第1课时 集合
[考试要求] 1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的两种关系:属于和不属于,分别用符号___和___表示.
(3)集合的三种常用表示方法:列举法、描述法和图示法.
(4)五个特定的数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N _____________________ ___ ___ ___
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中__________________都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A B或(B A).
(2)真子集:如果集合A B,但______元素x∈B,且________,就称集合A是集合B的真子集,记作A?B或(B?A).
(3)相等:若A B,且_________,则A=B.
提醒:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(2)若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
3.集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
集合 表示 A∪B= ________________________________ A∩B= ________________________________ UA= ________________________________
[常用结论]
1.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
2.一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
3.( UA)∩( UB)= U(A∪B);( UA)∪( UB)= U(A∩B).
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}. ( )
(2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}. ( )
(3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1. ( )
(4)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}. ( )
二、教材经典衍生
1.(人教A版必修第一册P13练习T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={x∈Z|1<x≤5}, UB={1,3,5,7},则A∩B=( )
A.2 B.{2,4}
C.{2} D.{2,4,6}
2.(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A={2,3,4}的子集有( )
A.4个 B.6个
C.8个 D.9个
3.(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A={x|x2-1=0},则下列结论正确的是( )
A.1∈A B.{-1} A
C. A D.{-1,1} A
4.(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R,集合A={x|3≤x<9},B={x|(x-2)(x-10)<0},则 R(A∪B)=________,( RA)∩B=________.
考点一 集合的概念
[典例1] (1)(2025·广东深圳中学模拟)设集合A={2,a2-a+2,1-a},若4∈A,则a的值为( )
A.-1,2 B.-3
C.-1,-3,2 D.-3,2
(2)(2024·江苏南京二模)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的元素个数为________.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
[跟进训练]
1.(1)(2023·上海高考)已知集合P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x Q},则M=( )
A.{1} B.{2}
C.{1,2} D.{1,2,3}
(2)(2025·山东青岛二中模拟)已知x∈{1,2,x2},则x的取值为( )
A.1 B.1或2
C.0或2 D.0或1或2
考点二 集合间的基本关系
[典例2] (1)(2024·江苏南通三模)已知集合M=,N=,则( )
A.M N B.N M
C.M=N D.M∩N=
(2)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且B A,则实数m的取值范围是________.
[拓展变式] 在本例(2)中,若把B A改为B?A,则实数m的取值范围是________.
已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程,特别注意端点值的取舍,“=”加不加.
提醒:空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.
[跟进训练]
2.(1)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(1)改编)已知={b},其中a,b∈R,则b=( )
A.0 B.或
C.
(2)(2025·福建厦门模拟)设集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|y=},若A?C?B,写出一个符合条件的集合C,则C=________.(写出一个即可)
考点三 集合的基本运算
集合的运算
[典例3] (1)(2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,1,4}
(2)(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)=( )
A. B.
C. D.
(3)全集U={x|x<10,x∈N*},A U,B U,( UB)∩A={1,9},A∩B={3},( UA)∩( UB)={4,6,7},则A∪B=________.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用集合的运算求参数
[典例4] 已知集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},若A∪B=B,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]
C.(-4,+∞) D.(-∞,-4]
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成,集合中元素是数还是有序数对,是函数的自变量还是函数值.
(2)对集合进行化简,即解不等式,解方程,求定义域、值域等,通过化简可以使问题变得简单明了.
(3)注意数形结合思想的应用,集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.
(4)端点值验证.
[跟进训练]
3.(1)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
(2)(2024·九省联考)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为________.
考点四 Venn图的应用及创新性问题
[典例5] (1)定义两集合M,N的差集:M-N={x|x∈M且x N},已知集合A={2,3,5},B={3,5,8},则A-的子集个数为( )
A.2 B.4
C.8 D.16
(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Venn图具有形象直观的特征,应用Venn图可以解决两大类问题:一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题;二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题.
[跟进训练]
4.(1)(2025·湖南长沙模拟)已知全集U的两个非空真子集A,B满足( UA)∪B=B,则下列关系一定正确的是( )
A.A∩B= B.A∩B=B
C.A∪B=A D.( UB)∪A=A
(2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况,随机调查了100名学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名,阅读过《红楼梦》的学生共有80名,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名,则阅读过《西游记》的学生人数为( )
A.60 B.70
C.80 D.90
第1课时 集合
梳理·必备知识
1.(2)∈ (4)N*(或N+) Z Q R
2.(1)任意一个元素 (2)存在 x A (3)B A
3.{x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U,且x A}
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)×
二、1.B [由题意得A={2,3,4,5},B={2,4,6},故A∩B={2,4}.故选B.]
2.C [集合A={2,3,4}的子集个数为23=8,故选C.]
3.ABC
4.{x|x≤2或x≥10} {x|2<x<3或9≤x<10} [由题意,集合A={x|3≤x<9},B={x|2<x<10},可得A∪B={x|2<x<10},所以 R(A∪B)={x|x≤2或x≥10},
又由 RA={x|x<3或x≥9},所以( RA)∩B={x|2<x<3或9≤x<10}.]
考点一
典例1 (1)D (2)2 [(1)集合A={2,a2-a+2,1-a},4∈A,∴a2-a+2=4或1-a=4,
当a2-a+2=4时,a=-1或a=2,
若a=-1,则1-a=2,不满足集合中元素的互异性,故a≠-1;
若a=2,则集合A={2,4,-1},满足题意;
当1-a=4时,a=-3,a2-a+2=14,集合A={2,14,4},满足题意,综上所述,a=2或a=-3.故选D.
(2)当x=1,y=1,2,4时,x-y分别为0,-1,-3,均不能满足x-y∈A,
当x=2,y=1时可满足x-y=1∈A,
当x=2,y=2时,x-y=0,当x=2,y=4时,x-y=-2均不满足x-y∈A,
当x=4,y=2时可满足x-y=2∈A,当x=4,y=1时,x-y=3,当x=4,y=4时,x-y=0均不满足x-y∈A,
所以B={(2,1),(4,2)},故集合B的元素有2个.]
跟进训练
1.(1)A (2)C [(1)∵P={1,2},Q={2,3},M={x|x∈P且x Q},∴M={1}.故选A.
(2)由元素和集合关系可知:x=1或x=2或x=x2,
解得x=0或1或2,由集合元素的性质可知,当x=1时,{1,2,1}不满足互异性,所以x的取值为0或2.故选C.]
考点二
典例2 (1)A (2)[-1,+∞) [(1)M==,N==,
因为2k+1,k∈Z表示所有的奇数,而k+2,k∈Z表示所有的整数,则M N.故选A.
(2)∵B A,∴①当B= 时,2m-1>m+1,解得m>2;
②当B≠ 时,解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围是[-1,+∞).]
拓展变式
[-1,+∞) [∵B?A,∴①当B= 时,2m-1>m+1,所以m>2;
②当B≠ 时,
或解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围是[-1,+∞).]
跟进训练
2.(1)B (2){x|1≤x≤4}(答案不唯一) [(1)由题意知,b为方程ax2-4x+1=0的根.
当a=0时,b=;
当a≠0时,二次方程有两个相等的根,则有此时b=.故选B.
(2)A={x|1≤x≤3},B={x|x≥1},
若A?C?B,则可有C={x|1≤x≤4}(答案不唯一).]
考点三
考向1 典例3 (1)C (2)D (3){1,2,3,5,8,9} [(1)由题意知,A∩B={0,1}.故选C.
(2)因为A=,B={x|∈A},
所以B=,则A∩B={1,4,9},
A=.故选D.
(3)由已知条件可得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},画出Venn图如图所示.
由图可得A∪B={1,2,3,5,8,9}.]
考向2 典例4 D [集合A={x|-2≤x≤2},B=,由A∪B=B可得A B,作出数轴如图.
可知-≥2,即a≤-4.故选D.]
跟进训练
3.(1)A (2)5 [(1)由题意,M∪N={x|x<2},又U=R,所以 U(M∪N)={x|x≥2},故选A.
(2)由A∩B=A,则A B,
由≤m,得-m+3≤x≤m+3,
故有即即m≥5,
即m的最小值为5.]
考点四
典例5 (1)B (2)8 [(1)因为A={2,3,5},B={3,5,8},所以A-B={2},
所以A-=,有2个元素,则A-(A-B)的子集个数是22=4.故选B.
(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学可得(26-6-x)+6+(15-4-6)+4+(13-4-x)+x=36,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.]
跟进训练
4.(1)D (2)B [(1)由A,B是全集U的两个非空真子集,( UA)∪B=B,得 UA B,
如图,当 UA≠B时,A∩B≠ ,A错误;
观察图形A∩B≠B,A∪B=U≠A,BC错误;
由 UA B,得 UB A,因此( UB)∪A=A,D正确.
故选D.
(2)根据题意作出Venn图,如图,
所以阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70.故选B.]
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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
[教师备选资源]
新高考卷三年考情图解
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
高考命题规律把握
1.常考点:集合.
常与一元二次不等式交汇命题,主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、补运算.
2.轮考点: 常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式.
(1)充分、必要条件的判断常与数列、平面向量等知识交汇命题,注重对基本概念、基本性质的考查;
(2)全称量词与存在量词命题常考查其否定形式的识别;
(3)不等式的性质主要是数(式)的大小比较;
(4)基本不等式主要体现在求代数式的最值.
第1课时
集合
[考试要求]
1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的两种关系:属于和不属于,分别用符号__和__表示.
(3)集合的三种常用表示方法:列举法、描述法和图示法.
链接教材·夯基固本
∈
(4)五个特定的数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N __________ __ __ __
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中____________都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A B或(B A).
(2)真子集:如果集合A B,但____元素x∈B,且____,就称集合A是集合B的真子集,记作A?B或(B?A).
(3)相等:若A B,且____,则A=B.
任意一个元素
存在
x A
B A
提醒:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(2)若集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
3.集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
集合 表示 A∪B= _______________ A∩B= _______________ UA=
________________
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x A}
[常用结论]
1.A∩B=A A B,A∪B=A B A.
2.一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
3.( UA)∩( UB)= U(A∪B);( UA)∪( UB)= U(A∩B).
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}. ( )
(2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}. ( )
(3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1. ( )
(4)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}. ( )
×
×
×
×
二、教材经典衍生
1.(人教A版必修第一册P13练习T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={x∈Z|1<x≤5}, UB={1,3,5,7},则A∩B=
( )
A.2 B.{2,4}
C.{2} D.{2,4,6}
√
B [由题意得A={2,3,4,5},B={2,4,6},故A∩B={2,4}.故选B.]
2.(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A={2,3,4}的子集有
( )
A.4个 B.6个
C.8个 D.9个
√
C [集合A={2,3,4}的子集个数为23=8,故选C.]
3.(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A={x|x2-1=0},则下列结论正确的是( )
A.1∈A B.{-1} A
C. A D.{-1,1} A
√
√
√
4.(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R,集合A={x|3≤x<9},B={x|(x-2)(x-10)<0},则 R(A∪B)=_________________,( RA)∩B=__________________________.
{x|x≤2或x≥10} {x|2<x<3或9≤x<10} [由题意,集合A={x|3≤x<9},B={x|2<x<10},可得A∪B={x|2<x<10},所以 R(A∪B)={x|x≤2或x≥10},
又由 RA={x|x<3或x≥9},所以( RA)∩B={x|2<x<3或9≤x<10}.]
{x|x≤2或x≥10}
{x|2<x<3或9≤x<10}
考点一 集合的概念
[典例1] (1)(2025·广东深圳中学模拟)设集合A={2,a2-a+2,
1-a},若4∈A,则a的值为( )
A.-1,2 B.-3
C.-1,-3,2 D.-3,2
(2)(2024·江苏南京二模)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的元素个数为________.
典例精研·核心考点
√
2
(1)D (2)2 [(1)集合A={2,a2-a+2,1-a},4∈A,∴a2-a+2=4或1-a=4,
当a2-a+2=4时,a=-1或a=2,
若a=-1,则1-a=2,不满足集合中元素的互异性,故a≠-1;
若a=2,则集合A={2,4,-1},满足题意;
当1-a=4时,a=-3,a2-a+2=14,集合A={2,14,4},满足题意,综上所述,a=2或a=-3.故选D.
(2)当x=1,y=1,2,4时,x-y分别为0,-1,-3,均不能满足x-y∈A,
当x=2,y=1时可满足x-y=1∈A,
当x=2,y=2时,x-y=0,当x=2,y=4时,x-y=-2均不满足x-y∈A,
当x=4,y=2时可满足x-y=2∈A,当x=4,y=1时,x-y=3,当x=4,y=4时,x-y=0均不满足x-y∈A,
所以B={(2,1),(4,2)},故集合B的元素有2个.]
【教用·备选题】
1.(2024·山东济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为( )
A.{0} B.{1}
C.{-1,1} D.{0,-1,1}
√
D [由(x-a2)(x-1)=0可得x=1或x=a2,
当a=0时,集合{x|(x-a2)(x-1)=0}={0,1},此时元素之和为1,满足题意;
当a=±1时,集合{x|(x-a2)(x-1)=0}={1},此时元素之和为1,满足题意;
当a≠0且a≠±1时,集合{x|(x-a2)(x-1)=0}={a2,1},此时元素之和为1+a2≠1,不满足题意;
故满足题意的a=0或a=±1.故选D.]
2.非空有限数集S 满足:若a,b∈S,则必有a2,b2,ab∈S,则满足条件且含有两个元素的数集S=___________________.(写出一个即可)
{0,1}(或{-1,1})
{0,1}(或{-1,1}) [由题意,不妨设S={a,b},根据题意有a2,ab,b2∈S,
所以a2,ab,b2中必有两个是相等的,
若a2=b2≠ab,则a=-b,故ab=-a2,所以a2=a,或a2=b=-a,
所以a=0(舍去)或a=1 或a=-1,此时S={-1,1};
若a2=ab≠b2,则a=0,此时b2=b,故b=1或b=0(舍去),此时S={0,1},
若b2=ab≠a2,则b=0,此时a2=a,故a=1或a=0(舍去),此时S={0,1},
综上,S={0,1},或S={-1,1}.]
名师点评 解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
[跟进训练]
1.(1)(2023·上海高考)已知集合P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x Q},则M=( )
A.{1} B.{2}
C.{1,2} D.{1,2,3}
(2)(2025·山东青岛二中模拟)已知x∈{1,2,x2},则x的取值为
( )
A.1 B.1或2
C.0或2 D.0或1或2
√
√
(1)A (2)C [(1)∵P={1,2},Q={2,3},M={x|x∈P且x Q},∴M={1}.故选A.
(2)由元素和集合关系可知:x=1或x=2或x=x2,
解得x=0或1或2,由集合元素的性质可知,当x=1时,{1,2,1}不满足互异性,所以x的取值为0或2.故选C.]
考点二 集合间的基本关系
[典例2] (1)(2024·江苏南通三模)已知集合M=,N=,则( )
A.M N B.N M
C.M=N D.M∩N=
(2)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且B A,则实数m的取值范围是_______________.
√
[-1,+∞)
(1)A (2)[-1,+∞) [(1)M==,
N==,
因为2k+1,k∈Z表示所有的奇数,而k+2,k∈Z表示所有的整数,则M N.故选A.
(2)∵B A,∴①当B= 时,2m-1>m+1,解得m>2;
②当B≠ 时,解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围是[-1,+∞).]
[拓展变式] 在本例(2)中,若把B A改为B?A,则实数m的取值范围是_____________.
[-1,+∞) [∵B?A,∴①当B= 时,2m-1>m+1,所以m>2;
②当B≠ 时,或
解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围是[-1,+∞).]
[-1,+∞)
【教用·备选题】
本例(2)中若把B A改为A B,则实数m的取值范围是________.
[由A B可知∴m∈ .]
名师点评 已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程,特别注意端点值的取舍,“=”加不加.
提醒:空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.
[跟进训练]
2.(1)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(1)改编)已知={b},其中a,b∈R,则b=( )
A.0 B.或
C. D.
(2)(2025·福建厦门模拟)设集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|y=},若A C B,写出一个符合条件的集合C,则C=___________________________.(写出一个即可)
√
{x|1≤x≤4}(答案不唯一)
(1)B (2){x|1≤x≤4}(答案不唯一) [(1)由题意知,b为方程ax2-4x+1=0的根.
当a=0时,b=;
当a≠0时,二次方程有两个相等的根,则有
此时b=.故选B.
(2)A={x|1≤x≤3},B={x|x≥1},
若A?C?B,则可有C={x|1≤x≤4}(答案不唯一).]
考点三 集合的基本运算
考向1 集合的运算
[典例3] (1)(2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,1,4}
√
(2)(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)=( )
A. B.
C. D.
(3)全集U={x|x<10,x∈N*},A U,B U,( UB)∩A={1,9},A∩B={3},( UA)∩( UB)={4,6,7},则A∪B=________________________.
√
{1,2,3,5,8,9}
(1)C (2)D (3){1,2,3,5,8,9} [(1)由题意知,A∩B={0,1}.故选C.
(2)因为A=,B={x|∈A},
所以B=,则A∩B={1,4,9},
A=.故选D.
(3)由已知条件可得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},画出Venn图如图所示.
由图可得A∪B={1,2,3,5,8,9}.]
考向2 利用集合的运算求参数
[典例4] 已知集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},若A∪B=B,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]
C.(-4,+∞) D.(-∞,-4]
√
D [集合A={x|-2≤x≤2},B=,由A∪B=B可得A B,作出数轴如图.
可知-≥2,即a≤-4.故选D.]
名师点评 解决集合运算问题的注意点
(1)看元素构成,集合中元素是数还是有序数对,是函数的自变量还是函数值.
(2)对集合进行化简,即解不等式,解方程,求定义域、值域等,通过化简可以使问题变得简单明了.
(3)注意数形结合思想的应用,集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.
(4)端点值验证.
[跟进训练]
3.(1)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
(2)(2024·九省联考)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为________.
√
5
(1)A (2)5 [(1)由题意,M∪N={x|x<2},又U=R,所以 U(M∪N)={x|x≥2},故选A.
(2)由A∩B=A,则A B,
由≤m,得-m+3≤x≤m+3,
故有即即m≥5,
即m的最小值为5.]
【教用·备选题】
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A=,B={-3,
-1,0,2,3},则A∩B=( )
A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
A [因为A= 2,所以A∩B=.故选A.]
√
2.(2024·浙江9+1联盟模拟)已知全集U=,M( UN)={1,2},( UM)∩N={4}, U(M∪N)={3},则M∩N=( )
A. B.
C. D.
C [如图,画出Venn图,并将条件中的集合标在图中,可知M∩N={5},故选C.]
√
3.(2024·山东烟台二模)已知集合A=,B={a,a2-1},若A∩B=B,则实数a的值为________.
1或2 [因为集合A=,B=,若A∩B=B,则B A,所以a=0或1或2或3,或a2-1=0或1或2或3,
解得a=0或1或2或3或-1或或-或或-或-2,
当a=0时,B=,不满足B A;
当a=1时,B=,满足B A;
当a=2时,B=,满足B A;
当a=3时,B=,不满足B A;
1或2
当a=-1时,B=,不满足B A;
当a=时,B={,1},不满足B A;
当a=-时,B={-,1}, 不满足B A;
当a=时,B=,不满足B A;
当a=-时,B=,不满足B A;
当a=-2时,B=,不满足B A;
综上,实数a的值为1或2.]
考点四 Venn图的应用及创新性问题
[典例5] (1)定义两集合M,N的差集:M-N={x|x∈M且x N},已知集合A={2,3,5},B={3,5,8},则A-的子集个数为( )
A.2 B.4
C.8 D.16
(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.
√
8
(1)B (2)8 [(1)因为A={2,3,5},B={3,5,8},所以A-B={2},
所以A-=,有2个元素,则A-(A-B)的子集个数是22=4.故选B.
(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学可得(26-6-x)+6+(15-4-6)+4+(13-4-x)+x=36,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.]
名师点评 Venn图具有形象直观的特征,应用Venn图可以解决两大类问题:一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题;二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题.
[跟进训练]
4.(1)(2025·湖南长沙模拟)已知全集U的两个非空真子集A,B满足( UA)∪B=B,则下列关系一定正确的是( )
A.A∩B= B.A∩B=B
C.A∪B=A D.( UB)∪A=A
√
(2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况,随机调查了100名学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名,阅读过《红楼梦》的学生共有80名,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名,则阅读过《西游记》的学生人数为( )
A.60 B.70
C.80 D.90
√
(1)D (2)B [(1)由A,B是全集U的两个非空真子集,( UA)∪B=B,得 UA B,
如图,当 UA≠B时,A∩B≠ ,A错误;
观察图形A∩B≠B,A∪B=U≠A,BC错误;
由 UA B,得 UB A,因此( UB)∪A=A,D正确.
故选D.
(2)根据题意作出Venn图,如图,
所以阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70.故选B.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1.(2024·北京高考)已知集合M={x|-3A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}
C.{x|-313
课后作业(一) 集合
√
C [由集合的并运算,得M∪N={x|-314
2.(人教A版必修第一册P13例5改编)已知全集U=N,集合A={x∈U|2≤x≤10},B={x|x为素数},则A∩ UB=( )
A.{4,6,8,10} B.{4,5,6,8,9}
C.{2,4,6,8,10} D.{4,6,8,9,10}
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D [由A∩ UB,即为2≤x≤10,x∈N中不是素数的数组成的集合,
则A∩ UB={4,6,8,9,10}.故选D.]
14
3.(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)已知集合A={x|ax=2,a∈N},若A N,则所有a的取值构成的集合为( )
A.{1,2} B.{1}
C.{0,1,2} D.N
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
C [∵A={x|ax=2,a∈N},A N,∴当A= 时,易求a=0;
当A≠ 时,由x=∈N得,a=1或a=2.
综上,a∈{0,1,2}.故选C.]
14
4.(2025·安徽皖南十校模拟)已知集合A={x∈Z|x2≤4},集合B={x∈N|x<4},则A∩B的子集个数为( )
A.2 B.3
C.7 D.8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
D [依题意,集合A==,集合B=,
于是A∩B=,所以A∩B的子集个数为23=8.故选D.]
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5.(2025·山西大同模拟)已知集合M=,N=,则( )
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
13
√
B [因为M==,
N==.
因为 ,所以N M.故选B.]
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6.(2025·四川成都期中)已知集合A=,B=,若对任意的x∈A,都有x∈B,则a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.1或2
13
√
C [由题意得A B,当a+2=a2时,解得a=2或a=-1,
当a=2时,B=满足要求,
当a=-1时,a+2=1,a2=1,A,B中元素均与互异性矛盾,舍去;
当a+2=3时,a=1,此时a2=1,B中元素与互异性矛盾,舍去.
综上,a=2.故选C.]
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7.(2024·江西上饶二模)设集合A=,B={x|ax-1=0},若A∪B=A,则a的值可以为( )
A.1 B.0
C.- D.-3
13
√
√
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABD [A==.
因为A∪B=A,所以B A,
当a=0时,B= A,
当a≠0时,B==,
则=-或=1,所以a=-3或a=1,
综上所述,a=-3或0或1.故选ABD.]
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8.(人教A版必修第一册P15阅读与思考改编)某校“五一田径运动会”上,共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目,其中有8人参加“100米比赛”,有7人参加“400米比赛”,有5人参加“1 500米比赛”,“100米和400米”都参加的有4人,“100米和1 500米”都参加的有3人,“400米和1 500米”都参加的有3人,则下列说法正确的是( )
A.三项比赛都参加的有2人
B.只参加100米比赛的有3人
C.只参加400米比赛的有3人
D.只参加1 500米比赛的有1人
13
√
√
√
14
ABD [根据题意,设A={x|x是参加100米的同学},
B={x|x是参加400米的同学},
C={x|x是参加1 500米的同学},
则card(A)=8,card(B)=7,card(C)=5,
且card(A∩B)=4,card(A∩C)=3,card(B∩C)=3,
则card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2,
所以三项比赛都参加的有2人,只参加100米比赛的有3人,
只参加400米比赛的有2人,只参加1 500米比赛的有1人.
故选ABD.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9.已知集合A=,B={y|y=x2,x∈A},若A∪B的所有元素之和为12,则实数λ=________.
13
-3 [由题意可知,λ≠-1且λ≠2,
当x=λ时,则y=λ2;当x=2时,则y=4;当x=-1时,则y=1;
若λ=1,则B=,此时A∪B的所有元素之和为6,不符合题意,舍去;
-3
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
若λ=-2,则B=,此时A∪B的所有元素之和为4,不符合题意,舍去;
若λ≠1且λ≠-2,则B=,故λ2+λ+6=12,解得λ=-3或λ=2(舍去).
综上所述,λ=-3.]
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10.已知集合A=,B=,若集合A∩B中有且只有一个元素,则a=________.
13
2 [当a>2时,A∩B表示抛物线的一部分;
当a<2时,A∩B为空集,
因此当且仅当a=2时,集合A∩B表示一个点,有且只有一个元素.]
2
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11.(多选)已知非空集合M满足:①M {-2,-1,1,2,3,4},②若x∈M,则x2∈M.则集合M可能是( )
A.{-1,1} B.{-1,1,2,4}
C.{1} D.{1,-2,2}
13
√
AC [由题意可知3 M且4 M,而-2或2与4同时出现,所以-2 M且2 M,
所以满足条件的非空集合M有{-1,1},{1}.]
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12.(多选)(2025·吉林长春模拟)若集合A∩B=B∪C,则一定有( )
A.C B B.B C
C.B A D.A B
13
√
AC [因为A∩B A,A∩B=B∪C,
所以(B∪C) A,所以B A,C A.
因为(A∩B) B,A∩B=B∪C,
所以(B∪C) B,所以C B,所以C B A,
故选项A,C正确,B,D错误.故选AC.]
√
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={x|x≥0},B={x|y=lg (9-x2)},则B-A=__________________,A*B=_______________________.
13
{x|-3<x<0} {x|-3<x<0或x≥3} [由题意得A={x|x≥0},B={x|-3<x<3},所以A-B={x|x≥3},B-A={x|-3<x<0}.因此A*B={x|x≥3}∪{x|-3<x<0}={x|-3<x<0或x≥3}.]
{x|-3<x<0}
{x|-3<x<0或x≥3}
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
14.已知全集U=,集合A,B是U的非空子集,且A B,定义(A,B)为U中的一对“子群”关系,则满足这种“子群”关系的(A,B)共有________个.
13
14
180
?
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
180 [因为U=,集合A,B是U的非空子集,A?B,
若B中有2个元素,此时符合条件的集合B有=10(个),又B中有2个元素时,集合B的非空真子集有22-2=2(个),
若B中有3个元素,此时符合条件的集合B有=10(个),又B中有3个元素时,集合B的非空真子集有23-2=6(个),
若B中有4个元素,此时符合条件的集合B有=5(个),又B中有4个元素时,集合B的非空真子集有24-2=14(个),
若B中有5个元素,此时符合条件的集合B有=1(个),又B中有5个元素时,集合B的非空真子集有25-2=30(个),
所以满足条件的(A,B)共有2×10+6×10+14×5+30×1=180(个).]
谢 谢!课后作业(一) 集合
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共74分
一、单项选择题
1.(2024·北京高考)已知集合M={x|-3A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}
C.{x|-32.(人教A版必修第一册P13例5改编)已知全集U=N,集合A={x∈U|2≤x≤10},B={x|x为素数},则A∩ UB=( )
A.{4,6,8,10} B.{4,5,6,8,9}
C.{2,4,6,8,10} D.{4,6,8,9,10}
3.(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)已知集合A={x|ax=2,a∈N},若A N,则所有a的取值构成的集合为( )
A.{1,2} B.{1}
C.{0,1,2} D.N
4.(2025·安徽皖南十校模拟)已知集合A={x∈Z|x2≤4},集合B={x∈N|x<4},则A∩B的子集个数为( )
A.2 B.3
C.7 D.8
5.(2025·山西大同模拟)已知集合M=,N=,则( )
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
6.(2025·四川成都期中)已知集合A=,B=,若对任意的x∈A,都有x∈B,则a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.1或2
二、多项选择题
7.(2024·江西上饶二模)设集合A=,B={x|ax-1=0},若A∪B=A,则a的值可以为( )
A.1 B.0
C.- D.-3
8.(人教A版必修第一册P15阅读与思考改编)某校“五一田径运动会”上,共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目,其中有8人参加“100米比赛”,有7人参加“400米比赛”,有5人参加“1 500米比赛”,“100米和400米”都参加的有4人,“100米和1 500米”都参加的有3人,“400米和1 500米”都参加的有3人,则下列说法正确的是( )
A.三项比赛都参加的有2人
B.只参加100米比赛的有3人
C.只参加400米比赛的有3人
D.只参加1 500米比赛的有1人
三、填空题
9.已知集合A=,B={y|y=x2,x∈A},若A∪B的所有元素之和为12,则实数λ=________.
10.已知集合A=,B=,若集合A∩B中有且只有一个元素,则a=________.
11.(多选)已知非空集合M满足:①M {-2,-1,1,2,3,4},②若x∈M,则x2∈M.则集合M可能是( )
A.{-1,1} B.{-1,1,2,4}
C.{1} D.{1,-2,2}
12.(多选)(2025·吉林长春模拟)若集合A∩B=B∪C,则一定有( )
A.C B B.B C
C.B A D.A B
13.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={x|x≥0},B={x|y=lg (9-x2)},则B-A=________,A*B=________.
14.已知全集U=,集合A,B是U的非空子集,且A?B,定义(A,B)为U中的一对“子群”关系,则满足这种“子群”关系的(A,B)共有________个.
课后作业(一)
[A组 在基础中考查学科功底]
1.C [由集合的并运算,得M∪N={x|-32.D [由A∩ UB,即为2≤x≤10,x∈N中不是素数的数组成的集合,
则A∩ UB={4,6,8,9,10}.故选D.]
3.C [∵A={x|ax=2,a∈N},A N,
∴当A= 时,易求a=0;
当A≠ 时,由x=∈N得,a=1或a=2.
综上,a∈{0,1,2}.故选C.]
4.D [依题意,集合A==,集合B=,
于是A∩B=,所以A∩B的子集个数为23=8.故选D.]
5.B [因为M==,
N==.
因为 ,
所以N M.故选B.]
6.C [由题意得A B,
当a+2=a2时,解得a=2或a=-1,
当a=2时,B=满足要求,
当a=-1时,a+2=1,a2=1,A,B中元素均与互异性矛盾,舍去;
当a+2=3时,a=1,此时a2=1,B中元素与互异性矛盾,舍去.
综上,a=2.故选C.]
7.ABD [A==.
因为A∪B=A,所以B A,
当a=0时,B= A,
当a≠0时,B==,
则=-或=1,所以a=-3或a=1,
综上所述,a=-3或0或1.故选ABD.]
8.ABD [根据题意,设A={x|x是参加100米的同学},
B={x|x是参加400米的同学},
C={x|x是参加1 500米的同学},
则card(A)=8,card(B)=7,card(C)=5,
且card(A∩B)=4,card(A∩C)=3,card(B∩C)=3,
则card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2,
所以三项比赛都参加的有2人,只参加100米比赛的有3人,
只参加400米比赛的有2人,只参加1 500米比赛的有1人.故选ABD.]
9.-3 [由题意可知,λ≠-1且λ≠2,
当x=λ时,则y=λ2;当x=2时,则y=4;当x=-1时,则y=1;
若λ=1,则B=,此时A∪B的所有元素之和为6,不符合题意,舍去;
若λ=-2,则B=,此时A∪B的所有元素之和为4,不符合题意,舍去;
若λ≠1且λ≠-2,则B=,故λ2+λ+6=12,解得λ=-3或λ=2(舍去).
综上所述,λ=-3.]
10.2 [当a>2时,A∩B表示抛物线的一部分;
当a<2时,A∩B为空集,
因此当且仅当a=2时,集合A∩B表示一个点,有且只有一个元素.]
[B组 在综合中考查关键能力]
11.AC [由题意可知3 M且4 M,而-2或2与4同时出现,所以-2 M且2 M,
所以满足条件的非空集合M有{-1,1},{1}.]
12.AC [因为A∩B A,A∩B=B∪C,
所以(B∪C) A,所以B A,C A.
因为(A∩B) B,A∩B=B∪C,
所以(B∪C) B,所以C B,所以C B A,
故选项A,C正确,B,D错误.故选AC.]
13.{x|-3<x<0} {x|-3<x<0或x≥3} [由题意得A={x|x≥0},B={x|-3<x<3},所以A-B={x|x≥3},B-A={x|-3<x<0}.因此A*B={x|x≥3}∪{x|-3<x<0}={x|-3<x<0或x≥3}.]
14.180 [因为U=,集合A,B是U的非空子集,A?B,
若B中有2个元素,此时符合条件的集合B有=10(个),又B中有2个元素时,集合B的非空真子集有22-2=2(个),
若B中有3个元素,此时符合条件的集合B有=10(个),又B中有3个元素时,集合B的非空真子集有23-2=6(个),
若B中有4个元素,此时符合条件的集合B有=5(个),又B中有4个元素时,集合B的非空真子集有24-2=14(个),
若B中有5个元素,此时符合条件的集合B有=1(个),又B中有5个元素时,集合B的非空真子集有25-2=30(个),
所以满足条件的(A,B)共有2×10+6×10+14×5+30×1=180(个).]
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