第五章测评--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
第五章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列转化结果错误的是(　　)
A.60°化成弧度是 B.-150°化成弧度是-
C.-化成角度是-600° D.化成角度是15°
2.sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°等于(　　)
A.0 B.1
C.-1 D.-cos 10°
3.已知角θ终边经过点(3,-4),则等于(　　)
A. B.-
C. D.-
4.[2024北京高一期末]《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题,如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分,若弧田所在圆的半径为2,圆心角为,则此弧田的面积为(　　)
A. B.-2
C. D.-2
5.若把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,沿y轴向下平移1个单位长度,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sin x的图象,则y=f(x)的解析式为(　　)
A.y=sin(2x-)+1 B.y=-cos 2x+1
C.y=sin(x+)-1 D.y=cosx-1
6.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,则sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
7.[2024四川宜宾高一期末]已知cos(+75°)=,则cos(α-30°)的值为(　　)
A. B.-
C. D.-
8.[2024宁夏银川高三阶段练习]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>1,|φ|≤),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对于任意的x∈(-)恒成立,则φ的取值范围是(　　)
A.[] B.[]
C.[] D.(]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　　)
A.角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan θ<0
B.若某扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的半径是2
C.经过4小时时针转了120°
D.若角α与β终边关于y轴对称,则α+β=+2kπ,k∈Z
10.已知函数f(x)=2sin(2x-)+1,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于点(,0)对称
B.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=-
C.若x∈[],则函数f(x)的最小值为+1
D.若011.已知函数f(x)=tan(2ωx-)(ω>0)的最小正周期是,则(　　)
A.ω=2
B.f(-)>f()
C.f(x)的图象的对称中心为(,0)(k∈Z)
D.f(x)在区间()上单调递增
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若tan α=,则tan(-α)=　　　　　,tan 2α=.
13.已知函数f(x)满足以下两个条件:(1)函数的周期是π;(2)在区间[0,]上单调递增.
满足上述条件的f(x)=　　　　　　　　.
14.函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的值为　　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知<α<π,sin α=.
(1)求的值;
(2)求cos 2α+sin(α+)的值.
16.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递减区间.
17.(15分)已知函数f(x)=2cos2(+x)-2sin(π+x)cos x-.
(1)当x∈[]时,求f(x)的最大值和最小值,以及相应x的值;
(2)若f(x0-)=,x0∈[,π],求sin 2x0的值.
18.(17分)已知函数f(x)=sin(2ωx+)(ω>0),其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,其恰好经过点
(-,0),求当m取得最小值时,g(x)在[-]上的单调递增区间.
19.(17分)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx+m(ω>0,m∈R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)的解析式的两个作为已知条件.
条件①:函数f(x)的最小正周期T为π;
条件②:函数f(x)的图象经过点(0,);
条件③:函数f(x)的最大值为.
(1)求函数f(x)的解析式及最小值;
(2)若函数f(x)在区间[0,t](t>0)上有且仅有1个零点,求t的取值范围.
答案：
1.B　60°=60×,-150°=-150×=-,-=-×180°=-600°,
×180°=15°.故选B.
2.A　sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°=-cos(40°+50°)=0.
3.C　由三角函数的定义可得tan θ=-,因此=-.
4.A　由弧田所在圆的半径为2,圆心角为,如图所示,过点O作OD⊥AB,垂足为D,可得|OD|=|OA|cos=1,|AB|=2|OA|sin=2,可得扇形的面积为S1=×22=,△AOB的面积为S△AOB=×2×1=,所以此弧田的面积为S=S1-S△AOB=.故选A.
5.B　把函数y=sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变),得到y=sin 2x的图象,沿y轴向上平移1个单位长度,得到y=sin 2x+1的图象,沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=sin[2(x-)]+1=sin(2x-)+1=-cos 2x+1的图象.
6.C　由题知<β<π,cos β=-,所以sin β=,又0<α<<β<π,所以<α+β<,
又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-,
所以sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×(-)+.
7.A　因为cos(+75°)=,
所以cos(150°+α)=2cos2(75°+)-1=2×()2-1=-,
所以cos(30°-α)=cos[180°-(150°+α)]=-cos(150°+α)=-(-)=.故选A.
8.C　∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,令f(x)=-1,可得sin(ωx+φ)=-1,
由于f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,
∴T==π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ)+1.
若f(x)>1对任意x∈(-)恒成立,则当x∈(-)时,sin(2x+φ)>0,
因此k∈Z,解得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z.
∵|φ|≤,∴≤φ≤,即φ∈[].故选C.
9.AB　对于A,若角θ终边在第二象限或第四象限,则tan θ<0,充分性成立.
若tan θ<0,则角θ终边在第二象限或第四象限,必要性成立,所以角θ终边在第二象限或第四象限是tan θ<0的充要条件,故A正确;
对于B,由弧度数公式|α|=,得r=,即r=2,故B正确;
对于C,经过4小时时针转了-×360°=-120°,故C错误;
对于D,若角α与β终边关于y轴对称,则α+β=π+2kπ,k∈Z,故D错误.故选AB.
10.BC　令2x-=kπ(k∈Z),知函数f(x)的图象关于点(,1) (k∈Z)对称,所以A不成立;
令2x-+kπ(k∈Z),知函数f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称,
当k=-1时,x=-,所以B成立;
若x∈[],则2x-∈[],函数f(x)的最小值为+1,所以C成立;
由于当011.BCD　因为函数f(x)=tan(2ωx-)(ω>0)的最小正周期是,所以T=.
又ω>0,得ω=1,所以f(x)=tan(2x-),故选项A错误.
易知f(-)=tan(-)=-tan,f()=tan=-tan.又0<,
由y=tan x的性质知,tanf(),故选项B正确.
由2x-(k∈Z),得到x=(k∈Z),
所以f(x)=tan(2x-)的对称中心为(,0)(k∈Z),故选项C正确.
当x∈()时,2x-∈(0,).
由y=tan x的性质知,f(x)在区间()上单调递增,故选项D正确.故选BCD.
12.　由题意知tan(-α)=,tan 2α=.
13.f(x)=|sin x|(答案不唯一)
14.　∵函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,
∴ω==2,即f(x)=cos(2x+).
将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度,
所得函数为g(x)=cos[2(x+φ)+]=cos(2x+2φ+),
∵所得函数图象关于原点对称,∴2φ+=kπ+,k∈Z,即φ=,k∈Z.又0<φ<,∴φ=.
15.解 (1)∵<α<π,且sin α=,∴cos α=-,
∴tan α=-.
.
(2)cos 2α+sin(α+)=1-2sin2α+cos α=1-2×=-.
16.解(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)==2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令2kπ+≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
17.解 (1)由题得,f(x)=2cos2(+x)-2sin(π+x)cos x-3
=2sin2x+2sin xcos x-=2sin xcos x-(1-2sin2x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-).
∵≤x≤,令t=2x-∈[].
当t=,即x=时,(sin t)min=sin,此时f(x)min=1;
当t=,即x=时,(sin t)max=sin=1,此时f(x)max=2.
(2)∵f(x0-)=2sin[2(x0-)-]=2sin(2x0-)=,
∴sin(2x0-)=.
∵≤x0≤π,∴≤2x0-,
∴cos(2x0-)=-=-,
sin 2x0=sin[(2x0-)]=sin(2x0-)cos+cos(2x0-)sin×(-)-=-.
18.解 (1)由已知得函数f(x)的周期T=π,即=π,解得ω=1,∴f(x)=sin(2x+).
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到g(x)=sin(2x+2m+)的图象.
又函数g(x)的图象经过点(-,0),∴sin[2×(-)+2m+]=0,即sin(2m-)=0,
∴2m-=kπ,k∈Z,∴m=,k∈Z.
∵m>0,∴当k=0时,m取得最小值,即mmin=,此时g(x)=sin(2x+).
又-≤x≤,∴≤2x+.
当≤2x+,即-≤x≤-时,函数g(x)单调递增;
当≤2x+,即≤x≤时,g(x)单调递增,
∴g(x)在[-]上的单调递增区间为[-,-],[].
19.解 (1)由题可知,f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx+m
=sin 2ωx+cos 2ωx+m+=sin(2ωx+)+m+.
选择①②:
因为T==π,所以ω=1.
因为f(0)=1+m=,所以m=-,
所以f(x)=sin(2x+).
当2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值,且最小值f(x)=-1.
选择①③:
因为T==π,所以ω=1.
因为函数f(x)的最大值为1+m+,
所以m=0,
所以f(x)=sin(2x+)+.
当2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值,且最小值f(x)=-1+=-.
选择②③:
因为f(0)=+m+,所以m=-.
因为函数f(x)的最大值为1+m+,
所以m=0.
因为m的取值不可能有两个,所以无法求出解析式,故不能选②③作为已知条件.
(2)选择①②:
由(1)知f(x)=sin(2x+),令sin(2x+)=0,
则2x+=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z.
当k=0,1,2时,函数f(x)的零点分别为-.
由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点,
所以≤t<,即t的取值范围是[).
选择①③:
由(1)知f(x)=sin(2x+)+,令sin(2x+)+=0,
则2x+=2kπ+,k∈Z,或2x+=2kπ+,k∈Z,
所以x=kπ+,k∈Z,或x=kπ+,k∈Z.
当k=0时,函数f(x)的零点分别为;
当k=-1时,函数f(x)的零点分别为-,-.
由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点,所以≤t<,所以t的取值范围是[).
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