3.3　幂函数--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
3.3　幂函数
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]已知幂函数f(x)=xα(α是常数)的图象经过点(4,2),则α的值为(　　)
A.- B.
C.-2 D.2
2.[探究点二]函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
3.[探究点三]已知a=1.,b=(,c=,则(　　)
A.cC.b4.[探究点四]若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　　　.
5.[探究点一·2024江西高一校联考]已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm的图象关于y轴对称.
(1)求m的值;
(2)若函数g(x)=f(x)-2,求g(x)的单调递增区间.
B级　关键能力提升练
6.若幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=(　　)
A.8 B.3
C.-1 D.
7.已知幂函数f(x)=,若f(a-1)A.[-1,3) B.(-∞,5)
C.[1,5) D.(5,+∞)
8.(多选题)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是(　　)
A.函数y=xα的图象过原点
B.函数y=xα是偶函数
C.函数y=xα是减函数
D.函数y=xα的值域为R
9.幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=　　　　　,
f()=　　　　　.
10.已知函数f(x)=2+xa(a为不等于0的常数)的图象恒过定点P,则点P的坐标为　　　.
11.已知幂函数f(x)经过点(9,3),则不等式f(x2-x+1)<1的解集为　　　　　.
C级　学科素养创新练
12.[2024黑龙江哈尔滨高一期末]已知幂函数f(x)=(p2-3p+3)是其定义域上的增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数h(x)=x+af(x),x∈[1,9],是否存在实数a使得h(x)的最小值为0 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案：
1.B　因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),所以2=4α,所以α=,故选B.
2.B　y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的,即为选项A,将y=-1的图象作关于x轴的对称变换后即为选项B.
3.A　b=0.,c==1.,
∵>0,函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且1.2>>1.1,∴1.>1.,即a>b>c.
4.　因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<.
5.解 (1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
又因为f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)为偶函数,从而m=2.所以f(x)=x2.
(2)由(1)知,g(x)=f(x)-2=x2-2=x2-2|x|,
当x≥0时,g(x)=x2-2|x|=x2-2x,图象对称轴为直线x=1,
所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
当x<0时,g(x)=x2-2|x|=x2+2x,图象对称轴为直线x=-1,
所以g(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增.
因此g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
6.D　函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意;当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=,所以f(2)=,故选D.
7.C　由幂函数f(x)=,若f(a-1)可得,即得1≤a<5.
所以a的取值范围为[1,5).
8.AD　因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.
9.2或3　4　幂函数f(x)=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得110.(1,3)　因为y=xa的图象恒过(1,1),
所以f(x)=2+xa的图象恒过定点P(1,3).
11.(0,1)　设幂函数f(x)=xa,
由题意得9a=3,解得a=,故f(x)=,f(1)=1,
则f(x2-x+1)<1,即为f(x2-x+1)根据f(x)=在区间[0,+∞)上单调递增,则有0≤x2-x+1<1,解得012.解 (1)因为f(x)=(p2-3p+3)是幂函数,
所以p2-3p+3=1,
解得p=1或p=2.
当p=1时,f(x)=,在区间(0,+∞)上单调递减,
当p=2时,f(x)=,在区间(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=.
(2)h(x)=x+af(x)=x+a,令t=,因为x∈[1,9],所以t∈[1,3],
则原函数转化为k(t)=t2+at,t∈[1,3],图象的对称轴为直线t=-.
①当-≤1,即a≥-2时,函数k(t)在区间[1,3]上单调递增,k(t)min=k(1)=1+a=0,解得a=-1.
②当1<-<3,即-6解得a=0,不符合题意,舍去.
③当-≥3,即a≤-6时,函数k(t)在区间[1,3]上单调递减,k(t)min=k(3)=9+3a=0,
解得a=-3,不符合题意,舍去.
综上,存在实数a=-1使得h(x)的最小值为0.
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