4.5.3　函数模型的应用--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
4.5.3　函数模型的应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点一·2024陕西西安高一期末]如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时,在24 ℃的保鲜时间为8小时,那么在12 ℃时,该果蔬的保鲜时间为(　　)
A.16小时 B.24小时
C.36小时 D.72小时
2.[探究点三]有一组实验数据如下:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)
A.V=log2t B.V=lot
C.V= D.V=2t-2
3.[探究点二](多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.6 B.9
C.8 D.7
4.[探究点二]大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与鲑鱼的耗氧量的单位数P的关系为v=log3,则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为(　　)
A.1 B.100
C.200 D.300
5.[探究点一]已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=　　　　,经过5 h,1个病毒能繁殖
　　　　个.
6.[探究点一]物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·(,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到35 ℃时,需要多少时间 (参考数据:lg 11≈1.04,lg 2≈0.30)
7.[探究点三]某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线,本年度第一季度统计数据如下表:
月份 1月 2月 3月
小型汽车数量x/辆 30 60 80
创造的收益y/元 4 800 6 000 4 800
(1)根据上表数据,从下列三个函数模型中:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y=ax+b(a,b,c为常数,且a≠0)选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量x(单位:辆)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式;
(2)利用上述你选取的函数关系式计算,若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6 020元以上,那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车
B级　关键能力提升练
8.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚,假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(　　)(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2.56≈0.408)
A.2024年 B.2025年
C.2026年 D.2027年
9.(多选题)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化、相对统一的和谐美.定义:圆O的圆心在原点,若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分,则这个函数称为圆O的一个“太极函数”,则下列说法正确的是(　　)
A.对于圆O,其“太极函数”有且只有1个
B.函数f(x)=是圆O的一个“太极函数”
C.函数f(x)=x3-3x不是圆O的“太极函数”
D.函数f(x)=ln(+x)是圆O的一个“太极函数”
10.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m=　　　　;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,那么至少需要排气　　　　分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.
11.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是　　　　　.(填序号)
12.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
13.[2024宁夏银川高一期末]某科研机构对某变异毒株在特定环境下进行观测,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y表示此变异毒株的数量,单位为万个,得到如下观测数据:
x/T 1 2 3 4 5 6 …
y/万个 … 10 … 50 … 250 …
若该变异毒株的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q(p>0)与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求至少经过多少个单位时间,该变异毒株的数量不少于一亿个.(参考数据:≈2.236,≈2.449,lg 2≈0.301,lg 6≈0.778)
C级　学科素养创新练
14.某地区为响应上级号召,在2022年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房面积的年平均增长率只能达到5%.
(1)设经过x年后,该地区的廉价住房面积为y万平方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域.
(2)作出函数y=f(x)的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房面积能达到300万平方米
答案：
1.D　由题设解得
所以x=12时,ax+b=-2ln 3+4ln 3+3ln 2=ln 72,
此时y=eln 72=72小时.故选D.
2.C　当t=4时,选项A中的V=log24=2,
选项B中的V=lo4=-2,
选项C中的V==7.5,
选项D中的V=2×4-2=6,故选C.
3.BC　设经过n次过滤,产品达到市场要求,则,即,
由nlg≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥≈7.4.
4.B　因为v=log3,所以当鲑鱼静止时,v1=0 m/s,即log3=0,化简得=1,
所以P=100.故选B.
5.2ln 2　1 024　当t=0.5时,y=2,
∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2.
当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
6.解由题意知40-24=(88-24)·(,
即=(,解得h=10.
故T-24=(88-24)·(.
当T=35时,代入上式,得35-24=(88-24)·(,即(.
两边取对数,求得t≈25.
因此,降温到35 ℃约需要25 min.
7.解 (1)选取②y=ax2+bx+c,
由题表可知,随着x的增大,y的值先增大后减小,
而函数y=ax+b及y=ax+b均为单调函数,故不符合题意,所以选取②y=ax2+bx+c,
将(30,4 800),(60,6 000),(80,4 800)三点分别代入函数解析式y=ax2+bx+c中,
可得二次函数图象的对称轴为直线x==55,故可将函数解析式设为y=a(x-55)2+h,
即得到解得
所以y=-2(x-55)2+6 050=-2x2+220x=ax2+bx+c,
所以a=-2,b=220,c=0.
(2)设在一周内大约应生产x辆小型汽车,根据题意,可得-2x2+220x>6 020,
即-2x2+220x-6 020>0,即x2-110x+3 010<0,
因为Δ=1102-4×3 010=60>0,
所以方程x2-110x+3 010=0有两个实数根x1=55-,x2=55+,
由二次函数y=x2-110x+3 010的图象可知不等式的解为55-因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量满足53≤x≤58且x∈N时,
这家工厂能够获得6 020元以上的收益.
8.C　设2020年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,
则5 000(1+20%)x>12 800,即1.2x>2.56,
解得x>log1.22.56=≈5.16,
则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026.故选C.
9.BD　对于选项A,圆O的“太极函数”不止一个,故选项A错误;
对于选项B,由于函数f(x)=当x≥0时,f(-x)=-x2+x=-f(x);当x<0时,f(-x)=x2+x=-f(x),故f(x)=为奇函数,
所以根据对称性可知函数f(x)=为圆O的一个“太极函数”,故选项B正确;
对于选项C,函数f(x)=x3-3x的定义域为R,f(-x)=-x3+3x=-f(x),f(x)=x3-3x也是奇函数,故函数f(x)=x3-3x是圆O的“太极函数”,故选项C错误;
对于选项D,函数f(x)=ln(+x)的定义域为R,f(-x)=ln(-x)=ln()=
-ln(+x)=-f(x),f(x)=ln(+x)也是奇函数,故函数f(x)=ln(+x)是圆O的“太极函数”,故选项D正确.故选BD.
10.　32　∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),
∴64=27-4m,解得m=.故y=.
由,解得t≥32.
故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
11.①③　由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,
解得a=.故y=.
所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;
第一个月的减少量为1-;
第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;
③由已知,
所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.
12.解(1)因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,
所以每次过滤后所含的杂质是前一次的,故y=a%×,x∈N*.
(2)设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求,则
a%×≤0.002a%,
所以,
所以lg()x≤lg,即xlg≤lg,
所以x≥≈5.7,又x∈N*,所以x≥6.
故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.
13.解 (1)若选y=px2+q(p>0),将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得
解得
所以y=x2-.将x=6代入,得y=≠250;
若选y=kax(k>0,a>1),
将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得解得所以y=2,将x=6代入,得y=250.
所以选择y=kax(k>0,a>1)更合适,解析式为y=2.
(2)设至少需要x个单位时间,则令2≥10 000,即≥5 000,
两边同时取常用对数可得xlg≥lg 5+3,
则x≥=2+≈2+≈10.58.
因为x∈N*,所以x的最小值为11.
故至少经过11个单位时间该变异毒株的数量不少于一亿个.
14.解 (1)经过1年后,廉价住房面积为200+200×5%=200(1+5%);
经过2年后为200(1+5%)2;
……
经过x年后,廉价住房面积为200(1+5%)x,
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N*).
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N*)的图象,如图所示.
作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时所经过的时间x的值.因为821世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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