第1课时 集合
[考试要求] 1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集．4．能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号___和___表示．
(3)集合的三种常用表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)五个特定的数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N _____________________ ___ ___ ___
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__________________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B或(B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但______元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B或(B?A)．
(3)相等：若A B，且_________，则A＝B．
提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．
3．集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
集合 表示 A∪B＝ ________________________________ A∩B＝ ________________________________ UA＝ ________________________________
[常用结论]
1．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
2．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
3．( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)；( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}． ( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． ( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1． ( )
(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P13练习T1改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{x∈Z|1＜x≤5}， UB＝{1，3，5，7}，则A∩B＝( )
A．2 B．{2，4}
C．{2} D．{2，4，6}
2．(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2，3，4}的子集有( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．9个
3．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是( )
A．1∈A B．{－1} A
C． A D．{－1，1} A
4．(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，则 R(A∪B)＝________，( RA)∩B＝________．
考点一 集合的概念
[典例1] (1)(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为( )
A．－1，2 B．－3
C．－1，－3，2 D．－3，2
(2)(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
[跟进训练]
1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，则M＝( )
A．{1} B．{2}
C．{1，2} D．{1，2，3}
(2)(2025·山东青岛二中模拟)已知x∈{1，2，x2}，则x的取值为( )
A．1 B．1或2
C．0或2 D．0或1或2
考点二 集合间的基本关系
[典例2] (1)(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则( )
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值范围是________．
[拓展变式] 在本例(2)中，若把B A改为B?A，则实数m的取值范围是________．
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
[跟进训练]
2．(1)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(1)改编)已知＝{b}，其中a，b∈R，则b＝( )
A．0 B．或
C．
(2)(2025·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若A?C?B，写出一个符合条件的集合C，则C＝________．(写出一个即可)
考点三 集合的基本运算
集合的运算
[典例3] (1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
(2)(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝( )
A． B．
C． D．
(3)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A U，B U，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用集合的运算求参数
[典例4] 已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]
C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4]
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．
(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了．
(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)端点值验证．
[跟进训练]
3．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
(2)(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．
考点四 Venn图的应用及创新性问题
[典例5] (1)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题．
[跟进训练]
4．(1)(2025·湖南长沙模拟)已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝A D．( UB)∪A＝A
(2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名，则阅读过《西游记》的学生人数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
第1课时 集合
梳理·必备知识
1．(2)∈ (4)N*(或N＋) Z Q R
2．(1)任意一个元素 (2)存在 x A (3)B A
3．{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)×
二、1．B [由题意得A＝{2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，故A∩B＝{2，4}．故选B.]
2．C [集合A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C.]
3．ABC
4．{x|x≤2或x≥10} {x|2＜x＜3或9≤x＜10} [由题意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}，可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以 R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
又由 RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以( RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．]
考点一
典例1 (1)D (2)2 [(1)集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，4∈A，∴a2－a＋2＝4或1－a＝4，
当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2，
若a＝－1，则1－a＝2，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；
若a＝2，则集合A＝{2，4，－1}，满足题意；
当1－a＝4时，a＝－3，a2－a＋2＝14，集合A＝{2，14，4}，满足题意，综上所述，a＝2或a＝－3.故选D.
(2)当x＝1，y＝1，2，4时，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A，
当x＝2，y＝1时可满足x－y＝1∈A，
当x＝2，y＝2时，x－y＝0，当x＝2，y＝4时，x－y＝－2均不满足x－y∈A，
当x＝4，y＝2时可满足x－y＝2∈A，当x＝4，y＝1时，x－y＝3，当x＝4，y＝4时，x－y＝0均不满足x－y∈A，
所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个．]
跟进训练
1．(1)A (2)C [(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x Q}，∴M＝{1}．故选A.
(2)由元素和集合关系可知：x＝1或x＝2或x＝x2，
解得x＝0或1或2，由集合元素的性质可知，当x＝1时，{1，2，1}不满足互异性，所以x的取值为0或2.故选C.]
考点二
典例2 (1)A (2)[－1，＋∞) [(1)M＝＝，N＝＝，
因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M N．故选A．
(2)∵B A，∴①当B＝ 时，2m－1>m＋1，解得m>2；
②当B≠ 时，解得－1≤m≤2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]
拓展变式
[－1，＋∞) [∵B?A，∴①当B＝ 时，2m－1>m＋1，所以m>2；
②当B≠ 时，
或解得－1≤m≤2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]
跟进训练
2．(1)B (2){x|1≤x≤4}(答案不唯一) [(1)由题意知，b为方程ax2－4x＋1＝0的根．
当a＝0时，b＝；
当a≠0时，二次方程有两个相等的根，则有此时b＝．故选B．
(2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，
若A?C?B，则可有C＝{x|1≤x≤4}(答案不唯一)．]
考点三
考向1 典例3 (1)C (2)D (3){1，2，3，5，8，9} [(1)由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C．
(2)因为A＝，B＝{x|∈A}，
所以B＝，则A∩B＝{1，4，9}，
A＝．故选D．
(3)由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示．
由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．]
考向2 典例4 D [集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A B，作出数轴如图．
可知－≥2，即a≤－4．故选D．]
跟进训练
3．(1)A (2)5 [(1)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以 U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A．
(2)由A∩B＝A，则A B，
由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
故有即即m≥5，
即m的最小值为5．]
考点四
典例5 (1)B (2)8 [(1)因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，
所以A－＝，有2个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4．故选B．
(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．]
跟进训练
4．(1)D (2)B [(1)由A，B是全集U的两个非空真子集，( UA)∪B＝B，得 UA B，
如图，当 UA≠B时，A∩B≠ ，A错误；
观察图形A∩B≠B，A∪B＝U≠A，BC错误；
由 UA B，得 UB A，因此( UB)∪A＝A，D正确．
故选D．
(2)根据题意作出Venn图，如图，
所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70．故选B．]
6/6(共74张PPT)
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
[教师备选资源]
新高考卷三年考情图解
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
高考命题规律把握
1．常考点：集合．
常与一元二次不等式交汇命题，主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、补运算．
2．轮考点： 常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式．
(1)充分、必要条件的判断常与数列、平面向量等知识交汇命题，注重对基本概念、基本性质的考查；
(2)全称量词与存在量词命题常考查其否定形式的识别；
(3)不等式的性质主要是数(式)的大小比较；
(4)基本不等式主要体现在求代数式的最值．
第1课时
集合
[考试要求]
1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集．
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号__和__表示．
(3)集合的三种常用表示方法：列举法、描述法和图示法．
链接教材·夯基固本
∈
(4)五个特定的数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N __________ __ __ __
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B或(B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但____元素x∈B，且____，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B或(B?A)．
(3)相等：若A B，且____，则A＝B．
任意一个元素
存在
x A
B A
提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．
3．集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
集合 表示 A∪B＝ _______________ A∩B＝ _______________ UA＝
________________
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x A}
[常用结论]
1．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
2．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
3．( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)；( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}． ( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． ( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1． ( )
(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}． ( )
×
×
×
×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P13练习T1改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{x∈Z|1＜x≤5}， UB＝{1，3，5，7}，则A∩B＝
( )
A．2 B．{2，4}
C．{2} D．{2，4，6}
√
B [由题意得A＝{2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，故A∩B＝{2，4}．故选B．]
2．(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2，3，4}的子集有
( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．9个
√
C [集合A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是( )
A．1∈A B．{－1} A
C． A D．{－1，1} A
√
√
√
4．(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，则 R(A∪B)＝_________________，( RA)∩B＝__________________________．
{x|x≤2或x≥10} {x|2＜x＜3或9≤x＜10} [由题意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}，可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以 R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
又由 RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以( RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．]
{x|x≤2或x≥10}
{x|2＜x＜3或9≤x＜10}
考点一 集合的概念
[典例1] (1)(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，
1－a}，若4∈A，则a的值为( )
A．－1，2 B．－3
C．－1，－3，2 D．－3，2
(2)(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________．
典例精研·核心考点
√
2
(1)D (2)2 [(1)集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，4∈A，∴a2－a＋2＝4或1－a＝4，
当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2，
若a＝－1，则1－a＝2，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；
若a＝2，则集合A＝{2，4，－1}，满足题意；
当1－a＝4时，a＝－3，a2－a＋2＝14，集合A＝{2，14，4}，满足题意，综上所述，a＝2或a＝－3．故选D．
(2)当x＝1，y＝1，2，4时，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A，
当x＝2，y＝1时可满足x－y＝1∈A，
当x＝2，y＝2时，x－y＝0，当x＝2，y＝4时，x－y＝－2均不满足x－y∈A，
当x＝4，y＝2时可满足x－y＝2∈A，当x＝4，y＝1时，x－y＝3，当x＝4，y＝4时，x－y＝0均不满足x－y∈A，
所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个．]
【教用·备选题】
1．(2024·山东济南二模)已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为( )
A．{0} B．{1}
C．{－1，1} D．{0，－1，1}
√
D [由(x－a2)(x－1)＝0可得x＝1或x＝a2，
当a＝0时，集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}＝{0，1}，此时元素之和为1，满足题意；
当a＝±1时，集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}＝{1}，此时元素之和为1，满足题意；
当a≠0且a≠±1时，集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}＝{a2，1}，此时元素之和为1＋a2≠1，不满足题意；
故满足题意的a＝0或a＝±1．故选D．]
2．非空有限数集S 满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S，则满足条件且含有两个元素的数集S＝___________________．(写出一个即可)
{0，1}(或{－1，1})
{0，1}(或{－1，1}) [由题意，不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，
所以a2，ab，b2中必有两个是相等的，
若a2＝b2≠ab，则a＝－b，故ab＝－a2，所以a2＝a，或a2＝b＝－a，
所以a＝0(舍去)或a＝1 或a＝－1，此时S＝{－1，1}；
若a2＝ab≠b2，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1或b＝0(舍去)，此时S＝{0，1}，
若b2＝ab≠a2，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1或a＝0(舍去)，此时S＝{0，1}，
综上，S＝{0，1}，或S＝{－1，1}．]
名师点评 解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
[跟进训练]
1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，则M＝( )
A．{1} B．{2}
C．{1，2} D．{1，2，3}
(2)(2025·山东青岛二中模拟)已知x∈{1，2，x2}，则x的取值为
( )
A．1 B．1或2
C．0或2 D．0或1或2
√
√
(1)A (2)C [(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x Q}，∴M＝{1}．故选A．
(2)由元素和集合关系可知：x＝1或x＝2或x＝x2，
解得x＝0或1或2，由集合元素的性质可知，当x＝1时，{1，2，1}不满足互异性，所以x的取值为0或2．故选C．]
考点二 集合间的基本关系
[典例2] (1)(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则( )
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值范围是_______________．
√
[－1，＋∞)
(1)A (2)[－1，＋∞) [(1)M＝＝，
N＝＝，
因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M N．故选A．
(2)∵B A，∴①当B＝ 时，2m－1>m＋1，解得m>2；
②当B≠ 时，解得－1≤m≤2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]
[拓展变式] 在本例(2)中，若把B A改为B?A，则实数m的取值范围是_____________．
[－1，＋∞) [∵B?A，∴①当B＝ 时，2m－1>m＋1，所以m>2；
②当B≠ 时，或
解得－1≤m≤2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]
[－1，＋∞)
【教用·备选题】
本例(2)中若把B A改为A B，则实数m的取值范围是________．
[由A B可知∴m∈ ．]
名师点评 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
[跟进训练]
2．(1)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(1)改编)已知＝{b}，其中a，b∈R，则b＝( )
A．0 B．或
C． D．
(2)(2025·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若A C B，写出一个符合条件的集合C，则C＝___________________________．(写出一个即可)
√
{x|1≤x≤4}(答案不唯一)
(1)B (2){x|1≤x≤4}(答案不唯一) [(1)由题意知，b为方程ax2－4x＋1＝0的根．
当a＝0时，b＝；
当a≠0时，二次方程有两个相等的根，则有
此时b＝．故选B．
(2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，
若A?C?B，则可有C＝{x|1≤x≤4}(答案不唯一)．]
考点三 集合的基本运算
考向1 集合的运算
[典例3] (1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
√
(2)(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝( )
A． B．
C． D．
(3)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A U，B U，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________________________．
√
{1，2，3，5，8，9}
(1)C (2)D (3){1，2，3，5，8，9} [(1)由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C．
(2)因为A＝，B＝{x|∈A}，
所以B＝，则A∩B＝{1，4，9}，
A＝．故选D．
(3)由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示．
由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．]
考向2 利用集合的运算求参数
[典例4] 已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]
C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4]
√
D [集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A B，作出数轴如图．
可知－≥2，即a≤－4．故选D．]
名师点评 解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．
(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了．
(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)端点值验证．
[跟进训练]
3．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
(2)(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．
√
5
(1)A (2)5 [(1)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以 U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A．
(2)由A∩B＝A，则A B，
由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
故有即即m≥5，
即m的最小值为5．]
【教用·备选题】
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝，B＝{－3，
－1，0，2，3}，则A∩B＝( )
A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
A [因为A＝ 2，所以A∩B＝．故选A．]
√
2．(2024·浙江9＋1联盟模拟)已知全集U＝，M( UN)＝{1，2}，( UM)∩N＝{4}， U(M∪N)＝{3}，则M∩N＝( )
A． B．
C． D．
C [如图，画出Venn图，并将条件中的集合标在图中，可知M∩N＝{5}，故选C．]
√
3．(2024·山东烟台二模)已知集合A＝，B＝{a，a2－1}，若A∩B＝B，则实数a的值为________．
1或2 [因为集合A＝，B＝，若A∩B＝B，则B A，所以a＝0或1或2或3，或a2－1＝0或1或2或3，
解得a＝0或1或2或3或－1或或－或或－或－2，
当a＝0时，B＝，不满足B A；
当a＝1时，B＝，满足B A；
当a＝2时，B＝，满足B A；
当a＝3时，B＝，不满足B A；
1或2
当a＝－1时，B＝，不满足B A；
当a＝时，B＝{，1}，不满足B A；
当a＝－时，B＝{－，1}, 不满足B A；
当a＝时，B＝，不满足B A；
当a＝－时，B＝，不满足B A；
当a＝－2时，B＝，不满足B A；
综上，实数a的值为1或2．]
考点四 Venn图的应用及创新性问题
[典例5] (1)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
√
8
(1)B (2)8 [(1)因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，
所以A－＝，有2个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4．故选B．
(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．]
名师点评 Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题．
[跟进训练]
4．(1)(2025·湖南长沙模拟)已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝A D．( UB)∪A＝A
√
(2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名，则阅读过《西游记》的学生人数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
√
(1)D (2)B [(1)由A，B是全集U的两个非空真子集，( UA)∪B＝B，得 UA B，
如图，当 UA≠B时，A∩B≠ ，A错误；
观察图形A∩B≠B，A∪B＝U≠A，BC错误；
由 UA B，得 UB A，因此( UB)∪A＝A，D正确．
故选D．
(2)根据题意作出Venn图，如图，
所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－313
课后作业(一) 集合
√
C [由集合的并运算，得M∪N＝{x|－314
2．(人教A版必修第一册P13例5改编)已知全集U＝N，集合A＝{x∈U|2≤x≤10}，B＝{x|x为素数}，则A∩ UB＝( )
A．{4，6，8，10} B．{4，5，6，8，9}
C．{2，4，6，8，10} D．{4，6，8，9，10}
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D [由A∩ UB，即为2≤x≤10，x∈N中不是素数的数组成的集合，
则A∩ UB＝{4，6，8，9，10}．故选D．]
14
3．(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)已知集合A＝{x|ax＝2，a∈N}，若A N，则所有a的取值构成的集合为( )
A．{1，2} B．{1}
C．{0，1，2} D．N
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
C [∵A＝{x|ax＝2，a∈N}，A N，∴当A＝ 时，易求a＝0；
当A≠ 时，由x＝∈N得，a＝1或a＝2．
综上，a∈{0，1，2}．故选C．]
14
4．(2025·安徽皖南十校模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2≤4}，集合B＝{x∈N|x<4}，则A∩B的子集个数为( )
A．2 B．3
C．7 D．8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
D [依题意，集合A＝＝，集合B＝，
于是A∩B＝，所以A∩B的子集个数为23＝8．故选D．]
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025·山西大同模拟)已知集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N B．N M
C．M N D．M∩N＝
13
√
B [因为M＝＝，
N＝＝．
因为 ，所以N M．故选B．]
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025·四川成都期中)已知集合A＝，B＝，若对任意的x∈A，都有x∈B，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．1或2
13
√
C [由题意得A B，当a＋2＝a2时，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，B＝满足要求，
当a＝－1时，a＋2＝1，a2＝1，A，B中元素均与互异性矛盾，舍去；
当a＋2＝3时，a＝1，此时a2＝1，B中元素与互异性矛盾，舍去．
综上，a＝2．故选C．]
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2024·江西上饶二模)设集合A＝，B＝{x|ax－1＝0}，若A∪B＝A，则a的值可以为( )
A．1 B．0
C．－ D．－3
13
√
√
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABD [A＝＝．
因为A∪B＝A，所以B A，
当a＝0时，B＝ A，
当a≠0时，B＝＝，
则＝－或＝1，所以a＝－3或a＝1，
综上所述，a＝－3或0或1．故选ABD．]
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(人教A版必修第一册P15阅读与思考改编)某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是( )
A．三项比赛都参加的有2人
B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人
D．只参加1 500米比赛的有1人
13
√
√
√
14
ABD [根据题意，设A＝{x|x是参加100米的同学}，
B＝{x|x是参加400米的同学}，
C＝{x|x是参加1 500米的同学}，
则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，
且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，
则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．已知集合A＝，B＝{y|y＝x2，x∈A}，若A∪B的所有元素之和为12，则实数λ＝________．
13
－3 [由题意可知，λ≠－1且λ≠2，
当x＝λ时，则y＝λ2；当x＝2时，则y＝4；当x＝－1时，则y＝1；
若λ＝1，则B＝，此时A∪B的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
－3
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
若λ＝－2，则B＝，此时A∪B的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若λ≠1且λ≠－2，则B＝，故λ2＋λ＋6＝12，解得λ＝－3或λ＝2(舍去)．
综上所述，λ＝－3．]
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．已知集合A＝，B＝，若集合A∩B中有且只有一个元素，则a＝________．
13
2 [当a>2时，A∩B表示抛物线的一部分；
当a<2时，A∩B为空集，
因此当且仅当a＝2时，集合A∩B表示一个点，有且只有一个元素．]
2
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(多选)已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M．则集合M可能是( )
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}
C．{1} D．{1，－2，2}
13
√
AC [由题意可知3 M且4 M，而－2或2与4同时出现，所以－2 M且2 M，
所以满足条件的非空集合M有{－1，1}，{1}．]
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(多选)(2025·吉林长春模拟)若集合A∩B＝B∪C，则一定有( )
A．C B B．B C
C．B A D．A B
13
√
AC [因为A∩B A，A∩B＝B∪C，
所以(B∪C) A，所以B A，C A．
因为(A∩B) B，A∩B＝B∪C，
所以(B∪C) B，所以C B，所以C B A，
故选项A，C正确，B，D错误．故选AC．]
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg (9－x2)}，则B－A＝__________________，A*B＝_______________________．
13
{x|－3＜x＜0} {x|－3＜x＜0或x≥3} [由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3＜x＜3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3＜x＜0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3＜x＜0}＝{x|－3＜x＜0或x≥3}．]
{x|－3＜x＜0}
{x|－3＜x＜0或x≥3}
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
14．已知全集U＝，集合A，B是U的非空子集，且A B，定义(A，B)为U中的一对“子群”关系，则满足这种“子群”关系的(A，B)共有________个．
13
14
180
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
180 [因为U＝，集合A，B是U的非空子集，A?B，
若B中有2个元素，此时符合条件的集合B有＝10(个)，又B中有2个元素时，集合B的非空真子集有22－2＝2(个)，
若B中有3个元素，此时符合条件的集合B有＝10(个)，又B中有3个元素时，集合B的非空真子集有23－2＝6(个)，
若B中有4个元素，此时符合条件的集合B有＝5(个)，又B中有4个元素时，集合B的非空真子集有24－2＝14(个)，
若B中有5个元素，此时符合条件的集合B有＝1(个)，又B中有5个元素时，集合B的非空真子集有25－2＝30(个)，
所以满足条件的(A，B)共有2×10＋6×10＋14×5＋30×1＝180(个)．]
谢 谢！课后作业(一) 集合
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共74分
一、单项选择题
1．(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－32．(人教A版必修第一册P13例5改编)已知全集U＝N，集合A＝{x∈U|2≤x≤10}，B＝{x|x为素数}，则A∩ UB＝( )
A．{4，6，8，10} B．{4，5，6，8，9}
C．{2，4，6，8，10} D．{4，6，8，9，10}
3．(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)已知集合A＝{x|ax＝2，a∈N}，若A N，则所有a的取值构成的集合为( )
A．{1，2} B．{1}
C．{0，1，2} D．N
4．(2025·安徽皖南十校模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2≤4}，集合B＝{x∈N|x<4}，则A∩B的子集个数为( )
A．2 B．3
C．7 D．8
5．(2025·山西大同模拟)已知集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N B．N M
C．M N D．M∩N＝
6．(2025·四川成都期中)已知集合A＝，B＝，若对任意的x∈A，都有x∈B，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．1或2
二、多项选择题
7．(2024·江西上饶二模)设集合A＝，B＝{x|ax－1＝0}，若A∪B＝A，则a的值可以为( )
A．1 B．0
C．－ D．－3
8．(人教A版必修第一册P15阅读与思考改编)某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是( )
A．三项比赛都参加的有2人
B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人
D．只参加1 500米比赛的有1人
三、填空题
9．已知集合A＝，B＝{y|y＝x2，x∈A}，若A∪B的所有元素之和为12，则实数λ＝________．
10．已知集合A＝，B＝，若集合A∩B中有且只有一个元素，则a＝________．
11．(多选)已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M．则集合M可能是( )
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}
C．{1} D．{1，－2，2}
12．(多选)(2025·吉林长春模拟)若集合A∩B＝B∪C，则一定有( )
A．C B B．B C
C．B A D．A B
13．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg (9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________．
14．已知全集U＝，集合A，B是U的非空子集，且A?B，定义(A，B)为U中的一对“子群”关系，则满足这种“子群”关系的(A，B)共有________个．
课后作业(一)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由集合的并运算，得M∪N＝{x|－32．D [由A∩ UB，即为2≤x≤10，x∈N中不是素数的数组成的集合，
则A∩ UB＝{4，6，8，9，10}．故选D．]
3．C [∵A＝{x|ax＝2，a∈N}，A N，
∴当A＝ 时，易求a＝0；
当A≠ 时，由x＝∈N得，a＝1或a＝2．
综上，a∈{0，1，2}．故选C．]
4．D [依题意，集合A＝＝，集合B＝，
于是A∩B＝，所以A∩B的子集个数为23＝8．故选D．]
5．B [因为M＝＝，
N＝＝．
因为 ，
所以N M．故选B．]
6．C [由题意得A B，
当a＋2＝a2时，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，B＝满足要求，
当a＝－1时，a＋2＝1，a2＝1，A，B中元素均与互异性矛盾，舍去；
当a＋2＝3时，a＝1，此时a2＝1，B中元素与互异性矛盾，舍去．
综上，a＝2．故选C．]
7．ABD [A＝＝．
因为A∪B＝A，所以B A，
当a＝0时，B＝ A，
当a≠0时，B＝＝，
则＝－或＝1，所以a＝－3或a＝1，
综上所述，a＝－3或0或1．故选ABD．]
8．ABD [根据题意，设A＝{x|x是参加100米的同学}，
B＝{x|x是参加400米的同学}，
C＝{x|x是参加1 500米的同学}，
则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，
且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，
则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人．故选ABD．]
9．－3 [由题意可知，λ≠－1且λ≠2，
当x＝λ时，则y＝λ2；当x＝2时，则y＝4；当x＝－1时，则y＝1；
若λ＝1，则B＝，此时A∪B的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
若λ＝－2，则B＝，此时A∪B的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若λ≠1且λ≠－2，则B＝，故λ2＋λ＋6＝12，解得λ＝－3或λ＝2(舍去)．
综上所述，λ＝－3．]
10．2 [当a>2时，A∩B表示抛物线的一部分；
当a<2时，A∩B为空集，
因此当且仅当a＝2时，集合A∩B表示一个点，有且只有一个元素．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．AC [由题意可知3 M且4 M，而－2或2与4同时出现，所以－2 M且2 M，
所以满足条件的非空集合M有{－1，1}，{1}．]
12．AC [因为A∩B A，A∩B＝B∪C，
所以(B∪C) A，所以B A，C A．
因为(A∩B) B，A∩B＝B∪C，
所以(B∪C) B，所以C B，所以C B A，
故选项A，C正确，B，D错误．故选AC．]
13．{x|－3＜x＜0} {x|－3＜x＜0或x≥3} [由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3＜x＜3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3＜x＜0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3＜x＜0}＝{x|－3＜x＜0或x≥3}．]
14．180 [因为U＝，集合A，B是U的非空子集，A?B，
若B中有2个元素，此时符合条件的集合B有＝10(个)，又B中有2个元素时，集合B的非空真子集有22－2＝2(个)，
若B中有3个元素，此时符合条件的集合B有＝10(个)，又B中有3个元素时，集合B的非空真子集有23－2＝6(个)，
若B中有4个元素，此时符合条件的集合B有＝5(个)，又B中有4个元素时，集合B的非空真子集有24－2＝14(个)，
若B中有5个元素，此时符合条件的集合B有＝1(个)，又B中有5个元素时，集合B的非空真子集有25－2＝30(个)，
所以满足条件的(A，B)共有2×10＋6×10＋14×5＋30×1＝180(个)．]
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