4.5.1　函数的零点与方程的解--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]函数f(x)=4x-2x-2的零点是(　　)
A.(1,0) B.1 C. D.-1
2.[探究点二·2024江苏连云港高一统考]函数f(x)=ln x+x-2的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)
3.[探究点三(角度1)]已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.[探究点二](多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(0,1)内一定有零点
B.f(x)在区间(0,1)内一定没有零点
C.f(x)在区间(1,2)内可能有零点
D.f(x)在区间(1,2)内一定有零点
5.[探究点三(角度2)]函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
6.[探究点三(角度2)]函数f(x)=x2-2x+a有两个不同零点,则实数a的取值范围是　　　　.
7.[探究点三(角度1)·2024天津高一期中]方程x+lg x=3解的个数为　　　　　　.
8.[探究点三(角度2)]若方程|3x-1|=k有一个实数根,则实数k的取值范围为　　　　　.
B级　关键能力提升练
9.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.[-4,0)
10.已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
11.已知实数x0是函数f(x)=的一个零点,若0A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0
12.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
13.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是(　　)
A.a<αC.α14.[2024四川雅安一模]已知函数f(x)=则函数y=f(x)-log2x的零点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
15.[2024河南郑州高一期末](多选题)若二次函数y=x2-2x+m的一个零点恰落在(-1,0)内,则实数m的值可以是(　　)
A.-3 B.-2
C.-1 D.1
16.若函数f(x)=x3-x+1在区间(a,b)内恰有一个零点,其中a,b∈Z,b-a=1,则a+b的值为　　　　.
17.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点
(2)若函数其中一个零点是0,求m的值.
(3)若f(x)=0有两个实数根,且一个根大于2,一个根小于2,求实数m的取值范围.
C级　学科素养创新练
18.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;
(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.
答案：
1.B　由f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,解得x=1.
2.B　易得f(x)=ln x+x-2在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,
故函数f(x)=ln x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B.
3.C　根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
令1++3x=0,无解,故函数y=f(x)+3x只有两个零点,故选C.
4.AC　因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1)<0,因为函数f(x)的图象在R上连续不断,由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)内一定有零点.又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)内是否有零点.
5.C　易知f(x)在区间[1,2]上的图象是一条连续不断的曲线且f(1)f(2)<0,
即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得06.(-∞,1)　由题意可知,方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,故Δ=4-4a>0,即a<1.
7.1　(方法1)设f(x)=x-3+ln x,令f(x)=0,
则ln x=3-x,
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.
由图可知函数y=ln x的图象与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.故原方程只有1个实数解.
(方法2)设f(x)=x-3+ln x,因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln<0,
所以f(3)f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原方程只有一个解.
8.{0}∪[1,+∞)　函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,
函数图象如右图所示,
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,
即方程|3x-1|=k有一个实数解.
9.D　由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,
又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足
解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.
10.C　∵f(x)=令f(x)=0,
当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);
当x>0时,-1=0,解得x=1.所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.
11.B　因为y=与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,所以当00.故选B.
12.B　由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.
由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.同理,在[5,6]上也如此.
13.C　∵α,β是函数f(x)的两个零点,
∴f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
14.C　设F(x)=f(x)-log2x,g(x)=log2x,则g(1)=0,
f(1)=5×1-5=0=g(1),
所以1是函数y=f(x)-log2x的一个零点.
因为f()=5×-5>-5,g()=log2=-50.
因为f()=5×-5=-,g=log2=-1>f(),所以F()=f()-g()<0.
根据零点的存在定理可知, x1∈(),使得F(x1)=0,
即x1是函数y=f(x)-log2x的一个零点.
因为f(3)=0,g(3)=log23>1>f(3),
所以F(3)=f(3)-g(3)<0.
又f(4)=42-4×4+3=3,g(4)=log24=2所以F(4)=f(4)-g(4)>0.
又F(x)的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知, x2∈(3,4),使得F(x2)=0,
即x2是函数y=f(x)-log2x的一个零点.
结合函数图象以及f(x),g(x)的增长速度可知,
当xx2时,函数y=f(x)-log2x没有零点.
综上所述,函数y=f(x)-log2x的零点为1,x1,x2,共3个零点.故选C.
15.BC　y=x2-2x+m=0,则m=-x2+2x=-(x-1)2+1,
函数y=-(x-1)2+1在x∈(-1,0)上单调递增,
当x∈(-1,0)时,m=-(x-1)2+1∈(-3,0),B,C满足.故选BC.
16.-3　如图所示,函数f(x)=x3-x+1的零点,即函数y=x3的图象与y=x-1的图象的交点,
由图象可知,两函数的图象只有一个交点,
且f(-2)=-5,f(-1)=1,
所以f(-2)·f(-1)<0,
所以函数f(x)在(-2,-1)内有一个零点,
又由a,b∈Z,b-a=1,所以a=-2,b=-1,所以a+b=-3.
17.解(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,解得m<.由Δ=0,解得m=;由Δ<0,解得m>.
故当m<时,函数有两个零点;当m=时,函数有一个零点;当m>时,函数无零点.
(2)由题意知0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,故有1-m=0,解得m=1.
(3)由题意可得f(2)>0,即-7-m>0,则m<-7.
故实数m的取值范围为(-∞,-7).
18.解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.则解得k=-2.
此时Δ>0,故k=-2.
(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,
∴
则
∴α2+β2在区间内的取值范围为.
故α2+β2的取值范围为.
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