第9章综合训练--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.现要完成下列2项抽样调查:①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查;②某生活小区共有540名居民,其中年龄不超过30岁的有180人,年龄超过30岁不超过60岁的有270人,60岁以上的有90人,为了解居民对社区环境绿化方面的意见,拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法是(　　)
A.①抽签法,②分层随机抽样
B.①随机数法,②分层随机抽样
C.①随机数法,②抽签法
D.①抽签法,②随机数法
2.某文化馆计划从18名女志愿者、12名男志愿者中选调10人参加文化艺术展讲解工作,若按照性别进行分层随机抽样,则应抽取的女志愿者人数为(　　)
A.7 B.3
C.6 D.4
3.某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图,则估计全市家庭月均用水量的平均数为(　　)
A.2.45 B.2.46
C.2.47 D.2.48
4.样本数据x1,x2,…,xn的平均数=4,方差s2=1,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数、方差分别为(　　)
A.9,4 B.9,2
C.4,1 D.2,1
5.在某知识竞赛中,共设有10道题目,每题1分,经统计,10位选手的得分情况如下表:
得分(X) 6 7 8 9 10
人数 1 2 4 2 1
则这10位选手得分的中位数和众数分别为(　　)
A.9,8
B.8,8
C.9,8.5
D.8.5,9
6.将一组互不相等的数据x1,x2,…,x7删去中位数(设中位数为m)后,得到一组新数据,则(　　)
A.新数据的平均数一定大于原数据的平均数
B.新数据的平均数一定小于原数据的平均数
C.新数据的第60百分位数一定大于m
D.新数据的第60百分位数一定小于m
7.走路被称为“最简单、最优良的锻炼方式”,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图:
则下列结论不正确的是(　　)
A.这一星期内甲的日步数的中位数为11 600
B.乙的日步数星期四比星期三少
C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙的日步数的平均值
D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙的日步数的方差
8.数据x1,x2,…,xm的平均数为,数据y1,y2,…,yn的平均数为,下列选项中与相等的为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮,每轮甲、乙各投篮10次,投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图,虚线为乙的折线图),则以下说法正确的是(　　)
A.甲投篮命中次数的众数比乙的大
B.甲投篮命中的成绩比乙的稳定
C.甲投篮命中次数的平均数为7
D.甲投篮命中次数的第40百分位数是6
10.某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团,高一学生全员参加,且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图,已知无人机社团和数学建模社团的人数相等,下列说法正确的是(　　)
A.高一年级学生人数为120人
B.无人机社团的学生人数为17人
C.若按分层随机抽样从各社团选派20人,则无人机社团选派人数为3人
D.在扇形图中表示“辩论社团人数”的扇形的圆心角大小是90°
11.某城市100户居民月平均用电量(单位:kW·h),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.x=0.007 5
B.月平均用电量的众数为210和230
C.月平均用电量的中位数为224
D.月平均用电量的第75百分位数位于区间[240,260)内
三、填空题
12.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,14)内的频数为　　　　　;数据落在[2,14)内的频率约为　　　　　.
13.现有一组数据满足下面两个条件:①一共有6个互不相等的数;②中位数小于平均数.这组数据可以是　　　　　　　　.
14.为了解中学生课外阅读情况,现从某中学随机抽取200名学生,收集了他们一年内的课外阅读量(单位:本)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
学生 类别 阅读量
[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,+∞)
性别 男 7 31 25 30 4
女 8 29 26 32 8
学段 初中 25 36 44 11
高中
学生类别阅读量
下面有四个推断:
①这200名学生阅读量的平均数可能是26本;
②这200名学生阅读量的第75百分位数在区间[30,40)内;
③这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内;
④这200名学生中的初中生阅读量的第25百分位数可能在区间[20,30)内.
所有合理推断的序号是　　　　　.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
(1)甲、乙的平均成绩谁较好
(2)谁的各门功课发展较平衡
16.随着科技的发展,越来越多的农民采用无人播种机、无人旋耕机、无人植保车等一系列“智慧农机”耕种田地,极大地提高了耕作效率.某地区对50名使用了“智慧农机”的农民耕种的田地面积(单位:公顷)进行统计,将数据按[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分为5组,画出的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这50名农民耕种田地面积的中位数(结果保留小数点后一位);
(2)估计这50名农民耕种田地面积的平均数及标准差(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表,结果保留整数).
17.某中学为了学生的身心健康,加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中,后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度,若学生认可系数认可系数=不低于0.85,“美食”工作按原方案继续实施,否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生,根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中x的值和第60百分位数;
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因,该部门从评分低于80分的学生中用分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈,求应选取评分在[60,70)的学生人数;
(3)根据你所学的统计知识,结合认可系数,判断“美食”工作是否需要进一步整改,并说明理由.
18.某工厂生产了10 000件产品,为了了解这批产品的质量情况,从中随机抽取100件作为样本,测出它们的某一项质量指数按数据分成[10,12],(12,14],(14,16],(16,18],(18,20],(20,22],(22,24] 7组,得到如图所示的频率分布直方图.已知当该产品的质量指数在(16,18]内时,该产品为一等品,每件可获利12元;当该产品的质量指数在(14,16]或(18,20]内时,该产品为二等品,每件可获利10元;当该产品的质量指数在(12,14]或(20,22]内时,该产品为合格品,每件可获利8元;当该产品的质量指数在[10,12]或(22,24]内时,该产品为不合格品,每件亏损6元.
(1)估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量;
(2)估计这批产品的总利润.
19.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度,以便更好地为业主服务,随机调查了100名业主,根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)在这100名业主中,求评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差;
(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和第90百分位数;
(3)若小区物业服务满意度满意度=低于0.8,则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识,结合满意度,判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训,并说明理由.(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)
第九章综合训练
1.A　①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查,样本容量小,宜用抽签法,②该小区居民的年龄有明显差异,对社区环境绿化的意见不同,宜用分层随机抽样.
2.C　18名女志愿者、12名男志愿者,比例为18∶12=3∶2,选调10人,按照性别进行分层随机抽样,应抽取的女志愿者人数为10=6(人).
3.B　由频率分布直方图的性质可知(0.12×2+0.22+0.36+a)×1=1,解得a=0.18,
则估计全市家庭月均用水量的平均数为0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46.
4.A　由=4,s2=1,得所求平均数为2+1=9,所求方差为4s2=4.
5.B　将这10位选手的得分从小到大排列:6,7,7,8,8,8,8,9,9,10,可知第5个和第6个得分分别为8,8,所以中位数为=8,且8出现的次数最多,故众数为8.故选B.
6.C　当原数据的平均数为m时,新数据的平均数等于原数据的平均数,故A,B错误.
不妨设x1因为6×0.6=3.6,所以新数据的第60百分位数为x5,
因为x5>x4,所以新数据的第60百分位数一定大于m.
7.B　对于A,甲的步数:16 000,7 965,12 700,2 435,16 800,9 500,11 600.从小到大排列为2 435,7 965,9 500,11 600,12 700,16 000,16 800.中位数是11 600.故A正确;
对于B,乙星期三的步数为7 030,星期四的步数为12 970,星期四比星期三日步数多,故B不正确;
对于C,(16 000+7 965+12 700+2 435+16 800+9 500+11 600)=11 000,(14 200+12 300+7 030+12 970+5 340+11 600+10 060)=10 500.
所以.故C正确;
对于D,[(16 000-11 000)2+(7 965-11 000)2+(12 700-11 000)2+(2 435-11 000)2+(16 800-11 000)2+(9 500-11 000)2+(11 600-11 000)2]≈20 958 636,
[(14 200-10 500)2+(12 300-10 500)2+(7 030-10 500)2+(12 970-10 500)2+(5 340-10 500)2+(11 600-10 500)2+(10 060-10 500)2]≈9 014 429,
经计算.故D正确.
故选B.
8.B　因为xi,yi,
所以xi=myi=n,
则.
9.BC　由折线图可知,甲投篮5轮,命中的次数分别为5,8,6,8,8,则=7,[(5-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(8-7)2]==1.6.
乙投篮5轮,命中的次数分别为3,7,9,5,9,则=6.6,[(3-6.6)2+(7-6.6)2+(9-6.6)2+(5-6.6)2+(9-6.6)2]=5.44.
对A,甲投篮命中次数的众数为8,乙投篮命中的众数为9,故A错误;
对B,因为,所以甲的成绩比乙稳定,故B正确;
C正确;
对D,甲投篮5轮,命中的次数从小到大为5,6,8,8,8,由5×40%=2,故第40百分位数是=7,故D错误.
10.ACD　由题目所给的数据可知,民族舞社团的人数为12,占高一年级总人数的比例为10%,所以高一年级的总人数为12÷10%=120,
英文剧场社团的人数为120×35%=42,辩论社团的人数为30,无人机社团的人数与数学建模社团的人数为(120-42-30-12)÷2=18,占高一年级人数的比例是100%=15%,故A正确,B错误;
分层抽样20人,无人机应派出20×15%=3(人),C正确;
辩论社团的人数是30,所以所求的扇形圆心角为360°=90°,D正确.
11.ACD　由直方图的性质可得(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,解得x=0.007 5,故A正确;
由直方图可知月平均用电量的众数为=230,故B错误;
因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,
所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,
则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,解得a=224,故C正确;
因为(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5)×20=0.85,所以月平均用电量的第75百分位数位于区间[240,260)内,故D正确.
12.136　0.76　∵样本数据落在[6,14)内的频率为0.08×4+0.09×4=0.68,且样本容量为200,
∴样本数据落在[6,14)内的频数为0.68×200=136;数据落在[2,14)内的频率为(0.02+0.08+0.09)×4=0.76.
13.1,2,3,4,5,8(答案不唯一)
14.②③④　在①中,由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知,这200名学生的平均阅读量在区间(24.5,25.5)内,故错误;
在②中,200×75%=150,阅读量在[0,30)的人数有7+8+31+29+25+26=126(人),
在[30,40)的人数有62人,所以这200名学生阅读量的第75百分位数在区间[30,40)内,故正确;
在③中,设在区间[0,10)内的初中生人数为x,则x∈[0,15],x∈N*,当x=0时,初中生总人数为116人,=58,
此时区间[0,20)有25人,区间[20,30)有36人,所以中位数在[20,30)内,
当x=15时,初中生总人数为131人,=65.5,
此时区间[0,20)有15+25=40(人),区间[20,30)有36人,所以中位数在[20,30)内,
当在区间[0,10)内初中人数取最小值和最大值时,中位数都在[20,30)内,
所以这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内,故正确;
在④中,设在区间[0,10)内的初中生人数为x,则x∈[0,15],x∈N*,
当x=0时,初中生总人数为116人,116×25%=29,
此时区间[0,20)内有25人,区间[20,30)有36人,所以第25百分位数在[20,30)内,
当x=15时,初中生总人数为131人,131×25%=32.75,区间[0,20)内有15+25=40(人),所以第25百分位数在[0,20)内,所以这200名学生中的初中生阅读量的第25百分位数可能在区间[20,30)内,故正确.
15.解(1)(60+80+70+90+70)=74,
(80+60+70+80+75)=73,
故甲的平均成绩较好.
(2)[(60-74)2+(80-74)2+(70-74)2+(90-74)2+(70-74)2]=104,
[(80-73)2+(60-73)2+(70-73)2+(80-73)2+(75-73)2]=56,
由知乙的各门功课发展较平衡.
16.解(1)根据频率分布直方图可得组距为10,所以(0.01+m+0.03+0.03+0.01)×10=1,解得m=0.02;
易知[45,55),[55,65)两组数据所占概率为0.3,第三组数据[65,75)概率也为0.3,所以中位数在区间[65,75)内,设中位数为x,所以0.3+(x-65)×0.03=0.5,解得x≈71.7,所以这50名农民耕种田地面积的中位数为71.7公顷.
(2)利用频率分布直方图可得,其平均数为10×(50×0.01+60×0.02+70×0.03+80×0.03+90×0.01)=71,
其方差为(50-71)2×0.1+(60-71)2×0.2+(70-71)2×0.3+(80-71)2×0.3+(90-71)2×0.1=129,
因此标准差s=≈11,
这50名农民耕种田地面积的平均数为71公顷,标准差约为11.
17.解(1)由图可知10×(x+0.015+0.020+0.030+0.025)=1,解得x=0.01.
因为[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.6,[50,90)内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6,所以第60百分位数位于区间[80,90)内,设为m,
则m=80+=85,
所以第60百分位数为85.
(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1∶0.15∶0.2=2∶3∶4,则应选取评分在[60,70)的学生人数为30=10.
(3)由图可知,认可程度平均分为
=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85,
所以“美食”工作需要进一步整改.
18.解(1)由题意可得这批产品中不合格品的频率为(0.02+0.03)×2=0.1,则该工厂生产的这批产品中不合格品的数量为0.1×10 000=1 000(件).
(2)由题意可得这批产品一等品的频率为0.13×2=0.26,产品数量为0.26×10 000=2 600(件),
二等品的频率为(0.10+0.09)×2=0.38,新产品数量为0.38×10 000=3 800(件),
合格品的频率为(0.06+0.07)×2=0.26,产品数量为0.26×10 000=2 600(件),
故这批产品的总利润为2 600×12+3 800×10+2 600×8-1 000×6=84 000(元).
19.解(1)易知评分在区间[50,60),[70,80)的人数分别为100×0.016×10=16(人),100×0.040×10=40(人),所以评分在区间[70,80)的人数与评分在区间[50,60)的人数之差为40-16=24(人).
(2)易知在频率分布直方图中面积最大的矩形条所在区间为[70,80),所以业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分,因为在区间[50,80)的频率为10×(0.016+0.030+0.040)=0.86<0.9,在区间[50,90)的频率为10×(0.016+0.030+0.040+0.010)=0.96>0.9,所以业主对物业服务的满意程度给出评分的第90百分位数在区间[80,90)内,不妨设业主对物业服务的满意程度给出评分的第90百分位数为x,此时0.86+(x-80)×0.01=0.9,解得x=84.
(3)易知业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分=10×(55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004)=70.6,因为=0.706<0.8,
故物业公司需要对物业服务人员进行再培训.
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