4.3.2　对数的运算--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
4.3.2　对数的运算
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]2log510+log50.25=(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
2.[探究点一]下列等式恒成立的是(　　)
A.(logax)2=2logax
B.loga(x-y)=
C.logax-logay=loga(x-y)
D.log10log10x
3.[探究点一]log2+lg 25+lg 4++9.80=(　　)
A.1 B.4 C.5 D.7
4.[探究点二]已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为(　　)
A.3 B.8 C.4 D.log48
5.[探究点三]已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为(　　)
A.6 B.9 C.12 D.18
6.[探究点一]设ax=M,y=logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示loga=　　　　　.
7.[探究点二]log35log46log57log68log79=　　　　　.
8.[探究点二·2024上海高一阶段测试]已知,log74=b,则用a,b表示log4948=　　　　.
9.[探究点三]已知4a=3b=6,则=　　　　　　.
10.[探究点一·2024江苏高一期中]设lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示下列各对数:
(1)lg 45;(2)lg;(3)lg.
11.[探究点四]2021年长征号运载火箭成功将载有3位航天员的神舟十二号载人飞船送入预定轨道,在考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足的函数关系是v=ln(1+).若火箭的最大速度为11.9 km/s,试求燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值.
(参考数据:e0.017 85≈1.018)(保留小数点后三位有效数字)
B级　关键能力提升练
12.设a=log36,b=log520,则log215=(　　)
A. B.
C. D.
13.方程2logx25-3log25x=1的解集是(　　)
A.{5} B.
C.{} D.{5}
14.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　)
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
15.[2024江苏常州高一期中]已知lg 2=a,lg 3=b,则log615=　　　　　(结果用a,b表示).
16.计算下列各式的值:
(1)lglg+lg;
(2)lg 2·lg 5+;
(3)lg 5·lg 400+;
(4)+log0.25+9log5-log1;
(5)+lg 5-lo2·lg 2·log23.
17.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物.
(1)求常数k的值;
(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)
(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)
C级　学科素养创新练
18.(1)求(log23+log89)(log34+log98+log32)+(lg 2)2+lg 20·lg 5的值.
(2)若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,求log2(1+)+log2(1+)的值.
答案：
1.C　原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
2.D　2logax=logax2≠,故A错误;
=logyx≠loga(x-y),故B错误;
logax-logay=loga≠loga(x-y),故C错误;
log10=log10log10x,故D正确.故选D.
3.C　原式=log22+lg(25×4)++1=2+2+1=5.
故选C.
4.A　由2x=3得x=log23,∴x+2y=log23+2log4=log23+=log23+(3log22-log23)=3.
5.D　∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,
∴=logk2,=logk3,∵2a+b=ab,∴=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1,∴k=18.
6.3x-　∵ax=M,∴x=logaM,∴loga=logaM3-loga=3logaM-logaN=3x-.
7.3　log35log46log57log68log79==3.
8.a+b　由,得a=lo=log73,
则log4948=log748=(log73+log716)=(log73+2log74)=a+b.
9.2　由题意可得a=log46,b=log36,则=log64,=log63,
故=log64+2log63=log64+log69=log636=2.
10.解 (1)lg 45=lg(32×5)=2lg 3+lg 5=2lg 3+1-lg 2=2b-a+1.
(2)lg=lg 27-lg 4=3lg 3-2lg 2=3b-2a.
(3)lg=lg 50-lg 27=lg-lg 33=2-lg 2-3lg 3=2-a-3b.
11.解 由v=ln(1+)=11.9,可得ln(1+)==0.017 85,所以=e0.017 85-1≈0.018.
所以燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值为0.018.
12.D　∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,
∴log23=,log25=,∴log215=log23+log25=.故选D.
13.D　易知x>0且x≠1.2logx25-3log25x=1 -3log25x=1 3+log25x-2=0 (3log25x-2)(log25x+1)=0,
解得log25x=或log25x=-1,所以x=5或x=,
所以方程的解集为5.
故选D.
14.AD　由题意,设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.
由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;
=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,
故,故C错误;
=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确.
15.　log615=.
16.解 (1)(方法1)原式=(lg 25-lg 72)-lg +lg
lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=(lg 2+lg 5)=.
(方法2)原式=lg-lg 4+lg 7=lg=lg.
(2)原式=lg 2·lg 5+(lg 2)2+lg 2·lg 5-(lg-1)
=(lg 2)2+lg 2·lg 5-lg 2+1=lg 2(lg 2+2lg 5-2)+1=lg 2(lg 50-2)+1=1-(lg 2)2.
(3)原式=lg 5·(2+2lg 2)+
=2lg 5+2lg 2·lg 5+2(lg 2)2
=2lg 5+2lg 2·(lg 5+lg 2)
=2lg 5+2lg 2
=2.
(4)原式=+1+9log5-0=+1+.
(5)原式=2+lg 5+lg 2=2+lg 10=3.
17.解 (1)由已知得当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9(或k≈0.022).
(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,有0.3P0=P0,
解得t=≈55.故污染物减少到30%至少需要55 h.
18.解 (1)原式=(log23+lo32)(log322+lo23+log32)+(lg 2)2+(lg 2+1)·lg 5
=(log23+log23)(2log32+log32+log32)+(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5
=log23·log32+lg 2·(lg 2+lg 5)+lg 5
=+lg 2+lg 5=.
(2)log2(1+)+log2(1+)
=log2()+log2()
=log2
=log2=1.
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