3.2.2　奇偶性--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
3.2.2　奇偶性
A级　必备知识基础练
1.[探究点一·2024辽宁抚顺高一期中]下列函数是奇函数的是(　　)
A.y=- B.y=x+1
C.y= D.y=2x2
2.[探究点一]下列函数图象,既是奇函数又是增函数的是(　　)
3.[探究点一]函数f(x)=是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
4.[探究点三(角度1)]下列说法中,正确的是(　　)
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
5.[探究点三(角度1)]若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是(　　)
A.bC.a6.[探究点三(角度1)](多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在区间[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是(　　)
A.这个函数有2个单调递增区间
B.这个函数有3个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值-7
7.[探究点二]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　　　.
8.[探究点三(角度2)·2024江苏连云港高一月考]已知f(x)=+bx-4,其中a,b为常数,若
f(-2)=2,则f(2)=　　　.
9.[探究点三(角度1)]若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是　 .
10.[探究点三(角度1)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象;
(3)求该函数的值域.
B级　关键能力提升练
11.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
12.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
13.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是(　　)
A.f(-1)=0
B.f(x)的最大值为
C.f(x)在(-1,0)上单调递增
D.f(x)>0的解集为(-1,1)
14.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2++t,则t=　　　　,
f(-2)= 　　　　.
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若f(x)在区间[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.
C级　学科素养创新练
16.(多选题)给出定义:若m-A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是
B.函数y=f(x)是偶函数
C.函数y=f(x)是奇函数
D.函数y=f(x)在(-]上单调递增
17.(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),
求证:f(x)为偶函数;
(2)设函数f(x)定义在(-t,t)上,证明:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.
答案：
1.A　y=-的定义域为{x|x≠0},因为-=-(-),所以y=-是奇函数,故A正确;
y=x+1的定义域为R,因为-x+1≠-(x+1),所以y=x+1不是奇函数,故B错误;
y=的定义域为{x|x≥0},所以y=既不是奇函数也不是偶函数,故C错误;
y=2x2的定义域为R,因为2(-x)2=2x2,所以y=2x2是偶函数,故D错误.故选A.
2.A
3.D　因为f(x)=,
所以x+1≠0,即x≠-1,故f(x)的定义域为{x|x≠-1},显然f(x)的定义域不关于原点对称,
故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.故选D.
4.B　y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;
若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确;
若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;
函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.
5.C　由f(x)为偶函数,得a=f(-)=f().
又,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f()6.BC　根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在区间[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数在区间[-7,7]上有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.
7.2x3-3x-1
8.-10　设g(x)=f(x)+4=+bx,g(-x)=--bx=-g(x),g(x)的定义域为x≠0,关于原点对称,
所以g(x)是奇函数,
g(-2)=f(-2)+4=6,则g(2)=-g(-2)=-6,
又g(2)=f(2)+4,所以f(2)=-10.
9.(-∞,-2)∪(2,+∞)　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,又因为f(2)=0,所以f(x)<0 f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.
10.解 (1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,
因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以f(x)=x2+x(x<0).
综上,f(x)=
(2)当x≥0时,f(x)=x2-x=,
故此时函数f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,又因为f(x)为偶函数,故f(x)在区间(-∞,-)上单调递减,在区间(-,0)上单调递增,
且f(-)=f()=-,f(-1)=f(1)=f(0)=0,
画出函数图象如下.
(3)由图象可得出函数的值域为[-,+∞).
11.B　f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),
由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
12.C　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,
故A错误;
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
13.AB　f(-1)=f(1)=0,A正确;当x≥0时,f(x)=x-x2=-(x-)2+,∴f(x)的最大值为,B正确因为f(x)在(-,0)上单调递减,C错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),D错误.
14.-1　　因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即-02++t=0,解得t=-1.
所以f(x)=-x2+-1.
所以f(2)=-22+-1=-.
又函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=.
15.解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,
若x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又由f(x)为奇函数,则x<0时,f(x)=-f(-x)=x2+2x,综上可得,f(x)=
(2)由(1)知f(x)=作出函数图象如图,
若f(x)在区间[-2,b)上有最大值,即函数图象在区间[-2,b)上有最高点,必有-21,
故b的取值范围为(-2,0]∪(1,+∞).
16.AD　化简函数解析式可得,
f(x)=x-{x}=
画出函数的图象,如图所示.由图象可知函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-],故A正确;由图可知,函数图象既不关于y轴对称,也不关于坐标原点对称,且f(x)在(-]上单调递增,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,从而B,C错误,D正确.
17.证明 (1)令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x).①
令x2=0,x1=x,
得f(x)+f(x)=2f(0)·f(x).②
由①②,得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)∵x∈(-t,t),∴-x∈(-t,t).
f(-x)的定义域也是(-t,t).
设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),则F(x)与G(x)的定义域也是(-t,t),显然是关于原点对称的.
∵F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=F(x),
G(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),
∴F(x)为偶函数,G(x)为奇函数,即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.
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