3.2.1　第2课时　函数的最大(小)值--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
第2课时　函数的最大(小)值
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为(　　)
A.f(2),f(-2) B.f(),f(-1)
C.f(),f(-) D.f(),f(0)
2.[探究点二]函数f(x)=x+(x≥1)的值域为(　　)
A.[0,1) B.[,+∞)
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
3.[探究点一]函数f(x)=(x∈[,2])的值域为(　　)
A.[-1,] B.[-1,2]
C.[,2] D.[,1]
4.[探究点二]函数f(x)=的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
5.[探究点二]已知函数y=(k≠0),在区间[3,8]上的最大值为1,则k的值为(　　)
A.1 B.-6
C.1或-6 D.6
6.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)
A.90万元 B.120万元
C.120.25万元 D.60万元
7.[探究点二(角度1)](多选题)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是(　　)
A.[-1,2] B.[-3,2]
C.[-1,1] D.[-2,1]
8.[探究点二·2024江苏高一期末]函数f(x)=x+(x∈[2,8])的值域为　　　　　.
9.[探究点三(角度1)]求函数y=x2+1在下列各区间上的最值:
(1)[1,4];(2)[-6,-2];(3)[-2,2];(4)[-2,4].
10.[探究点二]已知f(x)=.
(1)根据单调性的定义证明函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减;
(2)若函数g(x)=,x∈[3,a](a>3)的最大值与最小值之差为1,求实数a的值.
B级　关键能力提升练
11.函数f(x)=,x∈[-4,-2)∪(-2,1]的值域是(　　)
A.(-∞,)∪(,+∞)
B.(-∞,5)∪(5,+∞)
C.(-∞,)∪[,+∞)
D.[]
12.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是(　　)
A.[1,+∞)
B.[0,2]
C.(-∞,-2]
D.[1,2]
13.(多选题)已知函数f(x)=-2x+1,x∈[-2,2],g(x)=x2-2x,x∈[0,3],则下列结论正确的是(　　)
A. x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
B. x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
C. x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]
D. x∈[-2,2], t∈[0,3],f(x)=g(t)
14.若f(x)=,则函数在x∈[0,1]上的值域是　　　　　.
15.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　　　.
16.某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1≤x≤30,x∈N*)天的销售单价(单位:元/件)为p(x)=销售量(单位:件)为q(x)=n-x,1≤x≤30,x∈N*,且第20天的销售额为1 800元(销售额=销售单价×销售量).
(1)求n的值,并求出第5天的销售额;
(2)求这30天内单日销售额的最大值.
C级　学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1].
(1)求f(x)的最小值g(a);
(2)求g(a)的最大值.
答案：
1.C　根据函数最值定义,结合函数图象可知,当x=-时,f(x)取得最小值f(-);
当x=时,f(x)取得最大值f().故选C.
2.D　令t=≥1,则x=,
原函数转化为y=+t=(t+1)2,t≥1,
且y=(t+1)2的图象开口向上,对称轴为直线t=-1,可得y=(t+1)2在区间[1,+∞)上单调递增,
可知当t=1时,y=(t+1)2取最小值2,
所以y=(t+1)2(t≥1)的值域为[2,+∞),
即函数f(x)=x+(x≥1)的值域为[2,+∞).故选D.
3.A　f(x)==1-,当x∈[,2]时,结合图象(图略)可知,函数f(x)单调递增,
所以当x=时,函数取得最小值,最小值为f()=1-=1-2=-1;当x=2时,函数取得最大值,最大值为f(2)=1-,即函数f(x)的值域为[-1,],故选A.
4.C　因为1-x(1-x)=x2-x+1=(x-)2+,所以.故f(x)的最大值为.
5.A　由题意,当k>0时,函数y=在区间[3,8]上单调递减,∵函数在区间[3,8]上的最大值为1,∴=1,解得k=1;
当k<0时,函数y=在区间[3,8]上单调递增,
∵函数在区间[3,8]上的最大值为1,
∴=1,解得k=6(舍去),故选A.
6.B　设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,利润为y万元,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图象的对称轴为直线x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.
7.AD　∵f(x)的值域是[0,4],∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2.
∴结合选项,f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1].
∵f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1,
∴[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.故选AD.
8.[4,9]　由对勾函数的单调性可知,
f(x)=x+在区间[2,2]上单调递减,在区间[2,8]上单调递增,
所以当x=2时,函数有最小值f(2)=2=4,又f(2)=6,f(8)=9,
所以当x=8时,函数有最大值f(8)=9,
故函数的值域为[4,9].
9.解 函数y=x2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=0,因而函数y=x2+1在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.
(1)y=x2+1在[1,4]上单调递增,因而f(x)min=f(1)=2,f(x)max=f(4)=17.
(2)y=x2+1在[-6,-2]上单调递减,
因而f(x)min=f(-2)=5,f(x)max=f(-6)=37.
(3)y=x2+1在[-2,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,
因而f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(-2)=f(2)=5.
(4)y=x2+1在[-2,0]上单调递减,在[0,4]上单调递增,因而f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f(4)=17.
10.(1)证明 x1,x2∈(2,+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=,
因为x1,x2∈(2,+∞),所以x1-2>0,x2-2>0,
又因为x10,
因此f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),
所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递减;
(2)解 由(1)可知,g(x)在区间[3,a]上单调递减,
所以x=3时,g(x)取得最大值g(3)=7,x=a时,g(x)取得最小值g(a)=.
因为最大值与最小值之差为1,所以7-=1,解得a=.
11.C　f(x)==5-,
当x∈[-4,-2)时,f(x)单调递增,f(x)≥f(-4)=,
当x∈(-2,1]时,f(x)单调递增,f(x)≤f(1)=,
故函数f(x)=,x∈[-4,-2)∪(-2,1]的值域是(-∞,]∪[,+∞).故选C.
12.D　因为f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,可知f(x)图象开口向上,对称轴为直线x=1,
则f(x)在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,
又因为f(1)=2,f(0)=f(2)=3,且f(x)在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,
所以m∈[1,2].故选D.
13.AC　在A中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;
在B中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;
在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],所以当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数g(x)的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;
在D中, x∈[-2,2], t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.
14.[0,1]　f(x)==2(x+1)+-4,
任取x1,x2∈[0,1],且x1所以f(x1)所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,
则f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(1)=1,
所以函数在x∈[0,1]上的值域是[0,1].
15.6　在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)(x≥0)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).
由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
16.解 (1)设单日销售额为y元,则y=p(x)·q(x)=
整理得y=
当x=20时,y=400-20(n+80)+80n=1 800,解得n=50,故y=
当x=5时,y=2 700,即第5天的销售额为2 700元.
(2)由(1)知,当1≤x≤10,x∈N*时,y=-2x2+50x+2 500单调递增,
则单日销售额的最大值为-2×102+50×10+2 500=2 800(元),
当10则单日销售额的最大值为112-130×11+4 000=2 691(元).
综上所述,这30天内单日销售额的最大值为2 800元.
17.解 (1)由题意可得,f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,x∈[-1,1],
当a≥1时,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,最小值g(a)=f(1)=3-2a;
当-1当a≤-1时,f(x)在区间[-1,1]上单调递增,最小值g(a)=f(-1)=3+2a.综上,g(a)=
(2)由(1)可知,当a≥1时,g(a)=3-2a在区间[1,+∞)上单调递减,所以g(a)的最大值为g(1)=1;
当-1所以g(a)的最大值为g(0)=2;
当a≤-1时,g(a)=3+2a在区间(-∞,-1]上单调递增,所以g(a)的最大值为g(-1)=1.
综上,g(a)的最大值g(0)=2.
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