思维进阶课十三 带电粒子在磁场中运动的临界、极值和多解问题
[学习目标] 1．会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
2．会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界状态问题。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．常见多解类型
多解分类 多解原因 示意图
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定带来多解
临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出，于是形成多解
运动的往复性或周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解
2．求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
(1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。
往复性或周期性形成多解
[典例1] (多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
[听课记录]
带电粒子电性不确定形成多解
[典例2] (多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为( )
A．
C．
[听课记录]
临界状态不确定形成多解
[典例3] (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v<
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度[听课记录]
磁场方向不确定形成多解
[典例4] (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B＞，垂直纸面向里
B．B＞，垂直纸面向里
C．B＞，垂直纸面向外
D．B＞，垂直纸面向外
[听课记录]
“动态圆”模型的应用
“平移圆”模型
模型界定 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“平移圆”法
模型条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
模型特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上且该直线与入射点的连线平行(或共线)
[典例5] (多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力及粒子间的相互作用)，则下列说法中正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
[听课记录]
“放缩圆”模型
适用条件 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子在同一点进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆 心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
[典例6] (多选)(2024·重庆高三校联考期中)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在边长为L的等边三角形ABC内，D是AB边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作用下，从D点沿纸面以方向平行于BC边、大小不同的速度射入三角形内，不考虑粒子间的相互作用，已知粒子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正确的是( )
A．粒子垂直BC边射出时，半径R等于L
B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长
C．粒子可能从C点射出，且在磁场中运动的时间为
D．粒子可能从AB边射出，且在磁场中运动的时间为T
[听课记录]
“旋转圆”模型
模型 界定 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“旋转圆”法
模型条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子在同一点进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝
模型特点 轨迹圆的圆心共圆：如图所示，带正电的粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
[典例7] (多选)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则( )
A．粒子的速度大小为
B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
D．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
[听课记录]
思维进阶课十三 带电粒子在磁场中运动的临界、极值和多解问题
进阶1
典例1 BC [若离子最后经过下部分磁场从P点射出，如图1，则θ＝60°，R＝(n＝1，3，5，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝1，3，5，…)；若离子最后经过上部分磁场从P点射出，如图2，则θ＝0°，R＝(n＝2，4，6，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝2，4，6，…)。综上可知，B、C可能，A、D不可能。
]
典例2 AD [
设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，联立可得T＝。若带电粒子所带电荷为正，则其在磁场中的轨迹为图中①所示，轨迹对应的圆心角为300°，在磁场中运动的时间为t1＝·T＝；若带电粒子所带电荷为负，则其在磁场中的轨迹为图中②所示，轨迹对应的圆心角为60°，在磁场中运动的时间为t2＝·T＝，故A、D正确。]
典例3 AB [如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有＝＋l2，又因为qv1B＝，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，C、D错误。]
典例4 BD [当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知 sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝＋r2，可得r2＝，又r2＝，所以B2＝，故B、D正确，A、C错误。
]
进阶2
典例5 ABC [
根据题意，粒子垂直AB边射入，垂直AC边射出时经过四分之一个周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正确；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子运动的周期T＝＝＝4t0，可解得该匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，B正确；当粒子轨迹与BC边相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，为t0＝T，则在磁场中转过的圆心角为120°，如图所示，根据几何关系可知R sin ＋＝d，解得R＝d，C正确；根据T＝可知，v＝＝＝，D错误。]
典例6 AD [根据题意可知，粒子垂直BC边射出时，运动轨迹如图甲所示，根据几何关系知半径为L，故A正确；
若带电粒子刚好从BC边射出磁场，运动轨迹与BC边相切，可知圆心角为180°，粒子在磁场中运动的时间为T，若带电粒子刚好从AC边射出磁场，运动轨迹与AC边相切，作图可得切点为C点，如图乙所示，可知圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间为T，若带电粒子从AB边射出磁场，可知圆心角为240°，粒子在磁场中运动的时间为T，若粒子在磁场中运动的时间为T，则它一定从AB边射出磁场，所以速度小的粒子不一 定比速度大的粒子在磁场中运动时间长，故B、C错误，D正确。]
典例7 AC [
粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其轨迹1，可知SP为直径，由几何关系得＝(2R)2，解得R＝d，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，解得v＝，故A正确；运动周期T＝，由几何知识可得，从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t＝T＝，故B错误；从x轴上射出磁场的粒子运动时间最长时，运动轨迹与x轴相切(轨迹2)，对应的圆心角为270°，得t1＝T，运动时间最短的粒子为从O点射出的粒子(轨迹3)，运动时间为t2＝T，所以＝，故C正确；沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在O点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。]
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第十章 磁 场
思维进阶课十三 带电粒子在磁场中运动的临界、极值和多解问题
[学习目标] 1．会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
2．会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界状态问题。
多解分类 多解原因 示意图
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
进阶1 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．常见多解类型
多解分类 多解原因 示意图
磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定带来多解
多解分类 多解原因 示意图
临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出，于是形成多解
多解分类 多解原因 示意图
运动的往复性或周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解
2．求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
(1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。
角度1 往复性或周期性形成多解
[典例1] (多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
√
√
BC [若离子最后经过下部分磁场从P点射出，如图1，则θ＝60°，R＝(n＝1，3，5，…)，又qvB＝m， 可得v＝＝(n＝1，3，5，…)；若离子最后经过上部分磁场从P点射出，如图2，则θ＝0°，R＝(n＝2，4，6，…)，又qvB＝m，
可得v＝＝(n＝2，4，6，…)。
综上可知，B、C可能，A、D不可能。]
角度2 带电粒子电性不确定形成多解
[典例2] (多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为( )
A．
C．
√
√
AD [设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，联立可得T＝。若带电粒子所带电荷为正，则其在磁场中的轨迹为图中①所示，轨迹对应的圆心角为300°，在磁场中运动的时间为t1＝·T＝；若带电粒子所带电荷为负，则其在磁场中的轨迹为
图中②所示，轨迹对应的圆心角为60°，在磁场
中运动的时间为t2＝·T＝，故A、D正确。]
角度3 临界状态不确定形成多解
[典例3] (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不
打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v<
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度√
√
AB [如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有＝＋l2，又因为qv1B＝，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，
C、D错误。]
角度4 磁场方向不确定形成多解
[典例4] (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( )
A．B＞，垂直纸面向里
B．B＞，垂直纸面向里
C．B＞，垂直纸面向外
D．B＞，垂直纸面向外
√
√
BD [当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝＋r2，可得r2＝，又r2＝，所以B2＝，故B、D正确，A、C错误。]
进阶2 “动态圆”模型的应用
角度1 “平移圆”模型
模型界定 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“平移圆”法
模型条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
模型特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上且该直线与入射点的连线平行(或共线)
[典例5] (多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力
及粒子间的相互作用)，则下列说法中正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
√
√
√
ABC [根据题意，粒子垂直AB边射入，垂直AC边射出时经过四分之一个周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正确；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子运动的周期T＝＝＝4t0，可解得该匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，B正确；当粒子轨迹与BC边相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，为t0＝T，则在磁
场中转过的圆心角为120°，如图所示，根据几何关系可知R sin ＋＝d，解得R＝d，C正确；根据T＝可知，
v＝＝＝，D错误。]
角度2 “放缩圆”模型
适用条件 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子在同一点进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆 心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电
的情境)，速度v越大，运动半径也
越大。可以发现这些带电粒子射入
磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂
直于初速度方向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
[典例6] (多选)(2024·重庆高三校联考期中)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在边长为L的等边三角形ABC内，D是AB边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作用下，从D点沿纸面以方向平行于BC边、大小不同的速度射入三
角形内，不考虑粒子间的相互作用，已知粒
子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正
确的是( )
A．粒子垂直BC边射出时，半径R等于L
B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长
C．粒子可能从C点射出，且在磁场中运动的时间为
D．粒子可能从AB边射出，且在磁场中运动的时间为T
√
√
AD [根据题意可知，粒子垂直BC边射出时，运动轨迹如图甲所示，根据几何关系知半径为L，故A正确；
若带电粒子刚好从BC边射出磁场，运动轨迹与BC边相切，可知圆心角为180°，粒子在磁场中运动的时间为T，若带电粒子刚好从AC边射出磁场，运动轨迹与AC边相切，作图可得切点为C点，如图乙所示，可知圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间为T，若带电粒子从AB边射出磁场，可知圆心角为240°，粒子在磁场中运动的时间为T，若粒子在磁场中运动的时间为T，则它一定从AB边射出磁场，所以速度小的粒子不一 定比速度大的粒子在磁场中运动时间长，故B、C错误，D正确。]
角度3 “旋转圆”模型
模型 界定 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“旋转圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子在同一点进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝
模型特点
轨迹圆的圆心共圆：如图所示，带正电的粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
[典例7] (多选)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负
电，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的
相互作用均不计，则( )
A．粒子的速度大小为
B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
D．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
√
√
AC [粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其轨迹1，可知SP为直径，由几何关系得d2＋(d)2＝(2R)2，解得R＝d，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，解得v＝，故A正确；运动周期T＝，由几何知识可得，从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t＝T＝，
故B错误；从x轴上射出磁场的粒子运动时间最长时，运动轨迹与x轴相切(轨迹2)，对应的圆心角为270°，得t1＝T，运动时间最短的粒子为从O点射出的粒子(轨迹3)，运动时间为t2＝T，所以＝，故C正确；沿平行x轴正方向射入的粒子，
圆心在O点处，运动轨迹为四分之一圆，
离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D
错误。]
思维进阶特训(十三)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
1．(多选)(2025·新疆乌鲁木齐高三统考)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内无磁场，圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子从O点以大小为v的速度沿半径方向射出，射出
后粒子做周期性运动。不计粒子重力，则粒子
运动的周期可能为( )
A．＋
＋
C．＋
＋
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
AD [作出粒子的部分运动轨迹如图，以后粒子以同样的形式运动，直到回到开始的速度则完成一个周期性运动，则粒子运动的周期T＝n＝n，其中n＝，当n＝3时，周期T＝＋，当n＝8时，周期
T＝＋，故选AD。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(多选)(2025·重庆沙坪坝高三联考)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内(含边界)有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为( )
A．
C．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
√
ACD [带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动有qvB＝m，可得v＝，粒子仅在磁场中运动，则0<2r≤R或3R≤2r≤4R，如图所示，代入可得0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速率不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝，则质子的速度可能为( )
A．
C．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
√
ABD [质子带正电，且经过C点，
其可能的轨迹如图所示。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运
行半径为r＝(n＝1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，故A、B、D正确，C错误。]
4．(多选)平面OM和平面ON之间的夹角为35°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，大小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形可能出现的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
B．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
D．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD [带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，qvB＝mr，得到r＝，T＝＝，若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°，但由于35°> 20°，则粒子在磁场中的轨迹与ON最多有一个交点，粒子偏转角只可能为40°，运动时间t＝T＝，A正确，C错误；若粒子带正电，
题号
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将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON有几个交点，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°角，粒子偏转角为360°－40°＝320°，则粒子运动时间为t＝T＝，B、D正确。]
题号
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5．(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长均为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中。现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k。为使电子能从ab边射出，速度大小可能为( )
A．
C．
√
题号
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√
BC [能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图甲所示，由几何关系可知r1＝＝L；
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半径最大为从a点射出，如图乙所示，由几何关系可知r2＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤L，为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为≤v≤kBL，故选BC。]
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6．(多选)一匀强磁场垂直于xOy平面，分布在一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子某时刻经过原点O，速度大小为v，方向沿x轴正方向，后来经过y轴上点P时，速度方向与y轴正方向的夹角为30°，P到O的距离为d，如图所示。若粒子重力忽略不计，点O在磁场中，则粒子从点O到P的时间t和磁场区域的最小半径Rmin分别为( )
A．t＝ B．t＝
C．Rmin＝ D．Rmin＝
√
题号
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√
AC [因粒子的速度方向偏转了120°，故粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为120°，即粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知d＝＋r，偏转角α＝120°，解得粒子运动半径r＝，粒子从点O到P的时间为t＝×＋＝，A正确，B错误；磁
场区域的直径等于粒子圆周运动的弦长时，半径最
小，有Rmin＝＝，C正确，D错误。]
题号
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7．(多选)如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T。一群质量m＝1×10-7 kg、电荷量q＝2×10-3 C的带负电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从B、O之间射入磁场区域，不计粒子重力及粒子间相互作用，则( )
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A．在AC边界上有粒子射出的长度为(－1)m
B．C点有粒子射出
C．在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1)m处入射
√
题号
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√
√
ACD [粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝＝ m＝1 m, 作出粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示。由图可知，能从AC边射出粒子的长度为＝R－R＝(－1)m，故A正确；粒子不可能到达C点，故B错误；由图可知，在AB边界上有粒子射出的长度为＝R＝1 m, 故C正确；磁场中运动时间最长的粒子运动半个圆周，轨迹与
AB、AC相切，由图可知从底边距B点(－1)m处
入射，故D正确。]
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8．(多选)(2025·山西太原市高三检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半圆的直径，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电荷量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
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A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为
B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为
C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为
D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为
√
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√
BD [由r＝可知，粒子速度越大，运动半径越大。粒子运动轨迹如图所示，在能到达半圆形边界的粒子中，经过a点的粒子运动半径最小，速度最小，其轨迹如图中轨迹1所示，由＝，解得vmin＝，故A错误；可以经过半圆形边界的粒子经过b点时运动半径最大，速度最大，其轨迹如图中轨迹2所示，由＝，解得
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vmax＝，故B正确；由分析可知，轨迹圆弧所对应的弦与ab半圆形边界相切时，圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图中轨迹3所示，圆心恰好位于a点，由R＝，解得v＝，其圆心角为120°，故运动时间为t＝＝，故C错误，D正确。]
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9．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。
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(1)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝，该粒子在磁场中运动的时间为多少？
(2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动的时间的最大值；
(3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v3＝，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
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[解析] (1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R，
粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示
圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝
可得t1＝＝。
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(2)由v2＝，可得r2＝2R
粒子从N点射出时在磁场运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动的时间的最大值t2＝＝。
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(3)由v3＝，可得r3＝
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半圆，如图丙所示
由几何关系可知，出射点分布的长度为磁场边界
的，即s＝。
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[答案] (1) (2) (3)
谢 谢 ！思维进阶特训(十三)
1．(多选)(2025·新疆乌鲁木齐高三统考)如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内无磁场，圆形区域外存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的粒子从O点以大小为v的速度沿半径方向射出，射出后粒子做周期性运动。不计粒子重力，则粒子运动的周期可能为( )
A．＋ ＋
C．＋ ＋
2．(多选)(2025·重庆沙坪坝高三联考)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内(含边界)有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为( )
A．
C．
3．(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速率不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝，则质子的速度可能为( )
A．
C．
4．(多选)平面OM和平面ON之间的夹角为35°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，大小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形可能出现的是( )
A．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
B．粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
C．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
D．粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
5．(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长均为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中。现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k。为使电子能从ab边射出，速度大小可能为( )
A．
C．
6．(多选)一匀强磁场垂直于xOy平面，分布在一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子某时刻经过原点O，速度大小为v，方向沿x轴正方向，后来经过y轴上点P时，速度方向与y轴正方向的夹角为30°，P到O的距离为d，如图所示。若粒子重力忽略不计，点O在磁场中，则粒子从点O到P的时间t和磁场区域的最小半径Rmin分别为( )
A．t＝ B．t＝
C．Rmin＝ D．Rmin＝
7．(多选)如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T。一群质量m＝1×10-7 kg、电荷量q＝2×10-3 C的带负电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从B、O之间射入磁场区域，不计粒子重力及粒子间相互作用，则( )
A．在AC边界上有粒子射出的长度为(－1)m
B．C点有粒子射出
C．在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1)m处入射
8．(多选)(2025·山西太原市高三检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半圆的直径，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电荷量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为
B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为
C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为
D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为
9．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。
(1)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝，该粒子在磁场中运动的时间为多少？
(2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动的时间的最大值；
(3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v3＝，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
思维进阶特训(十三)
1．AD [作出粒子的部分运动轨迹如图，以后粒子以同样的形式运动，直到回到开始的速度则完成一个周期性运动，则粒子运动的周期T＝n＝n，其中n＝，当n＝3时，周期T＝＋，当n＝8时，周期T＝＋，故选AD。
]
2．ACD [带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动有qvB＝m，可得v＝，粒子仅在磁场中运动，则0<2r≤R或3R≤2r≤4R，如图所示，代入可得0]
3．ABD [质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示。
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径为r＝(n＝1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，故A、B、D正确，C错误。]
4．ABD [带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，qvB＝mr，得到r＝，T＝＝，若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°，但由于35°> 20°，则粒子在磁场中的轨迹与ON最多有一个交点，粒子偏转角只可能为40°，运动时间t＝T＝，A正确，C错误；若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON有几个交点，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM成20°角，粒子偏转角为360°－40°＝320°，则粒子运动时间为t＝T＝，B、D正确。]
5．BC [能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图甲所示，由几何关系可知r1＝＝L；
半径最大为从a点射出，如图乙所示，由几何关系可知r2＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤L，为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为≤v≤kBL，故选BC。]
6．AC [因粒子的速度方向偏转了120°，故粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为120°，即粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知d＝＋r，偏转角α＝120°，解得粒子运动半径r＝，粒子从点O到P的时间为t＝×＋＝，A正确，B错误；磁场区域的直径等于粒子圆周运动的弦长时，半径最小，有Rmin＝＝，C正确，D错误。]
7．ACD [粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝＝
＝R＝1 m，故C正确；磁场中运动时间最长的
粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC相切，由图可知从底边距B点(－1)m
处入射，故D正确。]
8．BD [由r＝可知，粒子速度越大，运动半径越大。粒子运动轨迹如图所示，在能到达半圆形边界的粒子中，经过a点的粒子运动半径最小，速度最小，其轨迹如图中轨迹1所示，由＝，解得vmin＝，故A错误；可以经过半圆形边界的粒子经过b点时运动半径最大，速度最大，其轨迹如图中轨迹2所示，由＝，解得vmax＝，故B正确；由分析可知，轨迹圆弧所对应的弦与ab半圆形边界相切时，圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图中轨迹3所示，圆心恰好位于a点，由R＝，解得v＝，其圆心角为120°，故运动时间为t＝＝，故C错误，D正确。
]
9．解析：(1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R，
粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示
圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝
可得t1＝＝。
(2)由v2＝，可得r2＝2R
粒子从N点射出时在磁场运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动的时间的最大值t2＝＝。
(3)由v3＝，可得r3＝
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半圆，如图丙所示
由几何关系可知，出射点分布的长度为磁场边界的，即s＝。
答案：(1) (2) (3)
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