2.3　二次函数与一元二次方程、不等式--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
A级　必备知识基础练
1.[探究点一(角度2)]不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|x≥1,或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1}
D.{x|x>1,或x≤-6}
2.[探究点一(角度1)]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x∈N*|x≤5},则A∩B等于 (　　)
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
3.[探究点一(角度1)]不等式x2-2x-5>2x的解集是(　　)
A.{x|x≥5,或x≤-1}
B.{x|x>5,或x<-1}
C.{x|-1D.{x|-1≤x≤5}
4.[探究点二]若不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},则(　　)
A.a=1,b=-5 B.a=-1,b=5
C.a=-1,b=-5 D.a=1,b=5
5.[探究点一(角度2)]不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|x<1} B.{x|x≥2}
C.{x|1≤x≤2} D.{x|16.[探究点二·2024江苏连云港高一期中](多选题)设a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},则下列说法正确的是(　　)
A.a<0
B.ab<0
C.ac>0
D.a∶b∶c=1∶(-4)∶3
7.[探究点二](多选题)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是(　　)
A.a+b=0 B.a+b+c>0
C.c>0 D.b<0
8.[探究点二]二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　.
9.[探究点三]某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(010.[探究点一(角度1)]求下列不等式的解集:
(1)2x2-13x+20>0;
(2)7x2+5x+1<0;
(3)4x2-4x+1≤0.
B级　关键能力提升练
11.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A.{x|0C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-112.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　)
A.0C.0≤a≤1 D.a<0或a>
13.已知a>0,b>0,则不等式-b<A.x<-或x>
B.x<-或x>
C.-D.-14.[2024河北唐山高一期中](多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)
A.a>0
B.c<0
C.a+b>0
D.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-315.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
16.已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B=　　　　　.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,给出如下三个条件:①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|≤x≤+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在,求出a的取值范围.
C级　学科素养创新练
17.在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1的解集为R,则实数a的最大值为　　　　　.
18.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.
(1)若5∈A,求实数k的取值范围.
(2)求不等式的解集A.
(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数 若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.
答案：
1.C　不等式≥0等价于解得-6≤x<1.故解集为{x|-6≤x<1}.
2.B　∵(2x+1)(x-3)<0,∴-又x∈N*且x≤5,则x=1,2.即A∩B={1,2}.
3.B　由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因为方程x2-4x-5=0的两根为-1,5,所以不等式x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1,或x>5}.
4.D　因为不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以-3和-2为方程ax2+bx+6=0的两根,即9a-3b+6=0,4a-2b+6=0,解得a=1,b=5,故选D.
5.D　不等式≥2可化为-2≥0,即≥0,等价于解得1所以不等式的解集为{x|16.BCD　∵a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},∴a>0,1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,∴∴b=-4a<0,c=3a>0,∴ab<0,ac>0,a∶b∶c=1∶(-4)∶3.故选BCD.
7.ABC　由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,所以-=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确.故选ABC.
8.{x|x<-2,或x>3}　根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象如图.
由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.
9.150　依题意得25x≥3 000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤
-200(舍去).因为010.解(1)原不等式对应的方程为2x2-13x+20=0,Δ=(-13)2-4×2×20=9>0,
所以该方程的两根为x1==4,x2=.
画出函数y=2x2-13x+20的大致图象,如图,函数图象与x轴的交点为(4,0),(,0).所以不等式2x2-13x+20>0的解集为.
(2)原不等式对应的方程为7x2+5x+1=0,Δ=52-4×7×1=-3<0,所以方程无解.画出函数y=7x2+5x+1的大致图象,如图,图象与x轴无交点.所以不等式7x2+5x+1<0的解集为 .
(3)4x2-4x+1≤0可化为(2x-1)2≤0,所以2x-1=0,
所以x=.画出函数y=4x2-4x+1的大致图象,如图,函数图象与x轴只有一个交点(,0).
所以不等式4x2-4x+1≤0的解集为.
11.B　根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).
又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故x的取值范围是{x|-212.C　因为不等式x2-2ax+a>0的解集为R,所以Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)<0,解得013.B　因为-b<-b,即+b=>0,即(1+bx)x>0,因为b>0,所以得x<-或x>0;解0,所以得x<0或x>.
综上,x<-或x>.
故选B.
14.BC　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,所以和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系可得解得a=3c,b=-4c(a<0),故A错误,B正确;a+b=-c>0,故C正确;不等式cx2+bx+a>0变为cx2-4cx+3c>0 x2-4x+3<0,解得{x|115.解(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为 .
16.解A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,
若选①,B={x|a-1≤x≤a},则且等号不能同时成立,解得2≤a≤3,即a的取值范围为{a|2≤a≤3}.
若选②,B={x|a≤x≤a+2},则且等号不能同时成立,无解.故a不存在.
若选③,B={x|≤x≤+3},则且等号不能同时成立,不等式组无解.即不存在a满足“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
17.　原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立.因为x2-x-1=(x-)2-≥-,所以-≥a2-a-2,解得-≤a≤.
18.解(1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1(2)当k=0时,不等式化为x-4<0,A={x|x<4};当k>0时,不等式化为(x-k-)(x-4)>0.当k>0且k≠2时,因为k+>4,所以A={x|x<4,或x>k+};当k=2时,A={x|x≠4};当k<0时,不等式化为(x-k-)(x-4)<0,A={x|k+(3)存在k=-2满足题意.由(1)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个;当k<0时,A中整数的个数为有限个.因为-k>0,所以k+=-[(-k)+]≤-4,当且仅当k=-2时,等号成立,所以当k=-2时,A中整数的个数最少.
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