的M、N点，x轴上各点的电场强度E与各点位置坐标x之间的关系如图所示。取x轴正方向为电场强度的正方向，无穷远处电势为零，下列说法正确的是( )
A．固定在M点的点电荷电荷量比固定在N点的点电荷电荷量小
B．Q点的电势等于零
C．从C点由静止释放一正点电荷，仅在静电力作用下，到D点前它将一直做加速运动
D．从P点由静止释放一负点电荷，仅在静电力作用下，在它向左运动过程中电势能将一直减小
4．(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿绝缘斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了10 J，金属块克服摩擦力做功5 J，重力做功20 J，则以下判断正确的是( )
A．静电力做功5 J
B．合力做功15 J
C．金属块的机械能减少10 J
D．金属块的电势能增加5 J
5．如图所示，竖直面内，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，不计空气阻力，则小球从M运动到N的过程( )
A．动能增加mv2
B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2
D．电势能增加2mv2
6．(多选)(2025·四川巴中模拟)有一电场在x轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子(不计重力)从O点由静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则关于该电场在x轴上各点的电势φ、带电粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x变化的图像，正确的是( )
A B
C D
7．(多选)在匀强电场中，一电子从原点O由静止释放，仅在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图所示，则( )
A．电场强度方向沿x轴正方向
B．电场强度大小为2.5 N/C
C．x＝5 m处的电势为0
D．电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，动能增加了8 eV
8．(多选)(2024·1月九省联考甘肃卷)用于医学成像的X射线是由电子加速后轰击重金属靶产生的。图(a)中M、N是电子被电场加速过程中一条电场线上的两点。电子在静电力的作用下从M点运动到N点，其运动的v-t图像如图(b)所示，下列说法正确的是( )
A．M点的电场强度大于N点的电场强度
B．M点的电势高于N点的电势
C．电子从M点运动到N点静电力做负功
D．电子在M点的电势能大于N点的电势能
9．(多选)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15 cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示。取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是( )
A．a、c两点的电场强度相同
B．q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍
C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零
D．将一负电荷从c点移到d点，电势能增大
10．(2025·八省联考四川卷)如图所示，竖直平面内有一光滑绝缘轨道，取竖直向上为y轴正方向，轨道形状满足曲线方程y＝x2。质量为m、电荷量为q(q>0)的小圆环套在轨道上，空间有与x轴平行的匀强电场，电场强度大小E＝2mg/q，圆环恰能静止在坐标(1，1)处，不计空气阻力，重力加速度g大小取10 m/s2。若圆环由(3，9)处静止释放，则( )
A．恰能运动到(－3，9)处
B．在(1，1)处加速度为零
C．在(0，0)处速率为10 m/s
D．在(－1，1)处机械能最小
11．(多选)(2024·江西卷)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x＝x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep＝k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是( )
A．最低点的位置x＝
B．速率达到最大值时的位置x＝
C．最后停留位置x的区间是≤x≤
D．若在最低点能返回，则初始电势能Ep0＜(mg－f )
12．如图所示，等量异种点电荷分别固定在水平线上的M、N两点处，O点位于M、N连线中点B的正上方且与B点之间的距离为L，质量为m、带电荷量为＋q(可视为点电荷)的小球固定在长度为L的绝缘轻质细杆的一端，细杆另一端可绕过O点且与M、N连线垂直的水平轴无摩擦转动。现在把杆拉起到水平位置，由静止释放，小球经过最低点B时速度为v。取O点电势为零，忽略小球所带电荷量对等量异种点电荷所形成的电场的影响，不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)求小球在经过B点时对杆的拉力大小；
(2)在等量异种点电荷形成的电场中，求A点的电势φA；
(3)小球继续向左摆动，求其经过与A等高的C点时的速度大小。
思维进阶特训(九)
1．B [小球由A点运动到C点，静电力做的总功为负功，电势能增加，摩擦力做负功，产生热量，由能量守恒定律知，小球减少的机械能等于增加的电势能与产生的热量之和，故A错误，B正确；静电力和摩擦力都做负功，机械能一定减少，故C、D错误。]
2．B [由φ-x图线、φ-y图线斜率的绝对值表示电场强度大小可知，Ex＝ V/m＝200 V/m，Ey＝ V/m＝150 V/m，由电场强度叠加原理可知E＝＝250 V/m，B正确。]
3．C [M、N连线中点处电场强度大于0，且两点间电场强度最小位置处距离N点较近，可知，固定在M点的点电荷电荷量比固定在N点的点电荷电荷量大，故A错误；若有一正点电荷由Q点向右侧无穷远处运动，静电力做正功，电势能不断减小，一直到零，所以Q点的电势大于零，故B错误；从C点由静止释放一正点电荷，仅在静电力作用下，到D点前电场强度一直为正值，则电场强度方向不变，静电力方向不变，它将一直做加速运动，故C正确；从P点由静止释放一负点电荷，仅在静电力作用下，在它由Q向N运动过程中静电力做负功，电势能增大，故D错误。]
4．CD [根据动能定理W合＝WG＋Wf＋WF＝ΔEk，则合力做功为W合＝ΔEk＝10 J，故B错误；重力做正功WG＝20 J，摩擦力做负功Wf＝－5 J，故静电力做功WF＝－5 J，即静电力做功－5 J，电势能增加5 J，故A错误，D正确；除重力外静电力与摩擦力做的总功为－10 J，机械能减少10 J，故C正确。]
5．B [小球动能的增加量为ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减少的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔE′p＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。]
6．BD [带正电的粒子(不计重力)从O点静止释放，仅在静电力的作用下，带电粒子沿x轴运动，则静电力方向沿x轴正方向，电场线方向沿x轴正方向。沿电场线方向电势降低，A错误；静电力做正功，动能增加，电势能减小，C错误；由Ek-x图像斜率绝对值表示静电力大小，斜率正负表示静电力方向，由题图可知，电场强度先减小后增大，方向一直为正方向，静电力F＝qE，先减小后增大，一直为正方向，与题图中电场强度沿x轴变化一致，B正确；由能量守恒定律有E0＝Ek＋Ep，动能与电势能之和E0不变，D正确。]
7．CD [根据静电力做功与电势能的变化关系可知，电子仅在静电力作用下沿x轴正方向运动，电势能减小，则静电力做正功，因此电场强度方向沿 x轴负方向，故A错误；该电场为匀强电场，根据公式W＝qEx可知，电场强度大小E＝＝＝2 N/C，故B错误；由题图可知，x＝5 m处的电势能Ep为零，根据公式Ep＝qφ可知，x＝5 m处的电势φ＝＝0，故C正确；电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，只有静电力做功，电势能减小了8 eV，则动能增加了8 eV，故D正确。]
8．AD [根据v-t图像的变化特点可知，从M点运动到N点电子做加速度减小的加速运动，电子在M、N两点的加速度大小关系为aM>aN，电子仅受静电力的作用，则qEM＝maM，qEN＝maN，得EM>EN，故A正确；由题图(b)可知电子的速度在增大，根据动能定理可知从M点运动到N点静电力对电子做正功，即WMN＝－qUMN>0，则UMN＝φM－φN<0，得φM<φN，故B、C错误；根据静电力做功与电势能变化的关系W＝－ΔEp，因为静电力做正功，电势能减小，即得ΔEp＝EpN－EpM<0，则EpM>EpN，故D正确。]
9．BC [φ-x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，由题图可知，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；由题图可知，题图中d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。]
10．D [由题意可知，圆环所受的静电力平行于x轴向右，如图所示
圆环所受重力与静电力的合力为G′＝＝mg，又tan θ＝＝2，根据题意可知，坐标(1，1)处是等效最低点，过(1，1)做轨道的切线，再过坐标(3，9)作该切线的平行线，如图所示
根据题意写出该平行线的方程为y－9＝tan θ·(x－3)，即y＝2x＋3，设该平行线与轨道的交点为A，则A点的坐标满足方程y＝2x＋3，y＝x2，解得A点的坐标为(－1，1)，则圆环恰能运动到坐标(－1，1)处。又圆环运动到该点时克服静电力做功最多，故机械能最小，故A错误，D正确；圆环做曲线运动，在(1，1)处加速度一定不为零，故B错误；设圆环到达(0，0)处时的速度大小为v，则圆环由(3，9)处静止释放运动到(0，0)处的过程，由动能定理得mgy－qEx＝mv2，又E＝，联立解得v＝2 m/s，故C错误。故选D。]
11．BD [小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据能量守恒定律有mg(x0－x)＝f(x0－x)＋，解得x＝，A错误；小球甲第一次向下运动至速度最大的位置，此时加速度为零，根据平衡条件有mg＝f＋，解得x＝，B正确；若小球甲停止是在下降的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＋f＝，解得x1＝，若小球甲停止是在上升的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＝＋f，解得x2＝，因此小球甲最后停留位置x的区间为≤x≤，C错误；若小球甲在最低点能返回，则有>mg＋f，解得x<，结合A项分析可知x＝，则有＜，可得初始电势能Ep0＝<(mg－f )，D正确。]
12．解析：(1)小球经过B点时，在竖直方向上，有
F－mg＝m
由牛顿第三定律可知，小球对细杆的拉力大小
F′＝F＝mg＋m。
(2)O点电势为零，而OB在M、N连线的垂直平分线上，故B点的电势φB＝0
对小球从A点运动到B点的过程，由动能定理得mgL＋q(φA－φB)＝mv2
解得φA＝。
(3)由电场的对称性可得φC＝－φA
所以UAC＝2φA
对小球从A点运动到C点的过程，由动能定理得qUAC＝
解得vC＝。
答案：(1)mg＋m (2) (3)
6 / 6
