第10章综合训练--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是(　　)
A.任何事件的概率总是在(0,1)之间
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
2.[2024浙江杭州高一期末]若将一枚质地均匀的骰子连续掷两次,得到的点数分别为m,n,则m+n≠6的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.[2024广东深圳高一检测]规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次投中8环以上为优秀.根据以往经验某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率,先用计算机产生0到9之间的随机整数,再用0,1表示该次投掷没有8环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8环以上,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
907　966　191　925　271　932　812　458　569
683　031　257　393　527　556　488　730　313
537　989
据此估计,该选手投掷1轮,可以拿到优秀的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.已知A,B是两个随机事件,且A B,则下列选项中一定成立的是(　　)
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.P(A∩B)=P(A)·P(B)
C.P()=1-P(B)
D.P()=1-P(B)
5.某城市一年的空气质量状况如下表所示:
污染指数T 不大于30 (30,60] (60,100] (100,110] (110,130] (130,140]
概率P
其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50A. B.
C. D.
6.掷红、蓝两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A1=“红骰子的点数为2”,A2=“红骰子的点数为3”,A3=“两个骰子的点数之和为7”,A4=“两个骰子的点数之和为9”,则(　　)
A.A1与A2对立
B.A3与A4不互斥
C.A1与A3相互独立
D.A2与A4相互独立
7.甲、乙两支队伍进行某项比赛,采用三局两胜制.根据以往的数据,甲队在每一局比赛中获胜的概率均为,每局比赛相互独立,则在这次比赛中,甲队获胜的概率为(　　)
A. B.
C. D.
8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为(　　)
A.P(A)B.P(A)=P(B)
C.P(A)>P(B)
D.视m,n的大小而定
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有(　　)
A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”
B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”
D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
10.今年“五一”假期,各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机,积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动,若顾客小王中奖的概率为0.4,顾客小张中奖的概率为0.2,两人中奖与否互不影响,则下列说法正确的是(　　)
A.小王和小张都中奖的概率为0.08
B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
11.如图,由A1,A2,A3,A4四个电子元件分别组成甲、乙两种系统,设每个电子元件能正常工作的概率均为p(0A.甲系统正常工作的概率为8p4
B.甲系统正常工作的概率为2p2-p4
C.乙系统正常工作的概率为1-(1-p)2
D.甲系统正常工作的概率小于乙系统正常工作的概率
三、填空题
12.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有　　　　　条鱼.
13.[2024浙江宁波高一质检]设A,B是一个随机试验中的两个事件,记分别为事件A,B的对立事件,若P(A)=0.6,P()=0.3,P(AB)=0.5,则P(AB)=　　　　.
14.某自助银行有A,B,C,D四台ATM(自助取款机),在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为.
(1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为　　　　　;
(2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为　　　　　.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球.甲盒中是3个黑色小球(记为A1,A2,A3)和1个红色小球(记为B),乙盒中是2个黑色小球(记为a1,a2)和2个红色小球(记为b1,b2).
(1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,共有多少种不同的结果 请列出所有的结果.
(2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率.
16.[2024北京房山高一期末]已知甲投篮命中的概率为0.6,乙投篮不中的概率为0.3,乙、丙两人投篮都命中的概率为0.35,假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.
(1)求丙投篮命中的概率;
(2)甲、乙、丙各投篮一次,求甲和乙命中,丙不中的概率;
(3)甲、乙、丙各投篮一次,求恰有一人命中的概率.
17.某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满意度调查表.
满意度 老年人 中年人 青年人
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2
(1)由表中的数据分析,老年人、中年人和青年人这三种人群中,哪一类人群更倾向于选择报团游
(2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中,随机抽取2人征集改造建议,求这2人中有老年人的概率.
(3)若你朋友要到该地区旅游,根据表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目
18.某地为了解居民可支配收入情况,随机抽取100人,经统计,这100人去年可支配收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1.
(1)求a,b的值,并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率.
19.[2024广西南宁高一质检]一个不透明的袋中有3个红球,1个白球,球除了颜色外大小、质地均一致.设计了两个摸球游戏,其规则如表所示.
游戏序号 游戏1 游戏2
摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球
获胜规则 若摸出的2球颜色相同,则甲获胜;若摸出的2球颜色不同,则乙获胜
(1)写出游戏1与游戏2的样本空间;求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率,并说明哪个游戏是公平的;
(2)甲与乙两人玩游戏2,约定每局胜利的人得2分,否则得0分,先得到4分的人获得比赛胜利,则游戏结束.每局游戏结果互不影响,求甲获得比赛胜利的概率.
第十章综合训练
1.C　由于必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A不正确.
频率的数值是通过试验完成的,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,故B,D不正确.
频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率,故C正确.
2.B　设(x,y)表示试验的一个样本点,其中x表示第一次掷骰子得到的点数,y表示第二次掷骰子得到的点数,
根据题意,试验的样本点有n=6×6=36个,
因为m+n=6包含的样本点有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共5个,
所以m+n≠6的概率是1-.
故选B.
3.A　由题意可知,在随机模拟试验产生的20组随机数中,代表“3次中至少2次投中8环以上”的数组共18组,所以该选手投掷1轮,可以拿到优秀的概率为.故选A.
4.C　A.∵A B,∴P(A∪B)=P(B),A错误;
B.∵A B,∴P(A∩B)=P(A),B错误;
C.∵A B,∴P()=1-P(B),C正确;
D.∵A B,∴P()=1-P(A),D错误.
5.C　空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为.
6.C　对于A,事件A1=“红骰子的点数为2”,A2=“红骰子的点数为3”,A1与A2互斥但不对立,因为红骰子的点数还有其他情况,比如4,A错误;
对于B,A3=“两个骰子的点数之和为7”,A4=“两个骰子的点数之和为9”,A3与A4不可能同时发生,故A3与A4互斥,B错误;
对于C,两个骰子的点数之和为7的情况有1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1,
则P(A1)=,P(A3)=,P(A1A3)=,
所以P(A1)P(A3)=P(A1A3),所以A1与A3相互独立,C正确;
对于D,两个骰子的点数之和为9的情况有3+6=4+5=5+4=6+3,
P(A2)=,P(A4)=,P(A2A4)=,
所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),D错误.
故选C.
7.D　由题意,甲队获胜的概率为P=2+1-+1-.
故选D.
8.A　设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,P(A)=P(A1)+P(A2)=.
设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,
B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,
则B1,B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=.
由于m≠n,故2mn9.AD　从1~9中任取三个不同的数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况:
(1)三个均为奇数;(2)两个奇数一个偶数;(3)一个奇数两个偶数;(4)三个均为偶数.
所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件.
10.ACD　A,由题意知,小王和小张都中奖的概率为0.2×0.4=0.08,故A正确;
B,小王和小张都没有中奖的概率为(1-0.2)×(1-0.4)=0.48,故B错误;
C,小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.4×(1-0.2)+(1-0.4)×0.2=0.44,故C正确;
D,小王和小张中至多有一个人中奖的概率为1-0.08=0.92,故D正确.
11.BD　甲系统正常工作的对立事件是A1,A2中至少一个元件不能正常工作,且A3,A4中至少一个元件不能正常工作,
∴甲系统正常工作的概率为P=1-(1-p2)(1-p2)=2p2-p4,故A错误,B正确;
乙系统正常工作的情况为:A1,A2中至少一个元件能正常工作,且A3,A4中至少一个元件能正常工作,∴乙系统正常工作的概率为P=[1-(1-p)2][1-(1-p)2]=p4-4p3+4p2,故C错误;
∵012.750　设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为,由题意得50=2,∴n=750.
13.0.4　根据题意,设P(AB)=x,
P()=0.3,则P(B)=1-P()=0.7,
由于P(A+B)=P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),
则有0.5+x=0.6+0.7-x,解得x=0.4,
故P(AB)=0.4.
14.(1)　(2)　(1)该客户需要等待意味着A与B同时被占用,
故所求概率为P1=.
(2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为
P2=.
15.解(1)共16种不同结果,样本空间Ω={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2,Bb1,Bb2}.
(2)记A=“取出的2个小球中至少有一个是黑色”,则A={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2},
故P(A)=.
16.解(1)设A=“甲投篮命中”,B=“乙投篮命中”,C=“丙投篮命中”,
由题意可知,P(A)=0.6,P()=0.3,P(BC)=P(B)P(C)=0.35,
则P(B)=1-P()=0.7,P(C)==0.5,
所以丙投篮命中的概率为0.5.
(2)设D=“甲和乙命中,丙不中”,
则P(D)=P(AB)=P(A)P(B)P()=0.6×0.7×0.5=0.21,
所以甲和乙命中,丙不中的概率为0.21.
(3)设E=“甲、乙、丙各投篮一次,恰有一人命中”,
则P(E)=P(AB C)
=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)
=0.6×0.3×0.5+0.4×0.7×0.5+0.4×0.3×0.5
=0.29.
17.解(1)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为P1=,P2=,P3=,
∵P1>P2>P3,∴老年人更倾向于选择报团游.
(2)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中,老年人有1人,记为a,中年人有2人,记为b,c,青年人有2人,记为d,e,
从中随机选取2人,样本点共10个,分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),
其中这2人中有老年人包含的样本点有4个,分别为
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),
∴这2人中有老年人的概率为P=.
(3)根据表中的数据,得到
报团游的满意率为P4=,
自助游的满意率为P5=,
∵P4>P5,∴建议他选择报团游.
18.解(1)由频率分布直方图,可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1,则a+b=0.55, ①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1,
所以0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6,
则a+0.6b=0.43, ②
将①与②联立,解得
所以平均值为0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72.
(2)根据题意,设事件A,B,C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3.
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”可表示为AB∪AC∪BC,且AB与AC与BC互斥,则P1=P(AB∪AC∪BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189.
②“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”可表示为ABC,则P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027.
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为P1+P2=0.189+0.027=0.216.
19.解(1)记三个红球为1,2,3号,记白球为4号,用(x,y)表示两次摸球的情况,其中x表示第1次摸出的球的编号,y表示第2次摸出的球的编号.记游戏1与游戏2的样本空间分别为Ω1,Ω2,
Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},
Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},
记A1=“在游戏1中甲获胜”,记A2=“在游戏2中甲获胜”,则A1={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
A2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)},
P(A1)=,P(A2)=,
故游戏1是公平的.
(2)记Bi=“甲获得第i局游戏胜利”,i=1,2,3,记W=“甲获得比赛胜利”,
由(1)得,P(Bi)=,P()=,i=1,2,3,
P(W)=P(B1B2∪B2B3∪B1B3)=P(B1B2)+P(B2B3)+P(B1B3)=P(B1)P(B2)+P()P(B2)·P(B3)+P(B1)P()P(B3)=.
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