思维进阶课十五 电磁感应中的电路、图像问题
[学习目标] 1．掌握电磁感应中电路问题的求解方法，会计算电路中的电流、电压、电功率等相关问题。
2．会分析电磁感应的图像问题。
电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中电路知识的关系图
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
平动电动势的电路
[典例1] 如图所示，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc处滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
[听课记录]
转动电动势的电路
[典例2] (多选)如图所示，导线圆环总电阻为2R，半径为d，垂直磁场固定于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，此磁场的左边界正好与圆环直径重合，电阻为R的直金属棒ab以恒定的角速度ω绕过环心O的轴匀速转动，a、b端正好与圆环保持良好接触。以下说法正确的是( )
A．图示位置处O点电势高于b点电势
B．图示位置处a、b两点的电势差Uab＝Bd2ω
C．转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比 2∶1
D．金属棒转动一圈时棒上产生的热量为
[听课记录]
感生电动势的电路
[典例3] (2024·广东广州统考)如图甲所示，一个电阻值为R、匝数为n、半径为r1的圆形金属线圈与阻值为3R的电阻R1连接成闭合回路，线圈中半径为r2的圆形区域存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵坐标轴的截距分别为t2和B0，导线的电阻不计，求0到t1时间内：
(1)电阻R1两端的电压并判断电阻R1两端a、b两点电势的高低；
(2)通过电阻R1上的电荷量q及电阻R1上产生的热量。
[听课记录]
电磁感应中的图像问题
1．基本思路
(1)明确图像的种类，即是B-t图像还是Φ-t图像，或者E-t图像、i-t图像、F-t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E-x图像和i-x图像。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
2．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
图像的选取
[典例4] (多选)(2024·全国甲卷)如图所示，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面(纸面)内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平。在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是( )
A B C D
[听课记录]
图像的转换
[典例5] 如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示。则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图像可能是( )
A B
C D
[听课记录]
图像信息应用
[典例6] (2024·广东中山统考)如图甲所示，圆形线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝20，线圈面积S1＝1 m2，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，线圈内面积S2＝0.5 m2的正方形区域内有随时间变化的磁场，磁感应强度B随时间t变化规律如图乙所示。求：
(1)前0.2 s时间内线圈中产生的感应电动势E；
(2)前0.2 s时间内a、b两点间的电势差Uab；
(3)请在图丙中画出前0.8 s时间内电路中电流I随时间t变化的图像(定义电流由a向b流经R为正方向)。
[听课记录]
思维进阶课十五 电磁感应中的电路、图像问题
进阶1
典例1 C [
设PQ左侧电路的电阻为Rx，右侧电路的电阻为3R－Rx，则外电路的总电阻R外＝先增大后减小，根据闭合电路欧姆定律可得PQ中的电流I＝先减小后增大，路端电压U＝E－IR先增大后减小，故A、B错误；导体棒做匀速直线运动，拉力与安培力平衡，即F＝IlB，拉力的功率P＝IlBv，先减小后增大，故C正确；外电路的总电阻R外＝，当Rx＝R时R外最大，最大值为R，小于导体棒的电阻R，又外电路电阻先增大后减小，由电源的输出功率与外电路电阻的关系可知，线框消耗的电功率先增大后减小，故D错误。]
典例2 CD [根据右手定则可知，题图所示位置直金属棒Oa部分充当电源，电源内部电流方向为O→a，外电路电流方向为b→O，则O点电势低于b点电势，故A错误；由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E感＝Bdv＝Bd·＝，根据等效电路可知，圆环部分电阻为R环＝＝，整个电路的总电阻为R总＝R环＋R＝，干路电流为I＝＝，a、b两点的电势差Uab＝IR环＝，故B错误；转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率分别为P棒＝I2R，P环＝I2R环＝，故转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比为P棒∶P环＝2∶1，故C正确；金属棒转动一圈时棒上产生的热量Q＝I2Rt＝·R·＝，故D正确。]
典例3 解析：(1)由法拉第电磁感应定律知0到t1时间内的电动势E＝＝
由闭合电路欧姆定律知通过R1的电流I＝
R1两端的电压U＝I×3R
代入可得U＝
由楞次定律可判断通过R1的电流方向为从b到a，则b点的电势高于a点的电势。
(2)通过R1的电荷量q＝It1
代入可得q＝
电阻R1上产生的热量Q＝I2×3Rt1
代入可得Q＝。
答案： b点电势高于a点电势
进阶2
典例4 AC [线框在减速进入磁场的过程中，对线框受力分析，根据牛顿第二定律有mg＋－T＝ma，对物块受力分析，根据牛顿第二定律有T－Mg＝Ma，联立解得a＝－g，则随着速度的减小，加速度不断减小，B错误；结合B项分析可知，若匀强磁场区域高度与线框宽度相等且物块质量与线框质量相等，则线框在磁场中一直做加速度逐渐减小的减速运动，出磁场后匀速运动，则A选项的图像可能正确；若匀强磁场区域高度大于线框宽度且物块质量与线框质量相等，则线框进磁场和出磁场阶段均做加速度逐渐减小的减速运动，完全在磁场中运动时不受安培力，做匀速运动，完全出磁场后，也做匀速运动，则C选项的图像可能正确；D选项的图像中线框出磁场后匀加速，说明物块质量大于线框质量，但在此情况下，结合B项分析可知，存在第二段匀速阶段时，不会存在第三段减速阶段，D错误。]
典例5 D [因为l2中感应电流大小不变，根据法拉第电磁感应定律可知，l1中磁场的变化是均匀的，即l1中电流的变化也是均匀的，A、C错误；根据题图乙可知，0～时间内l2中的感应电流产生的磁场方向向左，所以线圈l1中感应电流产生的磁场方向向左并且减小，或方向向右并且增大，B错误，D正确。]
典例6 解析：(1)前0.2 s时间内，感应电动势
E＝n＝n＝4 V。
(2)根据闭合电路欧姆定律得路端电压大小
U＝E＝3 V
根据楞次定律可知，a点的电势比b点的电势高，故Uab＝3 V。
(3)前0.2 s时间内，根据闭合电路欧姆定律得
I＝＝2 A
0.2 s到0.4 s时间内，磁感应强度B不变，没有感应电动势，电流为0，0.4 s到0.8 s时间内，感应电动势E′＝＝＝2 V
根据闭合电路欧姆定律得I′＝＝1 A
根据楞次定律可知，此时电流方向反向，则前0.8 s时间内电流I随时间t变化的图像如图所示。
答案：(1)4 V (2)3 V (3)见解析图
1 / 5(共66张PPT)
第十一章 电磁感应
思维进阶课十五 电磁感应中的电路、图像问题
[学习目标] 1．掌握电磁感应中电路问题的求解方法，会计算电路中的电流、电压、电功率等相关问题。
2．会分析电磁感应的图像问题。
进阶1 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中电路知识的关系图
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
角度1 平动电动势的电路
[典例1] 如图所示，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc处滑动的过程中( )
A．PQ中电流先增大后减小
B．PQ两端电压先减小后增大
C．PQ上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
√
C [设PQ左侧电路的电阻为Rx，右侧电路的电阻为3R－Rx，则外电路的总电阻R外＝先增大后减小，根据闭合电路欧姆定律可得PQ中的电流I＝先减小后增大，路端电压U＝E－IR先增大后减小，故A、B错误；导体棒做匀速直线运动，拉力与安培力平衡，即F＝IlB，拉力的功率P＝IlBv，先减小后增大，故C正确；外电路的总电阻R外＝，当Rx＝R时R外最大，最大值为R，小于导体棒的
电阻R，又外电路电阻先增大后减小，由电源的输
出功率与外电路电阻的关系可知，线框消耗的电
功率先增大后减小，故D错误。]
角度2 转动电动势的电路
[典例2] (多选)如图所示，导线圆环总电阻为2R，半径为d，垂直磁场固定于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，此磁场的左边界正好与圆环直径重合，电阻为R的直金属棒ab以恒定的角速度ω绕过环心O的轴匀速转动，a、b端正好与圆环保持良好接触。以下说法正确的是( )
A．图示位置处O点电势高于b点电势
B．图示位置处a、b两点的电势差Uab＝Bd2ω
C．转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比 2∶1
D．金属棒转动一圈时棒上产生的热量为
√
√
CD [根据右手定则可知，题图所示位置直金属棒Oa部分充当电源，电源内部电流方向为O→a，外电路电流方向为b→O，则O点电势低于b点电势，故A错误；由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E感＝Bdv＝Bd·＝，根据等效电路可知，圆环部分电阻为R环＝＝，整个电路的总电阻为R总＝R环＋R＝，干路电流为I＝＝，
a、b两点的电势差Uab＝IR环＝，故B错误；转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率分别为P棒＝I2R，P环＝I2R环＝，故转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比为P棒∶P环＝2∶1，故C正确；金属棒转动一圈时棒上产生的热量Q＝I2Rt＝·R·＝，故D正确。]
角度3 感生电动势的电路
[典例3] (2024·广东广州统考)如图甲所示，一个电阻值为R、匝数为n、半径为r1的圆形金属线圈与阻值为3R的电阻R1连接成闭合回路，线圈中半径为r2的圆形区域存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵坐标轴的截距分别为t2和B0，导线的电阻不计，求0到t1时间内：
(1)电阻R1两端的电压并判断电阻R1两端a、b两点电势的高低；
(2)通过电阻R1上的电荷量q及电阻R1上产生的热量。
[解析] (1)由法拉第电磁感应定律知0到t1时间内的电动势E＝＝
由闭合电路欧姆定律知通过R1的电流I＝
R1两端的电压U＝I×3R
代入可得U＝
由楞次定律可判断通过R1的电流方向为从b到a，则b点的电势高于a点的电势。
(2)通过R1的电荷量q＝It1
代入可得q＝
电阻R1上产生的热量Q＝I2×3Rt1
代入可得Q＝。
[答案] b点电势高于a点电势
进阶2 电磁感应中的图像问题
1．基本思路
(1)明确图像的种类，即是B-t图像还是Φ-t图像，或者E-t图像、i-t图像、F-t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E-x图像和i-x图像。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
2．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
角度1 图像的选取
[典例4] (多选)(2024·全国甲卷)如图所示，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面(纸面)内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平。在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是( )
A B C D
√
√
AC [线框在减速进入磁场的过程中，对线框受力分析，根据牛顿第二定律有mg＋－T＝ma，对物块受力分析，根据牛顿第二定律有T－Mg＝Ma，联立解得a＝－g，则随着速度的减小，加速度不断减小，B错误；结合B项分析可知，若匀强磁场区域高度与线框宽度相等且物块质量与线框质量相等，则线框在磁场中一直做加速度逐渐减小的减速运动，出磁场后匀速运动，则A选项的图像可能正确；若匀强磁场区域高度大于线框宽度且物块质量与线框
质量相等，则线框进磁场和出磁场阶段均做加速度逐渐减小的减速运动，完全在磁场中运动时不受安培力，做匀速运动，完全出磁场后，也做匀速运动，则C选项的图像可能正确；D选项的图像中线框出磁场后匀加速，说明物块质量大于线框质量，但在此情况下，结合B项分析可知，存在第二段匀速阶段时，不会存在第三段减速阶段，D错误。]
角度2 图像的转换
[典例5] 如图甲所示，在线圈l1中通入电流i1后，在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示。则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图像可能是( )
A B
C D
√
D [因为l2中感应电流大小不变，根据法拉第电磁感应定律可知，l1中磁场的变化是均匀的，即l1中电流的变化也是均匀的，A、C错误；根据题图乙可知，0～时间内l2中的感应电流产生的磁场方向向左，所以线圈l1中感应电流产生的磁场方向向左并且减小，或方向向右并且增大，B错误，D正确。]
角度3 图像信息应用
[典例6] (2024·广东中山统考)如图甲所示，圆形线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝20，线圈面积S1＝1 m2，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，线圈内面积S2＝0.5 m2的正方形区域内有随时间变化的磁场，磁感应强度B随时间t变化规律如图乙所示。求：
(1)前0.2 s时间内线圈中产生的感应电动势E；
(2)前0.2 s时间内a、b两点间的电势差Uab；
(3)请在图丙中画出前0.8 s时间内电路中电流I随时间t变化的图像(定义电流由a向b流经R为正方向)。
[解析] (1)前0.2 s时间内，感应电动势
E＝n＝n＝4 V。
(2)根据闭合电路欧姆定律得路端电压大小
U＝E＝3 V
根据楞次定律可知，a点的电势比b点的电势高，故Uab＝3 V。
(3)前0.2 s时间内，根据闭合电路欧姆定律得
I＝＝2 A
0.2 s到0.4 s时间内，磁感应强度B不变，没有感应电动势，电流为0，0.4 s到0.8 s时间内，感应电动势E′＝＝＝2 V
根据闭合电路欧姆定律得I′＝＝1 A
根据楞次定律可知，此时电流方向反向，则前0.8 s时间内电流I随时间t变化的图像如图所示。
[答案] (1)4 V (2)3 V (3)见解析图
思维进阶特训(十五)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(多选)(2025·河南周口高三检测)如图所示，在置于匀强磁场中的平行导轨上，横跨在两导轨间的导体杆PQ以速度v向右匀速移动，已知磁场的磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面(纸面)向外，导轨间距为l，闭合电路acQP中除电阻R外，
其他部分的电阻忽略不计，则( )
A．电路中的感应电动势E＝Blv
B．电路中的感应电流I＝
C．通过电阻R的电流方向是由a向c
D．PQ杆受到的安培力方向水平向右
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
AB [根据法拉第电磁感应定律可知，电路中的感应电动势E＝Blv，故A正确；根据欧姆定律可知，电路中的感应电流I＝，故B正确；根据右手定则可知，通过电阻R的电流方向是由c向a，故C错误；根据左手定则可知，PQ杆受到的安培力方向水平向左，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2．如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，连接处电阻不计，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电压为( )
A．E B．E
C．E D．E
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B [a、b间的电压等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b间电压为U＝E，选项B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
3．如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈电阻为R，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值均为2R。下列说法正确的是( )
A．电容器上极板带负电
B．通过线圈的电流强度为
C．电容器所带的电荷量为
D．电容器所带的电荷量为
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D [由楞次定律知，电容器上极板带正电，A错误；因E＝nkS，则I＝＝，B错误；又UC＝I×2R＝，则Q＝CUC＝，C错误，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．(多选)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示。设如图甲所示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的电动势e、感应电流i、焦耳热Q以及ab边所受的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A B
C D
√
√
CD [0～1 s内产生的感应电动势为e1＝＝2 V, 方向为逆时针(负值)，同理1～5 s 内产生的感应电动势为e2＝1 V，方向为顺时针，A错误；0～1 s 内的感应电流大小为i1＝＝2 A，方向为逆时针(负值)，同理1～5 s内的感应电流大小为i2＝1 A, 方向为顺时针(正值)，B错误；ab边受到的安培力大小为F＝nBiL，可知0～1 s内F大小均匀增大，0≤F≤4 N，方向向下，1～3 s内F大小均匀减小，0≤F≤2 N，方向向上，3～5 s内F大小均匀增大，0≤F≤2 N，方向向下，C正确；线圈产生的焦耳热为Q＝eit，0～1 s内Q随时间均匀增加，产生的热量为4 J，1～5 s内Q随时间均匀增加，产生的热量为4 J，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．(2025·八省联考云南卷)如图所示，对角线长度为2L的正方形区域abcd中有垂直于纸面的磁场(图上未画)，磁感应强度B随时间t按B＝B0－kt(B0、k不变，且B0>0，k>0)变化。abcd所在平面内有一根足够长的导体棒MN始终垂直于db，并通有恒定电流。t＝0时，导体棒从d点开始沿db方向匀速穿过磁场，速率为。设导体棒运
动过程中所受安培力大小为F，F-t图像可能正确的
是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A B
C D
√
A [导体棒的位移在0～L时，经过时间t移动的距离为x＝vt＝t，此时导体棒在磁场中的长度l＝2x＝t，所受的安培力F＝BIl＝I(B0－kt)t＝(B0t－kt2)，则图像为开口向下的抛物线的一部分；同理导体棒的位移在L～2L时，所受安培力F＝－kt)＝4LI，由数学知识可知F-t图像为开口向上的抛物线的一部分，则图像为A。故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
6．如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，接入回路的电阻为R，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值也为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．回路中的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．外电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D [金属棒绕OO′轴切割磁感线转动，回路中的电动势E＝Br2ω，故A错误；电容器两极板间电压等于电阻R两端电压，为，带电微粒在两极板间处于静止状态，则q＝q＝mg，解得＝，故B错误；外电阻消耗的功率P＝＝，故C错误；电容器所带的电荷量Q＝C ＝，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
7．空间中存在如图所示的磁场，Ⅰ、Ⅱ区域的宽度均为2R，磁感应强度均为B(Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，Ⅱ区域磁场垂直纸面向外)，半径为R的圆形导线框在外力作用下以速度v匀速通过磁场区域，设任意时刻导线框中电流为I(逆时针为正)，导线框
所受安培力为F(向左为正)，从导线框刚进入Ⅰ区
域开始将向右运动的位移记为x，则下列图像正确
的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A B
C D
√
D [当圆环在磁场Ⅰ区域向右运动且未进入磁场Ⅱ区域的过程中，设圆环切割磁感线的等效长度为l，则有(R－x)2＋＝R2，整理得l＝2(0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
的感应电流大小为I′＝＝，即圆环在x＝3R时的电流大小为x＝R时的两倍，方向沿着顺时针方向，A错误；通过分析可知，除了x＝2R、x＝4R、x＝6R三个特殊位置，电流为0，受力为0，在0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
8．(多选)(2024·山东聊城市一模)如图所示，两电阻为零的光滑导轨水平放置在垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝(狭缝宽度不计)，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，导轨左端通过单刀双掷开关S可以与电容C或电阻R相连，导轨上有一足够长且不计电阻的金属棒与x轴垂直，在外力F(大小未知)的作用下从O点开始以速度v向
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
右匀速运动，若某时刻开关S接1，外力用F1表示，通过金属棒电流的大小用I1表示；若某时刻开关S接2，外力用F2表示，通过金属棒电流的大小用I2表示。关于外力、电流大小随时间变化的图像关系正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A B C D
√
√
AD [由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2x·tan θ，x＝vt，则产生的感应电动势为E＝2Bv2t tan θ，当开关S接1时，通过金属棒的电流为I1＝＝t，则可得F1＝BLI1＝t2，由于具有初速度，则开始计时时I1、F1不为零，不过原点，故A正确，B错误；当开关S接2时，通过金属棒的电流为I2＝＝2BCv2tanθ，则可得F2＝BLI2＝4B2Cv3tan2θ·t，由于具有初速度，则开始计时时I2、F2不为零，不过原点，D正确，C错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
9．如图所示，单匝正方形线圈A的边长为0.2m，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，磁感应强度随时间变化的规律为B＝(0.8－0.2t) T。开始时开关S未闭合，R1＝4 Ω，R2＝6 Ω，C＝20 μF，线圈及导线电阻不计。闭合开关S，待电路中的电流稳定后。求：
(1)回路中感应电动势的大小；
(2)电容器所带的电荷量。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析] (1)由法拉第电磁感应定律有E＝S，其中S＝L2，代入数据得E＝4×10-3 V。
(2)由闭合电路欧姆定律得I＝
由部分电路的欧姆定律得U＝IR2
电容器所带电荷量为Q＝CU
联立解得Q＝4.8×10-8 C。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案] (1)4×10-3 V (2)4.8×10-8 C
10．如图甲所示，在光滑绝缘水平面上的0≤x≤1.0 m区域内存在方向垂直平面向上的匀强磁场。一电阻值R＝0.5 Ω、边长L＝0.5 m的正方形金属框abcd，右边界cd恰好位于磁场边界。若以cd边进入磁场时作为计时起点，金属框受到一沿x轴正方向的外力F作用下以v＝1.0 m/s 的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。在0≤t≤1.0 s 内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图乙所示，在0≤t≤1.3 s内金属框始终做匀速运动。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(1)在1.0 s≤t≤1.3 s内存在连续变化的磁场，求此段时间内磁感应强度B的大小与时间t的关系式；
(2)求在0≤t≤1.3 s内流过金属框横截面的电荷量q。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析] (1)根据题意，撤去外力后，金属框匀速离开磁场，则金属框所受安培力为零，电流为0，磁通量不变，则有Φ1＝Φ，t1＝1.0 s时，B1＝0.5 T，磁通量Φ1＝B1L2，t时刻，磁通量Φ＝BL[L－v(t－t1)]
得B＝ (T)。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)根据q＝
可得0≤t≤0.5 s时，电荷量q1＝＝0.125 C
0.5 s≤t≤1.0 s时，电荷量q2＝＝0.125 C
1.0 s故0≤t≤1.3 s内流过金属框横截面的电荷量q＝q1＋q2＝0.25 C。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案] (1)B＝ (T) (2)0.25 C
11．(2025·陕西咸阳高三检测)如图甲所示，将一单匝开口金属圆线圈从开口端M、N处用两段细导线悬于铁架台上两绝缘杆上的固定端点P、Q，圆线圈的质量为m，电阻为R，半径为r，圆线圈处于竖直平面内，其下半部分处于匀强磁场中，上半部分位于磁场外，磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(磁场方向垂直纸面向里为正)。用导线将一控制电路接在P、Q两点之间并保持导通，控制电路中的R1为变阻器，其调节范围为0～2R，定值电阻R2＝3R。已知圆线圈一直处于静止状态，悬挂线圈的细导线处于竖直方向，除线圈、R1、R2外其余电阻不计，重力加速度为g。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(1)t＝0时将R1调为0并保持不变，求t＝时，圆线圈受到两根细导线的总拉力大小；
(2)调节R1，求出R1消耗电功率的最大值。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析] (1)由题图乙可得磁感应强度变化率＝
根据法拉第电磁感应定律可得回路中的感应电动势为E＝＝·πr2＝·πr2＝
分析可知0～时圆线圈中的感应电流方向为顺时针，大小为I＝＝
t＝时，磁感应强度为B＝B0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
结合左手定则得此时线圈受安培力方向竖直向下，大小为F安＝I·2rB＝·2r·B0＝
根据平衡条件可得此时圆线圈受到两根细导线的总拉力为F＝F安＋mg＝＋mg。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)将R2等效为电源内阻，可得等效电源内阻为r′＝R＋3R＝4R
可知R1的最大阻值小于电源的等效内阻，根据电路知识可得当R1调节到最大阻值时，其消耗电功率最大，即Pm＝·2R＝。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案] ＋mg
谢 谢 ！思维进阶特训(十五)
1．(多选)(2025·河南周口高三检测)如图所示，在置于匀强磁场中的平行导轨上，横跨在两导轨间的导体杆PQ以速度v向右匀速移动，已知磁场的磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面(纸面)向外，导轨间距为l，闭合电路acQP中除电阻R外，其他部分的电阻忽略不计，则( )
A．电路中的感应电动势E＝Blv
B．电路中的感应电流I＝
C．通过电阻R的电流方向是由a向c
D．PQ杆受到的安培力方向水平向右
2．如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，连接处电阻不计，匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电压为( )
A．E B．E
C．E D．E
3．如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈电阻为R，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容为C，两个电阻的阻值均为2R。下列说法正确的是( )
A．电容器上极板带负电
B．通过线圈的电流强度为
C．电容器所带的电荷量为
D．电容器所带的电荷量为
4．(多选)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示。设如图甲所示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的电动势e、感应电流i、焦耳热Q以及ab边所受的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是( )
A B
C D
5．(2025·八省联考云南卷)如图所示，对角线长度为2L的正方形区域abcd中有垂直于纸面的磁场(图上未画)，磁感应强度B随时间t按B＝B0－kt(B0、k不变，且B0>0，k>0)变化。abcd所在平面内有一根足够长的导体棒MN始终垂直于db，并通有恒定电流。t＝0时，导体棒从d点开始沿db方向匀速穿过磁场，速率为。设导体棒运动过程中所受安培力大小为F，F-t图像可能正确的是( )
A B
C D
6．如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，接入回路的电阻为R，随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值也为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．回路中的电动势为Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为
C．外电阻消耗的电功率为
D．电容器所带的电荷量为
7．空间中存在如图所示的磁场，Ⅰ、Ⅱ区域的宽度均为2R，磁感应强度均为B(Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，Ⅱ区域磁场垂直纸面向外)，半径为R的圆形导线框在外力作用下以速度v匀速通过磁场区域，设任意时刻导线框中电流为I(逆时针为正)，导线框所受安培力为F(向左为正)，从导线框刚进入Ⅰ区域开始将向右运动的位移记为x，则下列图像正确的是( )
A B
C D
8．(多选)(2024·山东聊城市一模)如图所示，两电阻为零的光滑导轨水平放置在垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝(狭缝宽度不计)，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，导轨左端通过单刀双掷开关S可以与电容C或电阻R相连，导轨上有一足够长且不计电阻的金属棒与x轴垂直，在外力F(大小未知)的作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，若某时刻开关S接1，外力用F1表示，通过金属棒电流的大小用I1表示；若某时刻开关S接2，外力用F2表示，通过金属棒电流的大小用I2表示。关于外力、电流大小随时间变化的图像关系正确的是( )
A B C D
9．如图所示，单匝正方形线圈A的边长为0.2m，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，磁感应强度随时间变化的规律为B＝(0.8－0.2t) T。开始时开关S未闭合，R1＝4 Ω，R2＝6 Ω，C＝20 μF，线圈及导线电阻不计。闭合开关S，待电路中的电流稳定后。求：
(1)回路中感应电动势的大小；
(2)电容器所带的电荷量。
10．如图甲所示，在光滑绝缘水平面上的0≤x≤1.0 m区域内存在方向垂直平面向上的匀强磁场。一电阻值R＝0.5 Ω、边长L＝0.5 m的正方形金属框abcd，右边界cd恰好位于磁场边界。若以cd边进入磁场时作为计时起点，金属框受到一沿x轴正方向的外力F作用下以v＝1.0 m/s 的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。在0≤t≤1.0 s 内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图乙所示，在0≤t≤1.3 s内金属框始终做匀速运动。
(1)在1.0 s≤t≤1.3 s内存在连续变化的磁场，求此段时间内磁感应强度B的大小与时间t的关系式；
(2)求在0≤t≤1.3 s内流过金属框横截面的电荷量q。
11．(2025·陕西咸阳高三检测)如图甲所示，将一单匝开口金属圆线圈从开口端M、N处用两段细导线悬于铁架台上两绝缘杆上的固定端点P、Q，圆线圈的质量为m，电阻为R，半径为r，圆线圈处于竖直平面内，其下半部分处于匀强磁场中，上半部分位于磁场外，磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(磁场方向垂直纸面向里为正)。用导线将一控制电路接在P、Q两点之间并保持导通，控制电路中的R1为变阻器，其调节范围为0～2R，定值电阻R2＝3R。已知圆线圈一直处于静止状态，悬挂线圈的细导线处于竖直方向，除线圈、R1、R2外其余电阻不计，重力加速度为g。
(1)t＝0时将R1调为0并保持不变，求t＝时，圆线圈受到两根细导线的总拉力大小；
(2)调节R1，求出R1消耗电功率的最大值。
思维进阶特训(十五)
1．AB [根据法拉第电磁感应定律可知，电路中的感应电动势E＝Blv，故A正确；根据欧姆定律可知，电路中的感应电流I＝，故B正确；根据右手定则可知，通过电阻R的电流方向是由c向a，故C错误；根据左手定则可知，PQ杆受到的安培力方向水平向左，故D错误。]
2．B [a、b间的电压等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b间电压为U＝E，选项B正确。]
3．D [由楞次定律知，电容器上极板带正电，A错误；因E＝nkS，则I＝＝，B错误；又UC＝I×2R＝，则Q＝CUC＝，C错误，D正确。]
4．CD [0～1 s内产生的感应电动势为e1＝＝2 V, 方向为逆时针(负值)，同理1～5 s 内产生的感应电动势为e2＝1 V，方向为顺时针，A错误；0～1 s 内的感应电流大小为i1＝＝2 A，方向为逆时针(负值)，同理1～5 s内的感应电流大小为i2＝1 A, 方向为顺时针(正值)，B错误；ab边受到的安培力大小为F＝nBiL，可知0～1 s内F大小均匀增大，0≤F≤4 N，方向向下，1～3 s内F大小均匀减小，0≤F≤2 N，方向向上，3～5 s内F大小均匀增大，0≤F≤2 N，方向向下，C正确；线圈产生的焦耳热为Q＝eit，0～1 s内Q随时间均匀增加，产生的热量为4 J，1～5 s内Q随时间均匀增加，产生的热量为4 J，D正确。]
5．A [导体棒的位移在0～L时，经过时间t移动的距离为x＝vt＝t，此时导体棒在磁场中的长度l＝2x＝t，所受的安培力F＝BIl＝I(B0－kt)t＝(B0t－kt2)，则图像为开口向下的抛物线的一部分；同理导体棒的位移在L～2L时，所受安培力F＝－kt)＝4LI，由数学知识可知F-t图像为开口向上的抛物线的一部分，则图像为A。故选A。]
6．D [金属棒绕OO′轴切割磁感线转动，回路中的电动势E＝Br2ω，故A错误；电容器两极板间电压等于电阻R两端电压，为，带电微粒在两极板间处于静止状态，则q＝q＝mg，解得＝，故B错误；外电阻消耗的功率P＝＝，故C错误；电容器所带的电荷量Q＝C ＝，故D正确。]
7．D [当圆环在磁场Ⅰ区域向右运动且未进入磁场Ⅱ区域的过程中，设圆环切割磁感线的等效长度为l，则有(R－x)2＋＝R2，整理得l＝2(08．AD [由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2x·tan θ，x＝vt，则产生的感应电动势为E＝2Bv2t tan θ，当开关S接1时，通过金属棒的电流为I1＝＝t，则可得F1＝BLI1＝t2，由于具有初速度，则开始计时时I1、F1不为零，不过原点，故A正确，B错误；当开关S接2时，通过金属棒的电流为I2＝＝2BCv2tanθ，则可得F2＝BLI2＝4B2Cv3tan2θ·t，由于具有初速度，则开始计时时I2、F2不为零，不过原点，D正确，C错误。]
9．解析：(1)由法拉第电磁感应定律有E＝S，其中S＝L2，代入数据得E＝4×10-3 V。
(2)由闭合电路欧姆定律得I＝
由部分电路的欧姆定律得U＝IR2
电容器所带电荷量为Q＝CU
联立解得Q＝4.8×10-8 C。
答案：(1)4×10-3 V (2)4.8×10-8 C
10．解析：(1)根据题意，撤去外力后，金属框匀速离开磁场，则金属框所受安培力为零，电流为0，磁通量不变，则有Φ1＝Φ，t1＝1.0 s时，B1＝0.5 T，磁通量Φ1＝B1L2，t时刻，磁通量Φ＝BL[L－v(t－t1)]
得B＝ (T)。
(2)根据q＝
可得0≤t≤0.5 s时，电荷量q1＝＝0.125 C
0.5 s≤t≤1.0 s时，电荷量q2＝＝0.125 C
1.0 s故0≤t≤1.3 s内流过金属框横截面的电荷量q＝q1＋q2＝0.25 C。
答案：(1)B＝ (T) (2)0.25 C
11．解析：(1)由题图乙可得磁感应强度变化率＝
根据法拉第电磁感应定律可得回路中的感应电动势为E＝＝·πr2＝·πr2＝
分析可知0～时圆线圈中的感应电流方向为顺时针，大小为I＝＝
t＝时，磁感应强度为B＝B0
结合左手定则得此时线圈受安培力方向竖直向下，大小为F安＝I·2rB＝·2r·B0＝
根据平衡条件可得此时圆线圈受到两根细导线的总拉力为F＝F安＋mg＝＋mg。
(2)将R2等效为电源内阻，可得等效电源内阻为r′＝R＋3R＝4R
可知R1的最大阻值小于电源的等效内阻，根据电路知识可得当R1调节到最大阻值时，其消耗电功率最大，即Pm＝·2R＝。
答案：＋mg
5 / 6
