第10章测评--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
第十章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024贵州贵阳高一质检]下列四个命题中正确的是(　　)
A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品
B.做100次抛一枚质地均匀硬币的试验,结果51次出现正面,因此出现正面的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果18次,则出现1点的频率是
2.有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球的数字是1”,B表示事件“第二次取出的球的数字是2”,C表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,D表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则(　　)
A.A与C相互独立 B.B与D不相互独立
C.A与D相互独立 D.B与C相互独立
3.[2024湖南湘潭高一检测]已知事件A与事件B互斥,记事件为事件B的对立事件.若P(A)=0.6,P(B)=0.2,则P(A+)=(　　)
A.0.6 B.0.8 C.0.2 D.0.48
4.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是(　　)
A.至少有一个红球与至少有一个白球 B.恰有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与都是白球 D.至多有一个红球与都是红球
5.[2024山西太原高一期末]经统计某射击运动员随机命中的概率可视为,为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率,现采用随机模拟的方法,先由计算机产生0到9之间取整数的随机数,用0,1,2表示没有击中,用3,4,5,6,7,8,9表示击中,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7525　0293　7140　9857　0347　4373　8638　7815　1417　5550
0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281
根据以上数据,则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.已知某古典概型试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,5,6},事件C={3,4,5,6},则下列选项错误的是(　　)
A.A与B独立 B.B与C独立
C.A与C独立 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
7.元宵活动中有个游戏为掷骰子,规则是“一局游戏有6次投掷机会,只要能投掷出6点便视为游戏成功,否则,游戏失败”.假设骰子质地均匀,则随机玩一局游戏,比较游戏成功与失败的可能性,下列说法正确的是(　　)
A.游戏成功的可能性更大 B.游戏失败的可能性更大
C.游戏成功与游戏失败的可能性一样大 D.游戏成功与游戏失败的可能性无法比较
8.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)
A.0.504 B.0.964
C.0.994 D.0.996
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察骰子两次出现的点数,下列说法正确的有(　　)
A.试验的样本空间中有36个样本点
B.第一次抛掷中,事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”是互斥事件
C.试验中抛掷两次骰子点数和为7的概率是
D.试验中抛掷两次骰子点数之和最可能出现的是8
10.袋子中有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”,事件B=“取出的球的数字之积为偶数”,事件C=“取出的球的数字之和为偶数”,则(　　)
A.事件A与B是互斥事件 B.事件A与B是对立事件
C.事件B与C是互斥事件 D.事件B与C相互独立
11.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获得所有12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配不合理的是(　　)
A.甲得9张,乙得3张 B.甲得6张,乙得6张
C.甲得8张,乙得4张 D.甲得10张,乙得2张
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.从1,2,3,4四个数字中,随机地选取两个数字,若数字的选取是不放回的,则两个数字的和为偶数的概率为　　　　;若数字的选取是有放回的,则两个数字的和为偶数的概率为　　　　.
13.已知P(A)=0.8,P(A∪B)=0.92,且A与B相互独立,则P(B)=　　　　.
14.在统计调查中,对一些敏感性问题,要精心设计问卷,设法消除被调查者的顾虑,使他们能够如实回答问题.否则,被调查者往往会拒绝回答,或不提供真实情况.某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况,对随机抽出的200名中学生进行了调查.调查中设置了两个问题:
问题1:你的阳历生日日期是否为偶数 问题2:你是否有A习惯
调查者准备了一个不透明袋子,里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球.每个被调查者随机从袋中摸出1个球(摸出的球再放回袋中并搅拌均匀),摸到白球的学生如实回答第一个问题,摸到红球的学生如实回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么都不做.已知调查结束后,盒子里共有55个小石子.据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)三人中恰有两人合格的概率.
16.(15分)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时间(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查,得到他们最近一周自我熬夜学习的总时间的样本数据:
甲班 8 13 28 32 39
乙班 12 25 26 28 31
如果学生平均每周自我熬夜学习的总时间超过26小时,则称为“过度熬夜”.
(1)请根据样本数据,分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时间的平均值;
(2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人,求这2人都来自甲班的概率.
17.(15分)在一个质地均匀的正八面体中,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,记事件A=“与地面接触的面上的数字为奇数”,事件B=“与地面接触的面上的数字不大于4”.
(1)判断事件A与B是否相互独立,若是,请证明;若不是,请举例说明.
(2)连续抛掷3次这个正八面体,求事件AB只发生1次的概率.
18.(17分)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个,从中任取一球,得到红球或黄球的概率是,得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数;
(2)随机试验:从盒中有放回地取球两次,每次任取一球记下颜色.
①写出该试验的样本空间Ω;
②设置游戏规则如下:若取到两个球颜色相同则甲胜,否则乙胜.从概率的角度,判断这个游戏是否公平,请说明理由.
19.(17分)甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛.现有A,B两类问题,竞赛规则如下:①竞赛开始时,甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答,答错的同学本轮竞赛结束;答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答,无论答对与否,本轮竞赛结束.②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3,则“星队”可进入下一轮.
已知甲同学能答对A类中问题的概率为,能答对B类中问题的概率为.
乙同学能答对A类中问题的概率为,答对B类中问题的概率为.
(1)设“甲同学答对0个,1个,2个问题”分别记为事件A0,A1,A2,求事件A0,A1,A2的概率;
(2)求“星队”能进入下一轮的概率.
第十章测评
1.D　对于A,次品率是大量产品的估计值,并不是必有10件是次品,故A错误;
对于B,抛硬币出现正面的概率是,而不是,故B错误;
对于C,频率与概率不是同一个概念,故C错误;
对于D,利用频率计算公式求得频率,故D正确.
故选D.
2.C　设事件A,B,C,D发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),则P(A)=P(B)=,P(C)=,P(D)=,对于A,P(AC)=0≠P(A)P(C),∴A与C不是相互独立事件,故A错误;
对于B,P(BD)==P(B)P(D),∴B与D相互独立,故B错误;
对于C,P(AD)==P(A)P(D),∴A与D相互独立,故C正确;
对于D,P(BC)=≠P(B)P(C),∴B与C不相互独立,故D错误.
3.B　因为事件A与事件B互斥,所以A ,所以P(A+)=P()=1-P(B)=0.8.故选B.
4.B　由题意,所有的样本点可分为三类:两个红球,或一红一白,或两个白球.
易知A选项的事件不互斥;C,D两个选项中的事件为对立事件;
而B选项中的事件互斥,同时还有“两个红球”的情况,故不对立.
故选B.
5.A　由题意,该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为7525,0347,7815,5550,6233,8045,3661,7424,共8组,则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为.
故选A.
6.D　因为样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,5,6},事件C={3,4,5,6},
则P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=P(AC)=,即A,B,C两两独立.
但P(A)P(B)P(C)=≠0=P(ABC),故D错误.
故选D.
7.A　掷一枚骰子出现6点的可能性为,不出现6点的可能性为,
∴随机玩一局游戏失败的概率为<0.5,因此游戏成功的可能性更大.
8.D　A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为P=1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.8)=0.996.
9.AC　抛掷一枚质地均匀的骰子两次,试验的样本空间中共有6×6=36个样本点,故A正确;
第一次抛掷中,“出现偶数点”有2,4,6三种情况,“出现点数小于3”有1,2两种情况,故不是互斥事件,故B错误;
试验中两次出现点数和为7的情况有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种情况,故概率为P=,故C正确;
试验中抛掷两次骰子点数之和为8的情况有(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5种情况,由对C选项的分析可知D错误.
10.AB　袋子中有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球包含的样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,
其中事件A包含的样本点为(1,3),(1,5),(3,5),共3个,故P(A)=,事件B包含的样本点为(1,2),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共12个,故P(B)=,事件C包含的样本点为(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6),共6个,故P(C)=.
因为事件A∩B= ,A∪B=Ω,故事件A与B互斥且对立,故A,B正确;
因为事件B与C有相同的样本点(2,4),(2,6),(4,6),所以B与C不是互斥事件,故C错误;
因为P(BC)==P(B)P(C),所以B与C不相互独立,故D错误.
故选AB.
11.BCD　由题意,得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为,即甲、乙每局得分的概率相等,所以继续游戏甲获胜的概率是,乙获胜的概率是.所以甲得到的游戏牌为12=9(张),乙得到的游戏牌为12=3(张),故选BCD.
12.　设事件A为“在数字的选取是不放回的条件下两个数的和为偶数”,事件B为“在数字的选取是有放回的条件下两个数的和为偶数”,则不放回地选取2个数的所有可能情况为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共12个样本点,其中和为偶数的有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4个样本点,所以P(A)=;
有放回地选取2个数的所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个样本点,其中和为偶数的有8个样本点,所以P(B)=.
13.0.6　因为P(A)=0.8,P(A∪B)=0.92,且A与B相互独立,
则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),
即0.8+P(B)-0.8P(B)=0.92,
则P(B)=0.6.
14.5%　根据题意,由等可能事件概率得,被调查者回答第一个问题的概率为P=,
其阳历生日日期是偶数的概率是,∴对随机抽出的200名中学生进行了调查,
其中回答两个问题的人数估计各有200=100(人),
∴200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有200=50(人),
∴抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为55-50=5(人),
∴此中学学生有A习惯人数的百分比为=5%.
15.解(1)设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=,
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3),
则三人都合格的概率P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.
(2)三人都不合格的概率P0=P()=P()P()P()=.
(3)三人中恰有两人合格的概率P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)=.
16.解(1)甲班样本数据的平均值为(8+13+28+32+39)=24,由此估计甲班学生每周平均熬夜时间为24小时;
乙班样本数据的平均值为(12+25+26+28+31)=24.4,由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为24.4小时.
(2)由题知,甲班“过度熬夜”的有3人,记为a,b,c,乙班“过度熬夜”的有2人,记为d,e,从中任取2人,有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种可能,其中都来自甲的有ab,ac,bc,共3种可能,所以所求概率为.
17.解(1)依题意,得样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以A={1,3,5,7},B={1,2,3,4},则A∩B={1,3},
故P(A)=,P(B)=,P(AB)==P(A)P(B),
所以事件A,B相互独立.
(2)依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响,即互相独立,记Ci(i=1,2,3)为第i次抛掷这个正八面体发生事件AB,则P(Ci)=P(AB)=,
所以事件AB只发生1次的概率为P(C1)P()P()+P()P(C2)P()+P()P()P(C3)=.
18.解(1)从中任取一球,分别记“得到红球”“得到黄球”“得到蓝球”为事件A,B,C,因为A,B,C为两两互斥事件,
由已知得
解得
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1.
(2)①由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2,1,1,用1,2表示红球,用a表示黄球,用b表示蓝球,m表示第一次取出的球,n表示第二次取出的球,(m,n)表示试验的样本点,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,a),(2,b),(a,1),(a,2),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,a),(b,b)}.
②记“取到两个球颜色相同”为事件M,“取到两个球颜色不相同”为事件N,则M中有6个样本点,
所以P(M)=,
所以P(N)=1-P(M)=1-,
因为,所以此游戏不公平.
19.解(1)∵甲同学能答对A类中问题的概率为,能答对B类中问题的概率为,
∴P(A0)=1-,P(A1)=,
P(A2)=.
(2)设“乙同学答对1个,2个问题”分别记为事件B1,B2,
∵乙同学能答对A类中问题的概率为,答对B类中问题的概率为,
∴P(B1)=,P(B2)=.
设事件C表示“星队能进入下一轮”,P(C)=P(A1B2)+P(A2B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)=,
故“星队”能进入下一轮的概率为.
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