第二章测评--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
第二章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.不等式x2-2x-8≥0的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤4} B.{x|x≤-2或x≥4}
C.{x|-4≤x≤2} D.{x|x≤-4或x≥2}
2.已知a>0,b>0,且满足=1,则ab的最大值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
3.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-10的解集为(　　)
A. B.
C. D.
4.[2024湖北孝感高一月考]不等式<1的解集为(　　)
A.{x|-3≤x≤2} B.{x|x≤-3}
C.{x|-32}
5.[2024山东泰安高一单元检测]在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一:小明将5克的砝码放在天平左盘,取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳将20克的砝码放在右盘,取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品(　　)
A.大于20克 B.小于20克
C.大于等于20克 D.小于等于20克
6.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴的上方,则实数k的取值范围为(　　)
A.{k|1C.{k|17.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值等于(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
8.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是(　　)
A.{9x-y|-7≤9x-y≤26} B.{9x-y|-1≤9x-y≤20}
C.{9x-y|4≤9x-y≤15} D.{9x-y|1≤9x-y≤15}
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设a>b>1,c<0,下列四个结论正确的有(　　)
A. B.acC.a(b-c)>b(a-c) D.
10.[2024河北石家庄高一期末]已知实数a,b满足a>b>0且a+b=1,则下列说法正确的是(　　)
A.a< B.ab≥
C.ab>b2 D.的最小值为9
11.[2024湖北孝感高一月考]已知不等式ax2+2bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥3},则下列结论正确的是(　　)
A.a<0 B.a+b+c<0
C.c>0 D.cx2-2bx+a<0的解集为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设a,b为实数,比较两式的值的大小:a2+b2　　　　　2a-2b-2(用符号“>”“≥”“<”“≤”或“=”填空).
13.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示),则每辆客车营运　　　　　年时,年平均利润最大.
14.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0,对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x>2或x<1}.
(1)求b和c的值;
(2)求不等式cx2+bx+1≤0的解集.
16.(15分)(1)已知x>1,求4x+的最小值;
(2)解关于x的不等式x2-(a+3)x+3a<0,a∈R.
17.(15分)设a为实数,函数y=ax2+ax+1.
(1)若方程y=0有实根,求a的取值范围;
(2)若不等式y>0的解集为R,求a的取值范围.
18.(17分)某服装厂拟在2024年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)m(单位:万件)与年促销费用x(0≤x≤10)(单位:万元)满足m=3-.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2024年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数;
(2)该服装厂2024年的促销费用投入多少万元时,利润最大
19.(17分)[2024湖南张家界高一期中]已知x,y都是正数.
(1)若2x+3y=3,求xy的最大值;
(2)若=2,且x>y,求x+y的最小值.
答案：
1.B　不等式x2-2x-8≥0可化为(x+2)(x-4)≥0,解得x≤-2或x≥4.
即不等式的解集为{x|x≤-2或x≥4}.故选B.
2.B　因为a>0,b>0,且满足=1,
所以1≥2,化为ab≤3,当且仅当a=,b=2时,等号成立,则ab的最大值是3.故选B.
3.B　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1∴x=-1和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0.
∴
解得
∴不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为-3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0.
又a<0,∴上式等价于3(x2-1)-(x+3)+4>0.
整理,得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)>0,
解得x>1或x<-.故不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为.故选B.
4.C　<1 <0 <0,
即(x+3)(x-2)<0,解得-35.C　设天平左、右两边臂长分别为a,b,小明、小芳放入的药品的克数分别为x,y,
则由杠杆原理得5a=bx,ay=20b,
于是x=,y=,
故x+y=≥2=20,
当且仅当a=2b时,等号成立.故选C.
6.D　因为y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方,
①当k2+4k-5=0时,解得k=-5或k=1,
当k=-5时,函数y=24x+3为一次函数,不满足条件;
当k=1时,函数y=3满足条件;故k=1;
②当k2+4k-5≠0时,函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3为二次函数,
则
解得1综上,实数k的取值范围为{k|1≤k<19}.
故选D.
7.B　由已知得=4++1=5+2()≥5+2×2=9,
当且仅当a=b=时,等号成立.
又≥m恒成立,
∴m≤9,即m的最大值等于9.故选B.
8.B　令m=x-y,n=4x-y,则
则z=9x-y=n-m,
∵-4≤m≤-1,∴≤-m≤,
又-1≤n≤5,∴-n≤,
∴-1≤z=9x-y=n-m≤20.故选B.
9.ABC　∵a>b>1,c<0,∴>0,∴,A正确;
∵a>b,c<0,∴ac∵a>b>1,c<0,∴a(b-c)-b(a-c)=ab-ac-ab+bc=-c(a-b)>0,∴a(b-c)>b(a-c),C正确;
,又a-b>0,c<0,∴<0,即,D错误.故选ABC.
10.CD　对于A,当a=,b=时,成立,故A错误;
对于B,当a=,b=时,ab=,故B错误;
对于C,因为a>b>0,根据不等式的性质可知,ab>b2,故C正确;
对于D,=(a+b)=5+≥5+2=9,
当且仅当,a=2b,即a=,b=时,等号成立,故D正确.故选CD.
11.ACD　由题意知,-1和3是方程ax2+2bx+c=0的两根,且a<0,所以-1+3=-,(-1)×3=,则b=-a,c=-3a.因为a<0,所以b>0,c>0,a+b+c=a-a-3a=-3a>0,故AC正确,B错误;
不等式cx2-2bx+a<0等价于-3ax2+2ax+a<0,即3x2-2x-1<0,解得-所以cx2-2bx+a<0的解集为,故D正确.故选ACD.
12.≥　因为a2+b2-(2a-2b-2)=(a-1)2+(b+1)2≥0,a=1,b=-1时,等号成立,
所以a2+b2≥2a-2b-2.
13.5　二次函数图象的顶点为(6,11).
设y与x的关系式为y=a(x-6)2+11(a≠0),
代入点(4,7),解得a=-1.所以y=-x2+12x-25,
年平均利润为=-(x+)+12≤-2+12=2,
当且仅当x=,即x=5时,等号成立.
14.{m|2-2①当≤-2,即m≤-4时,此时y在x=-2处取最小值,最小值为4+2m+m+2=3m+6>0,解得m>-2.
又m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-40,
解得2-2又-4③当≥4,即m≥8时,此时y在x=4处取最小值,最小值为16-4m+m+2=18-3m>0,
∴m<6.
又m≥8,∴无解.
综上,m的取值范围为{m|2-215.解 (1)因为不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x>2或x<1},
则1,2是方程x2+bx+c=0的两个根,
于是得
解得b=-3,c=2,
所以b和c的值分别为b=-3,c=2.
(2)由(1)知,不等式cx2+bx+1≤0为2x2-3x+1≤0,
解得≤x≤1,
所以cx2+bx+1≤0的解集为{x}.
16.解 (1)x>1,4x+=4(x-1)++4≥2+4=8,
当且仅当4x-4=,即x=时,等号成立,上式取得最小值8.
(2)x2-(a+3)x+3a=(x-3)(x-a);
当a<3时,由x2-(a+3)x+3a<0,得a当a=3时,不等式x2-(a+3)x+3a<0无解;
当a>3时,由x2-(a+3)x+3a<0,得3综上,当a<3时,不等式解集为{x|a3时,不等式解集为{x|317.解 (1)若方程y=0有实根,即方程ax2+ax+1=0有实根,
当a=0时,方程化为1=0,显然无根,不符合题意;
当a≠0时,则方程ax2+ax+1=0的判别式Δ=a2-4a≥0,解得a<0或a≥4.
综上,a的取值范围为{a|a<0或a≥4}.
(2)若不等式y>0的解集为R,即不等式ax2+ax+1>0的解集为R,
当a=0时,不等式化为1>0,显然恒成立,符合题意;
当a≠0时,则
解得0综上所述,a的取值范围为{a|0≤a<4}.
18.解 (1)由题意知每件产品的销售价格为2×,
∴y=m·2×-(8+16m+x)=8+16m-x=56--x,即y=56--x(0≤x≤10).
(2)由y=56--x=57-[+(x+1)]≤57-2=49,
当且仅当=x+1,即x=3时取等号.
故该服装厂2024年的促销费用投入3万元时,利润最大为49万元.
19.解 (1)因为x,y都是正数,
则2x+3y≥2=2,即2≤3,
解得xy≤,当且仅当2x=3y,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为.
(2)由x,y都是正数,且x>y,由=2可得x+y=x-y+2y=(x-y+2y)()=(2+)≥×(2+2)=2,
当且仅当,即x=,y=时,等号成立,
所以x+y的最小值为2.
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