第4章　指数函数与对数函数 习题课　指数函数及其性质的应用--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
习题课　指数函数及其性质的应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]若()2a+1<()8-2a,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,)
2.[探究点二](多选题)若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)
A.2 B.
C.3 D.
3.[探究点二·2024浙江高一期中]函数y=的定义域是(　　)
A.[-2,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
4.[探究点三]已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(,+∞) B.(-,+∞)
C.(-∞,-) D.(-∞,)
5.[探究点三]若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
6.[探究点一·2024上海高一阶段测试]不等式的解集为　　　　　　　.
7.[探究点三·2024广东高一期中]函数y=-8·+17的单调递增区间为　　　　.
8.[探究点三]若函数y=在区间(-∞,1)内单调递增,则a的取值范围是　　　　　.
9.[探究点二]已知函数y=4x-2x+1+2,x∈[-1,2].
(1)设t=2x,求t的取值范围;
(2)求函数y=4x-2x+1+2的最值,并求出取得最值时对应的x的值.
B级　关键能力提升练
10.[2024安徽滁州高三月考]已知函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,8] B.(-∞,8)
C.[8,+∞) D.(8,+∞)
11.函数f(x)=的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,2] B.[1,2]
C.[2,3] D.[2,+∞)
12.(多选题)已知函数f(x)=,下面说法正确的有(　　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1≠x2,<0
13.(多选题)对于函数f(x)=2-x-2x有下述四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
14.(多选题)已知函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.ab>1 B.a+b>1
C.ba>1 D.2b-a<1
15.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　.
16.若函数f(x)=|2x-a|-1的值域为[-1,+∞),则实数a的取值范围为　　　　　.
17.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明f(x)是其定义域内的增函数.
18.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;
(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.
C级　学科素养创新练
19.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
答案：
1.A　函数y=()x在R上为减函数,所以2a+1>8-2a,所以a>.故选A.
2.AB　当a>1时,指数函数y=ax在R上单调递增,所以y=ax在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.
所以a+,解得a=2或a=(舍去).
当0综上,a=2或a=.
3.C　由题意得-27≥0,所以≥27,即,又指数函数y=为R上的减函数,所以2x-1≤-3,解得x≤-1.故选C.
4.A　函数f(x)=定义域为R,
令u=x2-3x+1,易知u=x2-3x+1的单调递增区间为(,+∞),
又y=3u在R上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为(,+∞).故选A.
5.B　由f(1)=,得a2=,解得a=,故f(x)=()|2x-4|.令g(x)=|2x-4|,因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).故选B.
6.(-∞,1)∪(3,+∞)　因为=3-3,
所以x2-4x>-3,即(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3.
7.[-2,+∞)　设t=,则y=t2-8t+17=(t-4)2+1,t>0,
当t≤4,即≤4,即x≥-2时,t=单调递减,
函数y=(t-4)2+1单调递减,则y=-8·+17单调递增,
即函数的单调递增区间为[-2,+∞).
8.[2,+∞)　由复合函数的单调性知,函数y=-x2+ax在(-∞,1)内单调递增,所以x=≥1,解得a≥2.
9.解 (1)由于t=2x在区间[-1,2]上单调递增,
所以t∈[2-1,22],即t的取值范围是[,4].
(2)令t=2x,则y=t2-2t+2=(t-1)2+1,其中t∈[,4],
根据二次函数的性质可知,当t=1,即x=0时,函数y=4x-2x+1+2取得最小值,且最小值为1;
当t=4,即x=2时,函数y=4x-2x+1+2取得最大值,且最大值为(4-1)2+1=10.
10.A　令u=2x2-ax,则二次函数u=2x2-ax的图象开口向上,对称轴为直线x=.
因为外层函数y=为R上的减函数,
函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减,
所以函数u=2x2-ax在(2,+∞)上单调递增,所以≤2,解得a≤8.故选A.
11.B　令-x2+4x-3≥0,解得1≤x≤3,
所以函数f(x)=的定义域为[1,3].
因为t=-x2+4x-3的图象开口向下,对称轴为直线x=2,
可知t=-x2+4x-3在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.又因为u=在定义域内单调递增,
所以u=在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.
又因为y=2u在定义域内单调递增,
所以f(x)=在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减,
即函数f(x)的单调递增区间为[1,2].故选B.
12.AC　对于选项A,f(x)=,定义域为R,
∵f(-x)==-f(x),
∴f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;
对于选项B,∵f(1)=,f(-1)==-≠f(1),∴f(x)的图象不关于y轴对称,故B错误;
对于选项C,f(x)==1-,
令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=1-,易知1-∈(-1,1),故f(x)的值域为(-1,1),故C正确;
对于选项D,f(x)==1-,令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=1-,函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-在t∈(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)=1-在R上单调递增,故 x1,x2∈R,且x1≠x2,<0不成立,故D错误.故选AC.
13.ABD　f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;
x∈R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;
f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;
由于x趋向于-∞时,f(x)趋向于+∞,x趋向于+∞时,f(x)趋向于-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),
又f(x)在R上是减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.
14.ABD　由图象可知,函数y=ax-b(a>0,且a≠1)在R上单调递增,则a>1,
且当x=0时,y=1-b∈(0,1),可得0对于A,ab>a0=1,故A正确;
对于B,a+b>a>1,故B正确;
对于C,ba对于D,由015.2-x-4　{x|x<0,或x>4}　设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
于是f(x-2)>0可化为
解得x>4或x<0.
16.(0,+∞)　令g(x)=|2x-a|,由题意得g(x)的值域为[0,+∞),又y=2x的值域为(0,+∞),所以-a<0,解得a>0,所以a的取值范围为(0,+∞).
17.(1)解因为函数f(x)的定义域是R,且f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)证明f(x)==1-,在定义域R内任取x1,x2,且x2>x1,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)==2·,设g(x)=10x,且知函数g(x)在其定义域内为增函数,所以当x2>x1时,1-1>0.
又因为1+1>0,1+1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故f(x)在其定义域内是增函数.
18.解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,
(1)当a=2时,f(x)>30 y=t2-4t-32>0,
∴t<-4或t>8.
∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,
∴不等式的解集为{x|x>3}.
(2)当x∈(-1,1)时,必有函数y=t2-2a·t-a的图象的对称轴t0=2a-1∈,即019.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,
因为a>0,g(x)的图象的对称轴为直线x=1,所以g(x)在区间[2,3]上单调递增,
故解得
(2)由(1)可得f(x)==x+-2,
所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,
化为1+()2-2·≥k.
令t=,则k≤t2-2t+1.
因为x∈[-1,1],所以t∈[,2].
记h(t)=t2-2t+1,因为t∈[,2],
故h(t)max=1,所以实数k的取值范围是(-∞,1].
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