1.4　充分条件与必要条件--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
1.4　充分条件与必要条件
A级　必备知识基础练
1.[探究点一·2024河南高一期中]“x>1”是“x>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[探究点一]不等式“x>y”成立,是不等式“|x|>|y|”成立的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.[探究点一]设a,b∈R,则“a>b”是“|a|≥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[探究点二·2024河北高一期末]a<0,b<0的一个必要条件是(　　)
A.a+b<0 B.ab>2
C.a-b>0 D.a2-b2<0
5.[探究点三]求证:b=0是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件.
B级　关键能力提升练
6.已知实数a,b,c,则b2=ac是的(　　)
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
7.若a,b为实数,则“a>b>0”是“”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.[2024江苏连云港高一期末]设x,y∈R,则“xy+1≠x+y”的充要条件是(　　)
A.x,y不都为1
B.x,y都不为1
C.x,y都不为0
D.x,y中至多有一个是1
9.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　;若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是　　　　　.
10.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
C级　学科素养创新练
11.已知a≥,设二次函数y=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:当0≤x≤1时,均有y≤1成立的充要条件是c≤.
答案：
1.B　由x>1x>2,反之,由x>2 x>1,所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件.故选B.
2.D　由1>-2,但1<|-2|=2,所以由“x>y”不能推出“|x|>|y|”;又|-2|>|1|,但-2<1,所以由“|x|>|y|”不能推出“x>y”,即不等式“x>y”成立是不等式“|x|>|y|”成立的既不充分也不必要条件.故选D.
3.A　因为“|a|≥b”的充要条件为“a≥b或a≤-b”,所以“a>b”是“|a|≥b”的充分不必要条件,故选A.
4.A　因为a<0,b<0,所以a+b<0,所以“a+b<0”是“a<0,b<0”的一个必要条件.
若a=-1,b=-1,不能得到ab>2,a-b>0,a2-b2<0,故选A.
5.证明①充分性:如果b=0,那么y=kx,当x=0时,y=0,函数图象过原点.
②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,即b=0.综上,b=0是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件.
6.C　由可得b2=ac,反之不成立,如当b=c=0时,满足b2=ac,但不成立,故b2=ac是的必要不充分条件,故选C.
7.A　若a>b>0,则成立,所以满足充分性;若,当a>0,b>0时,满足a>b>0;当a<0,b>0时,不满足;当a<0,b<0时,bb>0”是“”的充分不必要条件.故选A.
8.B　因为xy+1≠x+y,即xy+1-x-y≠0,即(x-1)(y-1)≠0,即等价于x≠1且y≠1,故“xy+1≠x+y”的充要条件是x,y都不为1,故选B.
9.{a|a≤0}　{a|a≥0}　因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.
10.证明①必要性:因为a+b=1,所以a+b-1=0.
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
②充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.
因为a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
11.证明因为a≥,所以函数y=-a2x2+ax+c图象的对称轴为直线x=,且0<≤1,
所以由二次函数的性质,可知当0≤x≤1时,y≤+c.
①充分性:因为c≤,所以y≤+c≤=1,所以y≤1.
②必要性:因为当0≤x≤1时,均有y≤1,所以+c≤1,从而c≤.综上可知,当0≤x≤1时,均有y≤1成立的充要条件是c≤.
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