数学：第14章勾股定理复习教案（华东师大版八年级上）
文档属性
| 名称 | 数学：第14章勾股定理复习教案（华东师大版八年级上） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 104.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-01-13 18:37:00 | ||
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文档简介
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第十四章 勾股定理
回顾与思考
教学目标
1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。
2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。
3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。
教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。
教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。
教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等
教学方法：启发式教育
教学过程
一、回顾与思考
1．直角三角形的边存在着什么关系？
2．直角三角形的角存在着什么关系？
3．直角三角形还有哪些性质？
4．如何判断一个三角形是直角三角形？
5．你知道勾股定理的历史吗？
1、 讲例
问题：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
（留几分钟的时间给学生思考）
分析：1、求梯子的底端B距墙角O多少米？
2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：
（1）底端也将滑动0.5米吗？
（2）能否求出OD的长？
解：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。
∴OB≈1.658m；在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。∴OD≈2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m
∴如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。
例2 议一议P19 拼图与勾股定理
观察图 2 验证：c2＝a2＋b2
证明：大正方形面积可表示为c2，也可以表示为ab·4＋（b—a）2
所以c2＝ab·4＋（b—a）2
＝2ab＋b2－2ab＋a2
＝a2＋b2
故c2＝a2十b2
例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，DB＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC和△DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABC中，AB2＋AD2＝32＋42＝9＋16＝25＝BD2
所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°
在△DBC中，BD2＋DC2＝52＋122＝25＋144＝169＝132＝BC2
所以△DBC是直角三角形，∠CDB＝90°
因此这个零件符合要求。
2、 随堂练习
一、判断题。
1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（）
2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）
二、填空题。
1．已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是
2．△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以BC为边的正方形面积为
3．三条线段m、n、p满足m2一 n2＝ p2，以这三条线段为边组成的三角形为
三、选择题。
1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能构成的直角三角形的有（）。
A．4组 B．3组 C．2组 D．l组
2．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
1． 作业
1．已知 a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）。试说明LABC为直角三角形。
2．若三角形ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c 试判断△ABC的形状。
3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC内一点，PA＝l，PB＝3，PC2＝7，求∠CPA的大小。
4．四边形 ABCD中∠A＝90°，AB＝4cm，AD＝3cm，CD＝12cm，BC＝13CC，
求S四边形ABCD
教学内容 第14章 勾股定理单元复习 授课班级
教学目标 知识 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．
能力
情感
教学重点 勾股定理的应用
教学难点 实际问题向数学问题的转化
教学准备 制作课件
学案
教学过程 教 学 内 容 师 生 互 动 备 注
一创设情境引入新课 想一想1 直角三角形有那些特征？2 直角三角形有那些识别方法？3 你能说几组勾股数呢？ 学生分组探讨：1一般三角形具有的特征它都有。2 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方学生分组探讨：1有一个角是直角的三角形。2 两个角互余的三角形。3 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形学生互相交流。 3、4、5； 5、12、13 7、24、25； 8、15、179、40、41；
二合作交流自主探究 探究1如图，以Rt△的三边为边向外作正方形，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？联想（1）若以Rt△的三边为直径作半圆，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？（2）若以Rt△的三边为边作等边三角形，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？探究2如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？解：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。∴OB≈1.658m；在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。∴OD≈2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m∴如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。探究3.如图沿AE折叠矩形，点D恰好落在 BC边上的点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，求EC的长.探究4有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 探究5如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？ 讨论：1三个正方形的面积分别与哪三条边有关系？2 如果，，那么S3=？3 如果 ，，则的长为多少呢？等边三角形的面积公式是怎样的呢？分析：1、求梯子的底端B距墙角O多少米？2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5米吗？（2）能否求出OD的长？解：∵点F、D关于AE对称 ∴ ΔAFE ≌ ΔAD E ∴ AF=AD ，EF =ED ∠AFE = ∠ ADE ∵四边形ABCD是矩形 ∴BC=AD AB =CD ∠C = ∠ ADE =900 又∵AB =8cm BC =10cm ∴ AF=10cm CD =8cm 在Rt Δ ABF中 BF=∴FC =4cm 设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm 在 Δ CFE 中，∵EF2=EC2+FC2 ∴ （8-x）2 = x2+42 解得x=3 答：EC的长为3cm.讨论：1 拖拉机行驶在什么地点离学校最近呢？2 若受影响，则在哪一点开始呢？3 在什么范围里，学校将受到影响呢？ 本题的实质为请同学们回顾勾股定理。引导重在实现图形：与的转化
三随堂练习巩固新知 1 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米．2 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形． （1）a=7, b=24, c=25.（2）a=m2-n2，b=2mn, c=m2+n2.（m，n是正整数，且m＞n）． △ABC是直角三角形吗？请说明理由．3 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？
四目标检测形成练习 1 在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿． 2 在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝ ． 3 等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 4 等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．5 直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿．6 如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（ ）A．B． C． D．无法确定
五课堂小结提高认识 1 你能说说出本章的知识结构吗？2 本节课有什么收获，请你谈谈？
六巩固提高运用拓展 1 国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高．2 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是多少？3 在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问：这棵树有多高
板书设计电教资源 探究1 写出规律探究2 写出解题的过程探究4 建立方程探究5 写出解题的过程
教 学 反 思
第14章 勾股定理 小结与复习
教学目标
知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题．
过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．
情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．
重点、难点、关键
重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．
难点：正确运用勾股定理及其逆定理．
关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．
教学准备
教师准备：投影仪，补充资料．
学生准备：写一份单元复习小结．
教学设计
教学过程
一、回顾与交流
1．重点精析
勾股定理，Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．
应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．
2．例题精讲
例 在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．
教师分析：因为Rt△的面积等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道题．分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab．
解：∵a+b=p，c=q，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2
a2+b2=q2（勾股定理）
∴2ab=p2-q2
∴SRt△ABC=ab=（p2-q2）（厘米2）
学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解．
媒体使用：投影显示例题．
教学形式：师生互动．
3．课堂演练
演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？
思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米．
演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m．
思路点拨：应用Rt△ABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB．
参考答案：480m．
演练三，在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．
思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题．
参考答案：b=或．
演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？
思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5．
4．难点精析
勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）先确定最大边（如c）；
（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．
此时情况有两种：
（1）当a2+b2>c2时，三角形为锐角三角形；
（2）当a2+b25．范例精讲
例 如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．
教师分析：要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长．
解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，
所以BD=DC=BC=10
因为AD2+BD2=576+100=676，
AB2=262=676，
AD2+BD2=AB2
所以∠ADB=90°，即AD⊥BC．（勾股逆定理）
在Rt△ADC中
AC==26（勾股定理）
评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD垂直平分BC，所以AC=AB=26．
6．课堂演练
演练一：在数轴上作表示-的点．
思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线段的端点A，以O（原点）为圆心，OA为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-．
演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？
思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？
演练三：设△ABC的3条边长分别是a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（1）填表：
n a b c a2+b2 c2 △ABC是不是直角三角形
2 3 4 5 25 25
3
4
5
6
… … … … … … …
（2）当n取大于1的整数时，以表中各组a，b，c的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？
（3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3个数还是勾股数吗？扩大3倍、4倍和n倍呢？为什么？
（4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？
演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？
教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示．
学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用．
媒体使用：投影显示“演练题”．
教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的．
二、构筑知识系
A.
B.
三、随堂练习
课本P62复习题第4，7，10，11题．
四、布置作业
1．课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题．
2．选用课时作业设计．
五、课后反思（略）
课时作业设计
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°．
（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．
（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．
（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．
2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．
3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．
4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________．
二、选择题
5．在下列说法中是错误的（ ）．
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若a=c，b=c，则△ABC为Rt△
D．在△ABC中，若a：b：c=2：2：4，则△ABC为直角三角形
6．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．5cm C．cm
7．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）．
A．a=6，b=8，c=10 B．a=1，b=2，c=6
C．a=，b=1，c= D．a=2，b=3，c=
8．有四个三角形：
（1）△ABC的三边之比为3：4：5；
（2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13；
（3）△A″B″C″的三个内角之比为1：2：3；
（4）△CDE的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（ ）．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
三、解答题
9．如果3条线段的长a，b，c满足c2=a2-b2，那么这3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？
10．如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由．
11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF的面积．
12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？
四、探究题
13．如图所示，在一块正方形ABCD的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD边上找出中点F，在BC边上找出点E，使EC=BC，然后沿着AF、EF、AE裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．
14．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
求：（1）折叠后DE的长；
（2）以折痕EF为边的正方形面积．
答案:
一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6 8 10 3．17cm 4．4.8 6和8
二、5．B 6．D 7．B 8．D
三、9．是直角三角形 10．利用勾肌定理 11．169厘米2 12．12米
四、13．方案正确，理由:
裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a，则DF=FC=2a，EC=a．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2；
在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2；
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2．
∴AE2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°，
∴△AFE是直角三角形．
14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，
那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-（9-x）2=32，
故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，
连BD即BD与EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，
∴以EF为边的正方形面积为144cm2．
B
D
C
A
O
B
O
A
D
B
A
3
4
5
12
C
13
B
D
C
A
O
A
B
F
C
D
E
5尺
1尺
x 尺
水池
D
P
M
N
Q
A
C
B
B
D
C
A
O
B
O
A
O
D
C
A
B
E
F
D
C
直角三角形
勾股定理
应用
判定直角三角形的一种方法
Ａ
Ｄ
Ｃ
B
A
B
C
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第十四章 勾股定理
回顾与思考
教学目标
1．知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。
2．能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。
3．德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。
教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。
教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。
教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等
教学方法：启发式教育
教学过程
一、回顾与思考
1．直角三角形的边存在着什么关系？
2．直角三角形的角存在着什么关系？
3．直角三角形还有哪些性质？
4．如何判断一个三角形是直角三角形？
5．你知道勾股定理的历史吗？
1、 讲例
问题：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
（留几分钟的时间给学生思考）
分析：1、求梯子的底端B距墙角O多少米？
2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：
（1）底端也将滑动0.5米吗？
（2）能否求出OD的长？
解：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。
∴OB≈1.658m；在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。∴OD≈2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m
∴如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。
例2 议一议P19 拼图与勾股定理
观察图 2 验证：c2＝a2＋b2
证明：大正方形面积可表示为c2，也可以表示为ab·4＋（b—a）2
所以c2＝ab·4＋（b—a）2
＝2ab＋b2－2ab＋a2
＝a2＋b2
故c2＝a2十b2
例3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，DB＝5，DC＝12，BC＝13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ABC和△DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABC中，AB2＋AD2＝32＋42＝9＋16＝25＝BD2
所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°
在△DBC中，BD2＋DC2＝52＋122＝25＋144＝169＝132＝BC2
所以△DBC是直角三角形，∠CDB＝90°
因此这个零件符合要求。
2、 随堂练习
一、判断题。
1．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（）
2．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）
二、填空题。
1．已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是
2．△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以BC为边的正方形面积为
3．三条线段m、n、p满足m2一 n2＝ p2，以这三条线段为边组成的三角形为
三、选择题。
1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能构成的直角三角形的有（）。
A．4组 B．3组 C．2组 D．l组
2．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
1． 作业
1．已知 a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）。试说明LABC为直角三角形。
2．若三角形ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c 试判断△ABC的形状。
3．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，P为△ABC内一点，PA＝l，PB＝3，PC2＝7，求∠CPA的大小。
4．四边形 ABCD中∠A＝90°，AB＝4cm，AD＝3cm，CD＝12cm，BC＝13CC，
求S四边形ABCD
教学内容 第14章 勾股定理单元复习 授课班级
教学目标 知识 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．
能力
情感
教学重点 勾股定理的应用
教学难点 实际问题向数学问题的转化
教学准备 制作课件
学案
教学过程 教 学 内 容 师 生 互 动 备 注
一创设情境引入新课 想一想1 直角三角形有那些特征？2 直角三角形有那些识别方法？3 你能说几组勾股数呢？ 学生分组探讨：1一般三角形具有的特征它都有。2 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方学生分组探讨：1有一个角是直角的三角形。2 两个角互余的三角形。3 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形学生互相交流。 3、4、5； 5、12、13 7、24、25； 8、15、179、40、41；
二合作交流自主探究 探究1如图，以Rt△的三边为边向外作正方形，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？联想（1）若以Rt△的三边为直径作半圆，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？（2）若以Rt△的三边为边作等边三角形，其面积分别为，请同学们想一想之间有何关系呢？探究2如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？解：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。∴OB≈1.658m；在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。∴OD≈2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m∴如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。探究3.如图沿AE折叠矩形，点D恰好落在 BC边上的点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，求EC的长.探究4有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 探究5如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？ 讨论：1三个正方形的面积分别与哪三条边有关系？2 如果，，那么S3=？3 如果 ，，则的长为多少呢？等边三角形的面积公式是怎样的呢？分析：1、求梯子的底端B距墙角O多少米？2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5米吗？（2）能否求出OD的长？解：∵点F、D关于AE对称 ∴ ΔAFE ≌ ΔAD E ∴ AF=AD ，EF =ED ∠AFE = ∠ ADE ∵四边形ABCD是矩形 ∴BC=AD AB =CD ∠C = ∠ ADE =900 又∵AB =8cm BC =10cm ∴ AF=10cm CD =8cm 在Rt Δ ABF中 BF=∴FC =4cm 设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm 在 Δ CFE 中，∵EF2=EC2+FC2 ∴ （8-x）2 = x2+42 解得x=3 答：EC的长为3cm.讨论：1 拖拉机行驶在什么地点离学校最近呢？2 若受影响，则在哪一点开始呢？3 在什么范围里，学校将受到影响呢？ 本题的实质为请同学们回顾勾股定理。引导重在实现图形：与的转化
三随堂练习巩固新知 1 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米．2 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形． （1）a=7, b=24, c=25.（2）a=m2-n2，b=2mn, c=m2+n2.（m，n是正整数，且m＞n）． △ABC是直角三角形吗？请说明理由．3 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？
四目标检测形成练习 1 在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿． 2 在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝ ． 3 等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 4 等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．5 直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿．6 如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（ ）A．B． C． D．无法确定
五课堂小结提高认识 1 你能说说出本章的知识结构吗？2 本节课有什么收获，请你谈谈？
六巩固提高运用拓展 1 国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高．2 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是多少？3 在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问：这棵树有多高
板书设计电教资源 探究1 写出规律探究2 写出解题的过程探究4 建立方程探究5 写出解题的过程
教 学 反 思
第14章 勾股定理 小结与复习
教学目标
知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题．
过程与方法：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．
情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．
重点、难点、关键
重点：熟练运用勾股定理及其逆定理．
难点：正确运用勾股定理及其逆定理．
关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．
教学准备
教师准备：投影仪，补充资料．
学生准备：写一份单元复习小结．
教学设计
教学过程
一、回顾与交流
1．重点精析
勾股定理，Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．
应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长．
2．例题精讲
例 在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为p厘米，斜边长为q厘米，求这个三角形的面积．
教师分析：因为Rt△的面积等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道题．分析已知条件可知a+b=p，c=q，再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab．
解：∵a+b=p，c=q，
∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2
a2+b2=q2（勾股定理）
∴2ab=p2-q2
∴SRt△ABC=ab=（p2-q2）（厘米2）
学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解．
媒体使用：投影显示例题．
教学形式：师生互动．
3．课堂演练
演练一：如图所示，带阴影的矩形面积是多少？
思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案51厘米．
演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽为多少m．
思路点拨：应用Rt△ABC中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB．
参考答案：480m．
演练三，在Rt△ABC中，a=3，c=5，求b．
思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把c当作斜边，只求b=4，但本道题以b当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题．
参考答案：b=或．
演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？
思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=（x+1）米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5．
4．难点精析
勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）先确定最大边（如c）；
（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．
此时情况有两种：
（1）当a2+b2>c2时，三角形为锐角三角形；
（2）当a2+b2
例 如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．
教师分析：要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长．
解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，
所以BD=DC=BC=10
因为AD2+BD2=576+100=676，
AB2=262=676，
AD2+BD2=AB2
所以∠ADB=90°，即AD⊥BC．（勾股逆定理）
在Rt△ADC中
AC==26（勾股定理）
评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到AD垂直平分BC，所以AC=AB=26．
6．课堂演练
演练一：在数轴上作表示-的点．
思路点拨：在数轴上的点-2位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为1，连接原点到这条线段的端点A，以O（原点）为圆心，OA为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-．
演练二：下列三角形（如图14-3-5所示）是直角三角形吗？为什么？
思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？
演练三：设△ABC的3条边长分别是a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（1）填表：
n a b c a2+b2 c2 △ABC是不是直角三角形
2 3 4 5 25 25
3
4
5
6
… … … … … … …
（2）当n取大于1的整数时，以表中各组a，b，c的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？
（3）3、4、5是一组勾股数，如果将这3个数分别扩大2倍，所得3个数还是勾股数吗？扩大3倍、4倍和n倍呢？为什么？
（4）还有不同于上述各组数的勾股数吗？
演练四：如图所示，古代建筑师把12段同样长的绳子相互连成环状，把从点B到点C之间的5段绳子拉直，然后在点A将绳子拉紧，便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？
教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示．
学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用．
媒体使用：投影显示“演练题”．
教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的．
二、构筑知识系
A.
B.
三、随堂练习
课本P62复习题第4，7，10，11题．
四、布置作业
1．课本P62复习题第1，3，6，8，9，12题．
2．选用课时作业设计．
五、课后反思（略）
课时作业设计
一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°．
（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．
（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．
（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．
2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．
3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．
4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________．
二、选择题
5．在下列说法中是错误的（ ）．
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若a=c，b=c，则△ABC为Rt△
D．在△ABC中，若a：b：c=2：2：4，则△ABC为直角三角形
6．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．5cm C．cm
7．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）．
A．a=6，b=8，c=10 B．a=1，b=2，c=6
C．a=，b=1，c= D．a=2，b=3，c=
8．有四个三角形：
（1）△ABC的三边之比为3：4：5；
（2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13；
（3）△A″B″C″的三个内角之比为1：2：3；
（4）△CDE的三个内角之比为1：1：2，其中直角三角形的有（ ）．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
三、解答题
9．如果3条线段的长a，b，c满足c2=a2-b2，那么这3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？
10．如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由．
11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF的面积．
12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？
四、探究题
13．如图所示，在一块正方形ABCD的布料上要裁出四个大小不同的直角三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在CD边上找出中点F，在BC边上找出点E，使EC=BC，然后沿着AF、EF、AE裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由．
14．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
求：（1）折叠后DE的长；
（2）以折痕EF为边的正方形面积．
答案:
一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6 8 10 3．17cm 4．4.8 6和8
二、5．B 6．D 7．B 8．D
三、9．是直角三角形 10．利用勾肌定理 11．169厘米2 12．12米
四、13．方案正确，理由:
裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a，则DF=FC=2a，EC=a．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=（4a）2+（2a）2=20a2；
在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2；
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=（4a）2+（3a）2=25a2．
∴AE2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得∠AFE=90°，
∴△AFE是直角三角形．
14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，
那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-（9-x）2=32，
故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，
连BD即BD与EF互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，
∴以EF为边的正方形面积为144cm2．
B
D
C
A
O
B
O
A
D
B
A
3
4
5
12
C
13
B
D
C
A
O
A
B
F
C
D
E
5尺
1尺
x 尺
水池
D
P
M
N
Q
A
C
B
B
D
C
A
O
B
O
A
O
D
C
A
B
E
F
D
C
直角三角形
勾股定理
应用
判定直角三角形的一种方法
Ａ
Ｄ
Ｃ
B
A
B
C
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