4.4.3　不同函数增长的差异--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
4.4.3　不同函数增长的差异
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]下列函数中,增长速度越来越慢的是(　　)
A.y=6x B.y=log6x
C.y=x6 D.y=6x
2.[探究点二]某学校开展研究学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
如下四个函数模型,能近似地反映这些数据的规律的是(　　)
A.y=0.58x-0.16
B.y=2x-3.02
C.y=x2-5.5x+8
D.y=log2x
3.[探究点二]若三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表,则关于x分别呈函数模型y=mlogax+n,y=pax+q,y=kxa+t变化的变量依次是(　　)
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6
A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1
C.y1,y3,y2 D.y3,y1,y2
4.[探究点一](多选题)下面对函数f(x)=lox与g(x)=()x在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)
A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢
C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢
D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
5.[探究点三(角度1)]某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是(　　)
6.[探究点一]函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1　　　　　Δy2(填“>”“=”或“<”).
7.[探究点二·北师大版教材习题]设y1=log2x,y2=x2,y3=2x.令x1=2n,x2=2n+1.
(1)请分别化简下列各式:①log2x2-log2x1;②;③.
(2)结合(1)中的化简结果,谈谈你对对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3变化的感受.
8.[探究点三(角度2)]某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产品的产量平稳增长.记2020年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2020年和2022年的数据求出相应的解析式.
B级　关键能力提升练
9.当0A.h(x)C.g(x)10.设集合A={(x,y)|y=2x},B={(x,y)|y=x2},则A∩B的元素个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
11.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是(　　)
A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2
B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3
D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1
12.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲在最前面;
②当x>1时,乙在最前面;
③当01时,丁在最后面;
④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.
其中正确结论的序号为　　　　.
13.[2024陕西榆林高一期中]下列说法中不正确的有　　　　　.(填序号)
①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快;
②对任意的x>0,都有xa>logax;
③对任意的x>0,都有ax>logax.
C级　学科素养创新练
14.(多选题)已知函数f1(x)=2x,f2(x)=2x+1,g1(x)=logax(a>1),g2(x)=kx(k>0),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点
B. x0∈R,当x>x0时,恒有g1(x)>g2(x)
C.当a=2时, x0∈(0,+∞),f1(x0)D.当a=时,方程g1(x)=g2(x)有解
答案：
1.B
2.D　由表中数据可知,y随x的增长而增长,且增长速度越来越慢.
A项,y=0.58x-0.16增长速度不变,不符合题意;
B项,y=2x-3.02增长速度越来越快,不符合题意;
C项,y=x2-5.5x+8,当x≥3时,增长速度越来越快,不符合题意;
D项,y=log2x,当x>1时,增长速度越来越慢,符合题意.故选D.
3.B　由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数图象的变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数图象的变化;y1相对于y2的变化要慢一些,是幂型函数图象的变化.故选B.
4.ABD　在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如右图所示,由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.
5.C　观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的.
6.<　由这两个函数的图象可知,指数函数增长得快些,所以Δy1<Δy2.
7.解 (1)①log2x2-log2x1=log2=log2=log22=1.
②=(2n+1)2-(2n)2=(2n+1-2n)·(2n+1+2n)=2n·3·2n=3·22n.
③=()2--1).
(2)Δx=x2-x1=2n+1-2n=2n,对数函数y1=log2x的增量Δy=1恒成立;幂函数y2=x2的增量Δy=3·22n,增量相比对数函数大了很多,且随n的增大而迅速增大;指数函数y3=2x的增量Δy=-1)≈()2,比幂函数增大的又大了很多,同样随n的增大而迅速增大.
8.解 符合条件的是f(x)=ax+b,
理由:若模型为f(x)=2x+a,
则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=lox+a,则f(x)是减函数,与已知不符合.
由已知得解得
所以f(x)=x+,x∈N*.
9.D　在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.
10.C　如图,集合A为函数y=2x图象的点集,集合B为函数y=x2图象的点集,两函数的图象有三个交点,所以A∩B的元素个数为3.故选C.
11.BD　在同一坐标系内画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示:
对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确;故选BD.
12.③④⑤　路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).
它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.
当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;
当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;
根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,画出四个函数的图象(图略),可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,从而当01时,丁在最后面,则③正确;
结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,则④正确;
指数型函数的增长速度是先慢后快,若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,则⑤正确.
13.①②③　对于①,如函数y=和y=2x+1的图象如图,
由图象知幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快,故①错误;
对于②,当a=时,y=,y=lox的图象如图,
由图象知对任意的x>0,xa>logax不一定正确,故②错误;
对于③,当a=时,y=,y=lox的图象如图,
由图象知对任意的x>0,ax>logax不一定正确,故③错误.
14.AD　对于A,指数函数f1(x)=2x与一次函数f2(x)=2x+1都过(0,1),但f1(x)=2x在x增大时呈爆炸式增长,故还会出现一个交点,如图所示,所以函数f1(x)和f2(x)的图象有两个公共点,故A正确;
对于B,取x=0,g2(x)=kx(k>0)=0,当x→0时,g1(x)=logax(a>1)→-∞,此时g1(x)由图可知, x∈R,有f1(x)>g1(x)恒成立,故C错误;
对于D,当a=时,g1(x)=lox,g2(x)=kx(k>0),由a>1知,>1,且两个函数都过点(,1),即方程g1(x)=g2(x)有解,故D正确.故选AD.
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