3.2.1　第1课时　函数的单调性--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]已知y=f(x)的图象如图所示,则该函数的单调递增区间为(　　)
A.[-1,3] B.[-1,2]和[4,5]
C.[-1,2] D.[-3,-1]和[2,4]
2.[探究点一·2024天津北辰高一期中]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的函数是(　　)
A.f(x)=-2x+3 B.f(x)=2x-1
C.f(x)= D.f(x)=-x2
3.[探究点一]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,0]
B.(-∞,0]∪[2,+∞)
C.(-∞,0]和[2,+∞)
D.[2,+∞)
4.[探究点三(角度2)]若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-,+∞) B.(-∞,-]
C.(3,+∞) D.(-∞,-3]
5.[探究点三(角度1)]定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则(　　)
A.f(3)C.f(2)6.[探究点一]函数f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调递增区间为　　　　.
7.[探究点一]函数f(x)=|x-3|的单调递减区间是　　　　　.
8.[探究点三(角度1)]定义在(-2,2)上的函数f(x)是增函数,且满足f(1-a)9.[探究点一]已知函数f(x)的图象如图所示,根据图象有下列三个命题:
①函数f(x)在定义域上是增函数;②函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间;③函数f(x)的单调递增区间是(a,b)∪(b,c).
其中所有正确的命题的序号有　　　　　.
10.[探究点三(角度2)]已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=　　　　,f(1)=　　　　　.
11.[探究点三(角度3)]若函数f(x)=|x-a|+1在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　.
12.[探究点二]证明函数f(x)=-在定义域上为减函数.
B级　关键能力提升练
13.定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,②对任意x1,x2∈(-∞,1],当x1≠x2时都有<0,则f(0),f(),f(3)的大小关系为(　　)
A.f()>f(0)>f(3)
B.f(3)>f(0)>f()
C.f()>f(3)>f(0)
D.f(3)>f()>f(0)
14.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　)
A.y=-f(x)在R上是减函数
B.y=在R上是减函数
C.y=[f(x)]2在R上是增函数
D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数
15.已知函数f(x)=若f(4-a)>f(a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)
16.[2024福建三明高一期末]函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是　　　　　　　　.
17.已知函数f(x)=x2--3(x>0),判断函数的单调性,并证明.
18.讨论函数f(x)=在区间(-2,+∞)上的单调性.
C级　学科素养创新练
19.已知f(x)=为增函数,则a的取值范围是(　　)
A.[-2,4) B.[2,4)
C.[-3,4) D.[3,4)
20.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,若对于任意正实数x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,则不等式f(x)+f(x-8)<2的解集是　　　.
答案：
1.B　函数的图象在[-1,2]和[4,5]上呈上升趋势.故选B.
2.B　A选项,f(x)=-2x+3在R上单调递减,A错误;
B选项,f(x)=2x-1在R上单调递增,满足要求,B正确;
C选项,f(x)=在区间(0,+∞)上单调递减,C错误;
D选项,f(x)=-x2在区间(0,+∞)上单调递减,D错误.
故选B.
3.C　由于f(x)=(x-4)·|x|=
作出函数f(x)的图象如图所示:
结合图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[2,+∞).
故选C.
4.B　∵函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,直线x=为函数图象的对称轴,
又函数在区间(-∞,2]上是减函数,故2≤,解得a≤-.
5.A　定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,
则函数f(x)在R上单调递减.
∵1<2<3,∴f(3)6.[1,4]　f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,图象开口向上,对称轴为直线x=1,
故单调递增区间为[1,4].
7.(-∞,3]　由f(x)=|x-3|=
作出f(x)的图象如图所示.
由图可知函数f(x)=|x-3|的单调递减区间是(-∞,3].
8.(,2)　由题设知实数a应满足解得9.②　由题意以及函数的图象可知,函数f(x)在定义域上不是增函数,所以①不正确;函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间,所以②正确;
函数f(x)的单调递增区间是(a,b),(b,c),不能写成(a,b)∪(b,c),所以③不正确.
10.-8　13　∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,
∴f(x)图象的对称轴方程为x==-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.
11.(-∞,2]　由函数f(x)=|x-a|+1,可得函数f(x)的单调递增区间为[a,+∞).
因为f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,可得[2,+∞) [a,+∞),解得a≤2,
所以实数a的取值范围为(-∞,2].
12.证明函数f(x)=-的定义域为[0,+∞).
x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=.
∵x1-x2<0,>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∴函数f(x)=-在定义域[0,+∞)上为减函数.
13.B　∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且对任意x1,x2∈(-∞,1],
当x1≠x2时都有<0,
∴y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,
f(0)=f(2),∴f(3)>f(0)>f().故选B.
14.A　∵函数f(x)在R上是增函数,∴y=-f(x)在R上是减函数,故选项A正确;
函数f(x)在R上是增函数,但y=在R上不一定是减函数,
如f(x)=x在R上是增函数,但y=在R上不是减函数,故排除选项B;
函数f(x)在R上是增函数,但y=[f(x)]2在R上不一定是减函数,
如f(x)=x在R上是增函数,但y=[f(x)]2=x2在R上不是减函数,故排除选项C;
函数f(x)在R上是增函数,但y=af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数,
如f(x)=x在R上是增函数,但y=-2f(x)=-2x在R上不是增函数,故排除选项D.故选A.
15.A　画出f(x)的图象(图略),可判断f(x)在R上单调递增,故f(4-a)>f(a) 4-a>a,解得a<2.
16.(-∞,1),(,2)　当x≥2或x≤1时,f(x)=x2-3x+2,图象的对称轴为直线x=,
当1由图可知f(x)的单调递减区间为(-∞,1),(,2).
17.解 函数f(x)在(-2,+∞)上单调递减.证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,
即x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(-3)-(-3)=()+()
=(x1-x2)(x1+x2)+=(x1-x2)(x1+x2+).
因为x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+x2+>0,
则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上单调递增.
18.解f(x)==a+.
任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)==(1-2a)·.
∵-20,(x2+2)(x1+2)>0.
当a<时,1-2a>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故此时f(x)在区间(-2,+∞)上单调递减.
当a>时,1-2a<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)故此时f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.
综上,当a<时,f(x)在区间(-2,+∞)上单调递减;当a>时,f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.
19.D　因为f(x)=为增函数,
故解得3≤a<4.故选D.
20.(8,9)　∵f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,
∴2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(3×3)=f(9),
则不等式f(x)+f(x-8)<2等价为f[x(x-8)]∵函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,
∴不等式等价为解得821世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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