2026届高中数学(通用版)一轮复习:第一章 第2课时 常用逻辑用语(课件 学案 练习,共3份)

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名称 2026届高中数学(通用版)一轮复习:第一章 第2课时 常用逻辑用语(课件 学案 练习,共3份)
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文件大小 2.0MB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-05-20 09:47:54

文档简介

第2课时 常用逻辑用语
[考试要求] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的____条件,q是p的____条件
p是q的__________条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 ________
p是q的充要条件 ____
p是q的________________条件 pq且qp
提醒:p是q的充分不必要条件(p q且qp),与p的充分不必要条件是q(q p且pq)两者是不同的.
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“__”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“__”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 ______________ ______________
否定 ________________ ________________
提醒:含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
[常用结论]
设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B.
(1)p是q的充分不必要条件 A?B;
(2)p是q的必要不充分条件 A?B;
(3)p是q的充要条件 A=B;
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系.
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件. (  )
(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. (  )
(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题. (  )
(4)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词. (  )
二、教材经典衍生
1.(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p: n∈N*,n2>n-1,则命题p的否定为(  )
A. n∈N*,n2≤n-1  B. n∈N*,n2C. n∈N*,n2≤n-1 D. n∈N*,n22.(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a,b,c,在下列命题中,是真命题的为(  )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
3.(多选)(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)已知命题p: x∈R,x+2≤0,则下列说法正确的是(  )
A.p是真命题
B. p: x∈R,x+2>0
C. p是真命题
D. p: x∈R,x+2>0
4.(人教B版必修第一册P38习题1-2BT5改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.
考点一 充分、必要条件
 充分、必要条件的判定
[典例1] (多选)下列命题为真命题的是(  )
A.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
B.“a>b”是“<”的充要条件
C.若P,Q为非空集合,“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件
D.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 充分、必要条件的探求
[典例2] (1) “ln (x+1)<0”的一个必要不充分条件是(  )
A.-10
C.-1(2)(多选)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件可以是(  )
A.a=-1 B.a=b
C.b=1 D.ab=1
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 充分、必要条件的应用
[典例3] 请在“①充分不必要;②必要不充分;③充要”中任选一个,将序号补充在横线处,并解答.
已知集合A=,B=,且x∈A是x∈B的________条件,判断实数m的值是否存在,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 (1)充分条件、必要条件的判定方法:定义法、集合法.
(2)探求充分条件、必要条件要分清题干的条件和结论,如“p的充分条件是q”等价于“q p是真命题”.
(3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验.
[跟进训练]
1.(1)(2025·山西朔州模拟)设a,b∈R,则“a<1且b<1”是“a+b<2”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2+ax+a+3=0,则(  )
A.当a=2时,方程有两个不相等的实数根
B.方程无实数根的一个充分条件是-2C.方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<-4
(3)(2025·浙江台州模拟)若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
①若x∈A是x∈B的充要条件,则b=________;
②若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则b的取值范围是________.
考点二 全称量词与存在量词
 含量词命题的否定
[典例4] (1)命题p的否定为“ x<0,使得x+2>2x”,则命题p为(  )
A. x<0,x+2>2x
B. x≥0,使得x+2>2x
C. x<0,x+2≤2x
D. x≥0,使得x+2≤2x
(2)命题“素数的立方是素数”的否定是________.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 含量词命题的真假判断
[典例5] (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x,则(  )
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 含量词命题的应用
[典例6] 若命题p:“ x∈R,x2-mx-m≤0”为假命题,则实数m的取值范围是________.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 含量词命题的解题策略
(1)要判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的取值范围,一是直接由命题的真假求参数的取值范围;二是利用等价转化,根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围.
(3)全称量词命题对应恒成立,存在量词命题对应能成立.
[跟进训练]
2.(1)命题p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根,则对命题p的真假判断和 p正确的为(  )
A.真命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根
B.假命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根
C.真命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根
D.假命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根
(2)若命题“ x∈,使λx2+x-2>0成立”的否定是真命题,则实数λ的取值范围是________.
第2课时 常用逻辑用语
梳理·必备知识
1.充分 必要 充分不必要 pDq且q p
p q 既不充分也不必要
2.(1)  (2)
3. x∈M,p(x)  x∈M,p(x)  x∈M, p(x)  x∈M, p(x)
激活·基本技能
一、(1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、1.C [由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p: n∈N*,n2>n-1的否定 p为“ n∈N*,n2≤n-1”.故选C.]
2.B [因为 a>b, a<b,所以ac>bca>b,而由a>bac>bc,所以“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件,故A,C错误.又 a=b,a=b,所以由ac=bca=b,由a=b ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件,故B正确,D错误.故选B.]
3.CD [当x=0时,x+2≤0不成立,故p是假命题,故A错误;由含量词命题的否定可知,p: x∈R,x+2≤0的否定为 p: x∈R,x+2>0,故D正确,B错误; p是真命题,故C正确.]
4.[3,+∞)
考点一
考向1 典例1  ACD [对于A,由a>bac2>bc2(c=0时不成立),由ac2>bc2 a>b,则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,A中命题是真命题;
对于B,若a>0,b<0,则由a>b得不到<,B中命题是假命题;
易知C,D中命题是真命题,故选ACD.]
考向2 典例2 (1)D (2)AC [(1)ln (x+1)<0等价于0(2)由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,故选AC.]
考向3 典例3 解:由不等式x2-x-12=(x-4)(x+3)≤0,解得-3≤x≤4,可得A=,
由不等式x2-2x+1-m2=(x-m-1)(x+m-1)≤0(m>0),解得1-m≤x≤1+m,
所以B=.
若选择条件①,则集合A是B的真子集,得且等号不能同时取得,解得m≥4.
当m=4时,B=,A?B,符合题意.
若选择条件②,则集合B是A的真子集,得且等号不能同时取得,解得0当m=3时,B=,则B?A,符合题意.
若选择条件③,则集合A=B,得无解,所以不存在满足条件③的实数m.
跟进训练
1.(1)A (2)BC (3)① ② [(1)若a<1且b<1,则a+b<2,即充分性成立;
若a+b<2,例如a=1,b=0,满足a+b<2,
但不满足a<1且b<1,即必要性不成立;
综上所述,“a<1且b<1”是“a+b<2”的充分不必要条件.故选A.
(2)对于A,当a=2时,x2+2x+5=0,此时Δ=22-4×1×5=-16<0,
方程没有实数根,故A错误;
对于B,方程无实数根的充要条件是Δ=a2-4×1×(a+3)<0,即-2所以方程无实数根的一个充分条件是{a|-2对于C,方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得a>6,故C正确;
对于D,方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<-3,故D错误.
故选BC.
(3)①由已知可得A=B,
则x=2是方程bx=1的解,解得b=.
②若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A?B,
所以所以b>,
则b的取值范围是.]
考点二
考向1 典例4 (1)C (2)存在一个素数,它的立方不是素数  [(1)因为命题p的否定为“ x<0,使得x+2>2x”,所以命题p为“ x<0,x+2≤2x”.故选C.
(2)命题的否定为存在一个素数,它的立方不是素数.]
考向2 典例5  B [对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, p是真命题,对于q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题,综上, p和q都是真命题.故选B.]
考向3 典例6 (-4,0) [法一:若p为真命题,即 x∈R,x2-mx-m≤0,∴Δ=m2+4m≥0,∴m≥0或m≤-4,
∴当p为假命题时,-4法二:∵p为假命题,
∴ p: x∈R,x2-mx-m>0为真命题,
即Δ=m2+4m<0,∴-4跟进训练
2.(1)A (2) [(1)在一元二次方程x2-ax-1=0中,Δ=a2+4>0恒成立,故对任意a∈R,方程都有实根,故命题p为真命题. p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根.故选A.
(2)若“ x∈,使λx2+x-2>0成立”的否定“ x∈,使λx2+x-2≤0”为真命题,即λ≤.令f (x)==2-,
由x∈,得∈,所以f (x)min=f (4)=-,所以λ≤-.]
6/6(共61张PPT)
第一章
集合、常用逻辑用语、不等式
第2课时 常用逻辑用语
[考试要求] 
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
链接教材·夯基固本
若p q,则p是q的____条件,q是p的____条件
p是q的__________条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 __________
p是q的充要条件 ____
p是q的________________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
p q且q p
p q
既不充分也不必要
提醒:p是q的充分不必要条件(p q且q p),与p的充分不必要条件是q(q p且p q)两者是不同的.
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“__”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“__”表示.


3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 ____________ ____________
否定 ______________ ______________
提醒:含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
x∈M,p(x)
x∈M,p(x)
x∈M, p(x)
x∈M, p(x)
[常用结论]
设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B.
(1)p是q的充分不必要条件 A?B;
(2)p是q的必要不充分条件 A?B;
(3)p是q的充要条件 A=B;
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系.
一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件. (  )
(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. (  )
(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题. (  )
(4)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词. (  )
×



二、教材经典衍生
1.(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p: n∈N*,n2>n-1,则命题p的否定为(  )
A. n∈N*,n2≤n-1  B. n∈N*,n2C. n∈N*,n2≤n-1 D. n∈N*,n2
C [由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p: n∈N*,n2>n-1的否定 p为“ n∈N*,n2≤n-1”.故选C.]
2.(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a,b,c,在下列命题中,是真命题的为(  )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件

B [因为 a>b, a<b,所以ac>bc a>b,
而由a>b ac>bc,所以“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件,故A,C错误.又 a=b, a=b,所以由ac=bc a=b,由a=b ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件,故B正确,D错误.故选B.]
3.(多选)(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)已知命题p: x∈R,x+2≤0,则下列说法正确的是(  )
A.p是真命题 B. p: x∈R,x+2>0
C. p是真命题 D. p: x∈R,x+2>0


CD [当x=0时,x+2≤0不成立,故p是假命题,故A错误;由含量词命题的否定可知,p: x∈R,x+2≤0的否定为 p: x∈R,x+2>0,故D正确,B错误; p是真命题,故C正确.]
4.(人教B版必修第一册P38习题1-2BT5改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的取值范围为___________.
[3,+∞)
考点一 充分、必要条件
考向1 充分、必要条件的判定
[典例1] (多选)下列命题为真命题的是(  )
A.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
B.“a>b”是“<”的充要条件
C.若P,Q为非空集合,“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件
D.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
典例精研·核心考点



ACD [对于A,由a>b ac2>bc2(c=0时不成立),由ac2>bc2 a>b,则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,A中命题是真命题;
对于B,若a>0,b<0,则由a>b得不到<,B中命题是假命题;
易知C,D中命题是真命题,故选ACD.]
【教用·备选题】
1.(2024·天津高考)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

C [根据立方的性质和指数函数的性质,a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时成立,所以二者互为充要条件.
故选C.]
2.(2025·江苏扬州模拟)已知集合A=,B={1,a+1,a-1},则“a=1”是“A B”的(  )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

B [当a=1时,A={0,1},B={0,1,2},则A B;
反之,当A B时,a+1=0或a-1=0,解得a=-1或a=1.
若a=-1,A={0,1},B={0,1,-2},满足A B,若a=1,显然满足A B,
因此a=-1或a=1,所以“a=1”是“A B”的充分不必要条件.故选B.]
考向2 充分、必要条件的探求
[典例2] (1) “ln (x+1)<0”的一个必要不充分条件是(  )
A.-10
C.-1(2)(多选)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件可以是(  )
A.a=-1 B.a=b
C.b=1 D.ab=1



(1)D (2)AC [(1)ln (x+1)<0等价于0因为-1(2)由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,故选AC.]
考向3 充分、必要条件的应用
[典例3] 请在“①充分不必要;②必要不充分;③充要”中任选一个,将序号补充在横线处,并解答.
已知集合A=,B=,
且x∈A是x∈B的________条件,判断实数m的值是否存在,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
[解] 由不等式x2-x-12=(x-4)(x+3)≤0,解得-3≤x≤4,可得A=,
由不等式x2-2x+1-m2=(x-m-1)(x+m-1)≤0(m>0),解得1-m≤x≤1+m,
所以B=.
若选择条件①,则集合A是B的真子集,得且等号不
能同时取得,解得m≥4.
当m=4时,B=,A?B,符合题意.
若选择条件②,则集合B是A的真子集,得且等号不能同时取得,解得0当m=3时,B=,则B?A,符合题意.
若选择条件③,则集合A=B,得无解,所以不存在
满足条件③的实数m.
名师点评 (1)充分条件、必要条件的判定方法:定义法、集合法.
(2)探求充分条件、必要条件要分清题干的条件和结论,如“p的充分条件是q”等价于“q p是真命题”.
(3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验.
[跟进训练]
1.(1)(2025·山西朔州模拟)设a,b∈R,则“a<1且b<1”是“a+b<2”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

(2)(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2+ax+a+3=0,则(  )
A.当a=2时,方程有两个不相等的实数根
B.方程无实数根的一个充分条件是-2C.方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<-4


(3)(2025·浙江台州模拟)若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
①若x∈A是x∈B的充要条件,则b=________;
②若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则b的取值范围是_________.
(1)A (2)BC (3)① ② [(1)若a<1且b<1,则a+b<2,即充分性成立;
若a+b<2,例如a=1,b=0,满足a+b<2,
但不满足a<1且b<1,即必要性不成立;
综上所述,“a<1且b<1”是“a+b<2”的充分不必要条件.故选A.
(2)对于A,当a=2时,x2+2x+5=0,此时Δ=22-4×1×5=
-16<0,
方程没有实数根,故A错误;
对于B,方程无实数根的充要条件是Δ=a2-4×1×(a+3)<0,
即-2所以方程无实数根的一个充分条件是{a|-2显然-2对于C,方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得a>6,故C正确;
对于D,方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<-3,故D错误.
故选BC.
(3)①由已知可得A=B,
则x=2是方程bx=1的解,解得b=.
②若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A?B,
所以所以b>,
则b的取值范围是.]
考点二 全称量词与存在量词
考向1 含量词命题的否定
[典例4] (1)命题p的否定为“ x<0,使得x+2>2x”,则命题p为(  )
A. x<0,x+2>2x
B. x≥0,使得x+2>2x
C. x<0,x+2≤2x
D. x≥0,使得x+2≤2x
(2)命题“素数的立方是素数”的否定是_____________________________.

存在一个素数,它的立方不是素数
(1)C (2)存在一个素数,它的立方不是素数  [(1)因为命题p的否定为“ x<0,使得x+2>2x”,所以命题p为“ x<0,x+2≤2x”.
故选C.
(2)命题的否定为存在一个素数,它的立方不是素数.]
考向2 含量词命题的真假判断
[典例5] (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x,则(  )
A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题

B [对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, p是真命题,对于q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题,综上, p和q都是真命题.故选B.]
考向3 含量词命题的应用
[典例6] 若命题p:“ x∈R,x2-mx-m≤0”为假命题,则实数m的取值范围是___________.
(-4,0)
(-4,0) [法一:若p为真命题,即 x∈R,x2-mx-m≤0,
∴Δ=m2+4m≥0,∴m≥0或m≤-4,
∴当p为假命题时,-4法二:∵p为假命题,∴ p: x∈R,x2-mx-m>0为真命题,
即Δ=m2+4m<0,∴-4名师点评 含量词命题的解题策略
(1)要判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的取值范围,一是直接由命题的真假求参数的取值范围;二是利用等价转化,根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围.
(3)全称量词命题对应恒成立,存在量词命题对应能成立.
[跟进训练]
2.(1)命题p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根,则对命题p的真假判断和 p正确的为(  )
A.真命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根
B.假命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根
C.真命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根
D.假命题, p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根
(2)若命题“ x∈,使λx2+x-2>0成立”的否定是真命题,则实数λ的取值范围是_____________.

(1)A (2) [(1)在一元二次方程x2-ax-1=0中,Δ=a2+4>0恒成立,故对任意a∈R,方程都有实根,故命题p为真命题. p: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根.故选A.
(2)若“ x∈,使λx2+x-2>0成立”的否定“ x∈,使λx2+x-2≤0”为真命题,即λ≤.令f (x)==2-,
由x∈,得∈,所以f (x)min=f (4)=-,所以λ≤-.]
题号
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一、单项选择题
1.(2025·山东潍坊期中)命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是(  )
A.存在一个能被3整除的整数不是质数
B.所有能被3整除的整数都不是质数
C.存在一个能被3整除的整数是质数
D.不能被3整除的整数不是质数
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课后作业(二) 常用逻辑用语

题号
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A [命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是质数”.故选A.]
2.(2024·河北保定二模)设x∈R,则“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题号
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A [由|x-2|<1可得-1所以由1由|x-2|<1推不出1所以“1故选A.]
3.已知全集U和它的两个非空子集A,B的关系如图所示,则下列命题正确的是(  )
A. x A,x∈B   
B. x A,x B
C. x∈B,x A
D. x B,x∈A
题号
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B [由题图可知B A,且A,B为非空集合,
则根据子集的定义可得:
对于A, x A,x∈B错误;
对于B, x A,x B正确;
对于C, x∈B,x A错误;
对于D, x B,x∈A错误.故选B.]
题号
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4.(人教A版必修第一册P28练习T2改编)下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(  )
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
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B [A中,锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中,当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是存在量词命题又是真命题;C中,因为+(-)=0不是无理数,所以C是假命题;D中,对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,所以D是假命题.故选B.]
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5.(2025·福建龙岩期中)命题“ x∈[1,2],x2+ln x-2a≤0”为假命题,则实数a的取值范围为(  )
A. B.(-∞,0)
C.(-∞,ln 2+2) D.(-∞,ln 2+4)
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A [因为命题“ x∈[1,2],x2+ln x-2a≤0”为假命题等价于“ x∈[1,2],x2+ln x-2a>0”为真命题,
所以 x∈[1,2],2a所以只需2a<(x2+ln x)min.
设f (x)=x2+ln x,x∈[1,2],
则f (x)在[1,2]上单调递增,所以f (x)min=1.
所以2a<1,得a<,即实数a的取值范围为,故选A.]
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6.(2024·山东烟台二模)已知p:1<2x<4,q:x2-ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则(  )
A.a≥ B.0C.a>2 D.013

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A [命题p:1<2x<4,即p:0因为p是q的充分不必要条件,
显然当x=0时满足q:x2-ax-1<0,
所以当0则a>x-在0又函数f =x-在(0,2)上单调递增,且f (2)=,所以a≥.故选A.]
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二、多项选择题
7.(2024·重庆三模)命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(  )
A.m>-2 B.m>-1
C.m>0 D.m>1
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题号
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CD [由题意,存在x>0,使得mx2+2x-1>0,
即m>=-2×=-1,
当-1=0,即x=1时,的最小值为-1,故m>-1,所以命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>-1}的真子集,结合选项可得,C和D项符合条件.]
题号
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8.(2025·福建古田期中)已知命题p: x∈[0,],a≥x2,命题q: x∈R,x2+4x+a=0,若命题p与命题q一真一假,则实数a的可能值为(  )
A.5 B.
C. D.4
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题号
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AC [如果p为真q为假,对于 x∈[0,],a≥x2,有a≥3,对于 x∈R,x2+4x+a=0为假命题,
则 x∈R,x2+4x+a≠0为真命题,即Δ=42-4a<0,a>4,所以当p为真q为假时,a>4;
如果p为假q为真,则 x∈[0,],使得aq为真,则Δ=42-4a≥0,a≤4,所以a<3;
综上,p和q一真一假,则a<3或a>4,
对于A,5>4,可以;对于B,3<<4,不可以;对于C,>=4,可以;对于D,不可以.故选AC.]
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题号
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三、填空题
9.(2024·山东潍坊二模)已知命题p: x∈[-1,1],x2>a,则 p为___________________.
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x∈,x2≤a
题号
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10.(2025·湖南长沙模拟)已知命题“ x∈(0,+∞),ex>ax+1”为真命题,写出符合条件的a的一个值:___________________.
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-1(答案不唯一)
-1(答案不唯一) [ x∈,ex>1,
当a<0时, x∈(0,+∞),ax+1<1,则a可取任意负数,如-1.]
题号
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11.若命题:“ a,b∈R,使得a-cos b≤b-cos a”为假命题,则a,b的大小关系为(  )
A.ab
C.a≤b D.a≥b
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B [由题意,命题的否定“ a,b∈R,使得a-cos b>b-cos a”为真命题,
即a+cos a>b+cos b,
设f (x)=x+cos x,则f ′(x)=1-sin x≥0,
所以f (x)是R上的增函数,
所以由f (a)>f (b)可知a>b,
故选B.]
题号
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12.已知f (x)=ax2+bx+1,有下列四个命题:
p1:x=是f (x)的零点;
p2:x=2是f (x)的零点;
p3:f (x)的两个零点之和为1;
p4:f (x)有两个异号零点.
若只有一个假命题,则该命题是(  )
A.p1 B.p2
C.p3 D.p4
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A [由题意,若p1,p2是真命题,则p3,p4均为假命题,不合题意,故p1,p2中必有一个假命题.
若p1是假命题,p2,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=-1,此时p4为真命题,符合题意;
若p2是假命题,p1,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=,此时p4为假命题,不符合题意.
故选A.]
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题号
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13.已知f (x)=x2,g(x)=-m.若 x1∈[0,3], x2∈[1,2],使得f (x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是_____________.
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 [当x∈[0,3]时,f (x)min=f (0)=0;当x∈[1,2]时
=g(2)=-m.
由f (x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.]
谢 谢!课后作业(二) 常用逻辑用语
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共67分
一、单项选择题
1.(2025·山东潍坊期中)命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是(  )
A.存在一个能被3整除的整数不是质数
B.所有能被3整除的整数都不是质数
C.存在一个能被3整除的整数是质数
D.不能被3整除的整数不是质数
2.(2024·河北保定二模)设x∈R,则“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知全集U和它的两个非空子集A,B的关系如图所示,则下列命题正确的是(  )
A. x A,x∈B    B. x A,x B
C. x∈B,x A D. x B,x∈A
4.(人教A版必修第一册P28练习T2改编)下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(  )
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
5.(2025·福建龙岩期中)命题“ x∈[1,2],x2+ln x-2a≤0”为假命题,则实数a的取值范围为(  )
A. B.(-∞,0)
C.(-∞,ln 2+2) D.(-∞,ln 2+4)
6.(2024·山东烟台二模)已知p:1<2x<4,q:x2-ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则(  )
A.a≥ B.0C.a>2 D.0二、多项选择题
7.(2024·重庆三模)命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(  )
A.m>-2 B.m>-1
C.m>0 D.m>1
8.(2025·福建古田期中)已知命题p: x∈[0,],a≥x2,命题q: x∈R,x2+4x+a=0,若命题p与命题q一真一假,则实数a的可能值为(  )
A.5 B.
C. D.4
三、填空题
9.(2024·山东潍坊二模)已知命题p: x∈[-1,1],x2>a,则 p为________.
10.(2025·湖南长沙模拟)已知命题“ x∈(0,+∞),ex>ax+1”为真命题,写出符合条件的a的一个值:________.
11.若命题:“ a,b∈R,使得a-cos b≤b-cos a”为假命题,则a,b的大小关系为(  )
A.ab
C.a≤b D.a≥b
12.已知f (x)=ax2+bx+1,有下列四个命题:
p1:x=是f (x)的零点;
p2:x=2是f (x)的零点;
p3:f (x)的两个零点之和为1;
p4:f (x)有两个异号零点.
若只有一个假命题,则该命题是(  )
A.p1 B.p2
C.p3 D.p4
13.已知f (x)=x2,g(x)=-m.若 x1∈[0,3], x2∈[1,2],使得f (x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.
课后作业(二)
[A组 在基础中考查学科功底]
1.A [命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是质数”.故选A.]
2.A [由|x-2|<1可得-1所以由1由|x-2|<1推不出1所以“1故选A.]
3.B [由题图可知B A,且A,B为非空集合,
则根据子集的定义可得:
对于A, x A,x∈B错误;
对于B, x A,x B正确;
对于C, x∈B,x A错误;
对于D, x B,x∈A错误.故选B.]
4.B [A中,锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中,当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是存在量词命题又是真命题;C中,因为+(-)=0不是无理数,所以C是假命题;D中,对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,所以D是假命题.故选B.]
5.A [因为命题“ x∈[1,2],x2+ln x-2a≤0”为假命题等价于“ x∈[1,2],x2+ln x-2a>0”为真命题,
所以 x∈[1,2],2a所以只需2a<(x2+ln x)min.
设f (x)=x2+ln x,x∈[1,2],
则f (x)在[1,2]上单调递增,所以f (x)min=1.
所以2a<1,得a<,即实数a的取值范围为,
故选A.]
6.A [命题p:1<2x<4,即p:0因为p是q的充分不必要条件,
显然当x=0时满足q:x2-ax-1<0,
所以当0则a>x-在0又函数f =x-在(0,2)上单调递增,且f (2)=,所以a≥.故选A.]
7.CD [由题意,存在x>0,使得mx2+2x-1>0,
即m>=-2×=-1,
当-1=0,即x=1时,的最小值为-1,故m>-1,所以命题“存在x>0,使得mx2+2x-1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>-1}的真子集,结合选项可得,C和D项符合条件.]
8.AC [如果p为真q为假,对于 x∈[0,],a≥x2,有a≥3,对于 x∈R,x2+4x+a=0为假命题,
则 x∈R,x2+4x+a≠0为真命题,即Δ=42-4a<0,a>4,所以当p为真q为假时,a>4;
如果p为假q为真,则 x∈[0,],使得aq为真,则Δ=42-4a≥0,a≤4,所以a<3;
综上,p和q一真一假,则a<3或a>4,
对于A,5>4,可以;对于B,3<<4,不可以;对于C,>=4,可以;对于D,不可以.故选AC.]
9. x∈,x2≤a
10.-1(答案不唯一) [ x∈,ex>1,
当a<0时, x∈(0,+∞),ax+1<1,则a可取任意负数,如-1.]
[B组 在综合中考查关键能力]
11.B [由题意,命题的否定“ a,b∈R,使得a-cos b>b-cos a”为真命题,
即a+cos a>b+cos b,
设f (x)=x+cos x,则f ′(x)=1-sin x≥0,
所以f (x)是R上的增函数,
所以由f (a)>f (b)可知a>b,
故选B.]
12.A [由题意,若p1,p2是真命题,则p3,p4均为假命题,不合题意,故p1,p2中必有一个假命题.
若p1是假命题,p2,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=-1,此时p4为真命题,符合题意;
若p2是假命题,p1,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=,此时p4为假命题,不符合题意.
故选A.]
13. [当x∈[0,3]时,f (x)min=f (0)=0;当x∈[1,2]时=g(2)=-m.
由f (x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.]
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