2.2　基本不等式--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
2.2　基本不等式
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(　　)
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
2.[探究点三]已知0A. B. C. D.
3.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为(　　)
A. B. C.1 D.2
4.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.[探究点三]已知x<0,则x+的最大值为(　　)
A.2 B.- C.-2 D.
6.[探究点三·2024江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
7.[探究点一·2024湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是(　　)
A.因为a,b为正实数,所以≥2=2
B.因为a>3,所以+a>2=4
C.因为a<0,所以+a≥2=4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以=-[(-)+(-)]≤-2=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立
8.[探究点二](多选题)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)
A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2
C. D.≥2
9.[探究点三]已知t>0,则的最小值为　　　　.
10.[探究点二]已知a,b,c为正数,求证:≥3.
11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题:
已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=的最小值.
小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.
小明的解法:因为a+b=1,所以y=+1-1=+a+b-1=a++b+-1,而a+≥2=2,b+≥2=2.那么y≥2+2-1=1+2,则最小值为1+2.
小华的解法:因为a+b=1,所以y==()(a+b)=3+,而3+≥3+2=3+2,则最小值为3+2.
(1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误
(2)请说明你判断的理由.
B级　关键能力提升练
12.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　)
A.-3 B.2
C.3 D.8
13.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是(　　)
A. x∈R,且x≠0,x+≥2
B. x∈R,使得x2+1≤2x
C.若x>0,y>0,则
D.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为9
14.若a>0,b>0,则在①,②≥a+b,③,这三个不等式中,不正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
15.[2024安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b满足a+b=2,则下列结论正确的是(　　)
A.ab≤1 B.≥2
C.a3+b3≤2 D.a2+b2≥2
16.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是(　　)
A. B.ab≤
C.ab≤ D.
17.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　.
18.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.
C级　学科素养创新练
19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=的图象上,则的最小值是　　　　　.
答案：
1.B　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.
2.B　由00,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·()2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,所以x=时,x(5-5x)取得最大值.故选B.
3.A　因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2=4,可得ab≤,当且仅当a=4b,即a=1,b=时,等号成立,所以ab的最大值为.故选A.
4.A　因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,≥2=2=2×=1,当且仅当,即x=y=2时,等号成立.故选A.
5.C　因为x<0,可得-x>0,则x+=-[(-x)+]≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立,所以x+的最大值为-2.故选C.
6.D　由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β=a++b+=1+≥1+=5,当且仅当a=b=时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.
7.ABD　对于A,a,b为正实数,有>0,>0,且=1,又当且仅当a=b时,成立,满足基本不等式的条件,A正确;对于B,当a>3时,>0,+a≥2=4,当且仅当=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a使a=成立,所以+a>4,B正确;对于C,因为a<0,则<0,不符合基本不等式成立的条件,C错误;对于D,x,y∈R,xy<0,则->0,->0,且(-)·(-)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-=-成立,满足基本不等式的条件,D正确.故选ABD.
8.AD　对于A选项,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故a2+b2≥2ab,A正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2=2,B错误;对于C,取a=b=-1,此时=-2<=2,C错误;对于D,因为ab>0,所以>0,>0,所以≥2=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D正确.故选AD.
9.-1　∵t>0,∴=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.
10.证明左边=-1+-1+-1=-3.∵a,b,c为正数,∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);≥2(当且仅当a=c时,等号成立);≥2(当且仅当b=c时,等号成立).从而≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).∴-3≥3,即≥3.
11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.
(2)在小明的解法中,a+≥2=2,当等号成立时a=1;b+≥2=2,当等号成立时b=,那么y取得最小值1+2时,a+b=1+,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.
小华的解法中,≥2,等号成立的条件为b2=2a2,即b=a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b的值,所以小华的解法正确.
12.C　x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,所以由基本不等式得x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即 x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.
13.BCD　对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y>0时,等号成立,C正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴≤9,D正确.故选BCD.
14.B　因为a,b>0,对于①,由(a+b)()=2+≥2+2=4,当且仅当a=b时,等号成立,所以,所以①错误;对于②,由不等式a3+b3-a2b-ab2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a3+b3≥a2b+ab2,两边同除ab,可得≥a+b成立,所以②正确;对于③,由2a2+2b2=a2+b2+a2+b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2,可得a2+b2≥,即,所以成立,所以③正确.故选B.
15.AD　因为正实数a,b满足a+b=2,对于A选项,ab≤()2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A正确;对于B选项,因为()2=a+b+2≤2(a+b)=4,则≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B错误;对于C选项,当a=,b=时,a3+b3=()3+()3=>2,C错误;对于D选项,a2+b2==2,当且仅当a=b=1时,等号成立,D正确.故选AD.
16.BCD　当a>0,b>0时,因为,所以,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.
17.　∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴.
当且仅当b=时,等号成立.
18.解(x+y)=1+a+,∵x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,∴1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,等号成立.
∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.
∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a≥4,故a的最小值为4.
19.8　∵点(a,b)在反比例函数y=的图象上,∴b=,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴=a+b+≥8,当且仅当a+b=,即a+b=4时,等号成立,所以的最小值是8.
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