3.4　函数的应用(一)--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
3.4　函数的应用(一)
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25 m.当这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为(　　)时,围成的矩形菜园ABCD的面积最大
A. B.
C.10 D.15
2.[探究点一](多选题)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5 000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为(　　)
A.2.5元 B.3元
C.3.2元 D.3.5元
3.[探究点三]某企业为响应政府号召,积极参与帮扶活动.该企业2022年初有资金150万元,资金的年平均增长率固定,每三年政府将补贴10万元.若要实现2025年初的资金达到270万元的目标,资金的年平均增长率应为(参考值:≈1.22,≈1.20)(　　)
A.10% B.20%
C.22% D.32%
4.[探究点二]某医院在成为某病毒检测定点医院并开展检测工作的第n天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位:小时)大致服从的关系为t(n)=(t0,N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为16小时,第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为(　　)
A.16小时 B.11小时
C.9小时 D.7小时
5.[探究点二]为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为　　　　　千瓦时.
6.[探究点三]某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(单位:万元)与药品利润y(单位:万元)存在的关系为y=xα(α为常数),其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告费用投入5万元,预计今年药品利润为
　　　　　万元.
7.[探究点一]某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(单位:万元)与年产量x(单位:吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时,总成本最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润 最大利润是多少
B级　关键能力提升练
8.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是(　　)
A.出租车行驶2 km,乘客需付费8元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
9.某山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,并对生产的水果进行线上销售,销售方案如下:若一次购买水果总价不低于200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到支付款的80%,在销售活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,则m的最大值为　　　　　.
10.为弘扬“中国女排精神”,加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习,某同学以初速度v0=12 m/s竖直上抛一排球,该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留时间为　　　秒(小数点后保留两位有效数字).(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式h=v0t-gt2,其中g取9.8 m/s2,≈25.59)
11.第19届亚运会2023年9月在杭州市举办,本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念,展示杭州生态之美、文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速发展.筹备期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放当地市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一万台需另投入80万元,设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完.当020时,每万台的年销售收入t与年产量x满足关系式:t=70+.
(1)写出年利润y关于年产量x的函数解析式(利润=销售收入-成本);
(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大 并求最大利润.
C级　学科素养创新练
12.某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业
(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少
答案：
1.B　设矩形的宽为x米,矩形的面积为S,则由题意可得矩形的长为50-2x,则02.BC　设杂志的定价为x元,总销售收入为y元,根据题意可得y=x(100 000-×5 000)=
-25 000x2+150 000x,当销售收入不少于22.4万元时,-25 000x2+150 000x≥224 000,解得2.8≤x≤3.2,故选BC.
3.B　由题意,设年平均增长率为x,则150(1+x)3+10=270,
所以x=-1≈1.2-1=0.2,故资金的年平均增长率为20%.故选B.
4.C　因为第16天检测过程平均耗时为16小时,
第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,所以N0>16,
因为第16天检测过程平均耗时为16小时,所以=16,得t0=64,
因为第64天检测过程平均耗时为8小时,所以=8,解得N0=64,所以t(n)=
所以当n=49时,t(49)=≈9,故选C.
5.580　设用电量为x千瓦时,电费y元,
y=
若y=360时,当0≤x≤240时,则0.5x=360,解得x=720 [0,240],不满足题意;
当240当x>400时,则0.8(x-400)+216=360,解得x=580∈(400,+∞),满足题意.
故该户居民10月份的用电量为580千瓦时.
6.125　由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y=xα中,即3α=27,解得α=3,故函数关系式为y=x3.所以当x=5时,y=53=125.
7.解 (1)因为y=-48x+8 000=(x-120)2+5 120(0≤x≤210),
所以当年产量为120吨时,其生产的总成本最低,最低成本为5 120万元.
(2)设该工厂获得年总利润为f(x)万元,
则f(x)=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680(0≤x≤210).
因为f(x)在[0,210]上单调递增,所以当x=210时,f(x)取最大值f(210)=-(210-220)2+1 680=1 660.
故当年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元.
8.BCD　在A中,出租车行驶2 km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;在B中,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.
9.25　设每笔订单的总价为x元,根据题意有(x-m)×80%≥x×70%,即m≤恒成立,
由题意得x≥200,所以=25,所以m≤25,所以m的最大值为25.
10.2.09　由题意,竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系式h=v0t-gt2,
因为v0=12 m/s,所以h=12t-×9.8t2,
令h=2,可得12t-×9.8t2=2,即49t2-120t+20=0,
所以t1+t2=,t1t2=,
所以|t1-t2|=≈2.09 s.
所以该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2.09秒.
11.解 (1)由题意,当0当x>20时,年收入为x[70+],
故年利润为y=
即y=
(2)当0由函数图象开口向下,对称轴方程为x=25可知函数在区间(0,20]上单调递增,
所以当x=20时,ymax=1 150,
当x>20时,y=-10x-+1 950=-[10(x+1)+]+1 960≤-2+1 960=1 360,
当且仅当10(x+1)=,即x=29时,等号成立.
因为1 360>1 150,所以当年产量为29万台时,该公司获得年利润最大为1 360万元.
12.解 (1)由题意,得10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000,即x2-500x≤0,
又x>0,所以0即最多调整500名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a-)x万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x)(1+x)万元,则10(a-)x≤10(1 000-x)(1+x),
所以ax-≤1 000+2x-x-x2,
所以ax≤+1 000+x,即a≤+1在x∈(0,500]时恒成立.则≥2=4,
当且仅当,即x=500时,等号成立,所以a≤5.
又a>0,所以021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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