5.2.2　同角三角函数的基本关系--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
5.2.2　同角三角函数的基本关系
A级　必备知识基础练
1.[探究点二]化简的结果是(　　)
A.cos 160° B.±|cos 160°|
C.±cos 160° D.-cos 160°
2.[探究点一(角度3)·2024江西上饶高一期末]已知sin α+cos α=,则tan α+=(　　)
A.- B.
C.- D.
3.[探究点一(角度2)]已知tan α=-1,则2sin2α-3cos2α=(　　)
A.- B.-
C. D.
4.[探究点一(角度2)]若tan α=2,则+cos2α=(　　)
A. B.-
C. D.-
5.[探究点一(角度1)]若α是第三象限角且cos α=-,则sin α=　　　　　,
tan α=　　　　　.
6.[探究点一·2024云南曲靖高一期末]若α是第四象限的角,且tan α=-,则cos α=　　　　.
7.[探究点二]已知α为第二象限角,则cos α+sin α=　　　　　.
8.[探究点三]求证:
(1)1+tan2α=;
(2)sin4α-cos4α=sin2α-cos2α;
(3)tan2αsin2α=tan2α-sin2α.
9.[探究点一(角度3)]已知-(1)sin xcos x;
(2)sin x-cos x;
(3).
B级　关键能力提升练
10.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,那么这个三角形的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
11.[2024山东枣庄高一期末]已知sin α+cos α=,且α∈(0,π),则sin α-cos α的值为(　　)
A.- B.-
C. D.或-
12.已知,则等于(　　)
A. B.-
C.2 D.-2
13.若α∈[0,2π),且=sin α-cos α,则角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
14.已知θ是第二象限角,且sin θ=,cos θ=,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|3C.{m|m=0或m=8} D.{m|m=8}
15.[2024四川资阳高一期末]化简cos α+sin α(π<α<)得(　　)
A.-sin α-cos α-2
B.2-sin α-cos α
C.sin α-cos α
D.cos α-sin α
16.已知cos,0<α<,则sin(α+)=　　　　　.
17.若cos α+2sin α=-,则tan α=　　　　.
18.[2024广东高三阶段练习]已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ=(　　)
A.- B.
C.- D.
19.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是.
①sin θ-cos θ的值为　　　　　;②cos2θ-sin2θ的值为　　　　　.
C级　学科素养创新练
20.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根 若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.
答案：
1.D　=|cos 160°|=-cos 160°.
2.B　因为sin α+cos α=,平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=,
又sin2α+cos2α=1,故sin αcos α=,
则tan α+.故选B.
3.B　因为tan α=-1,所以cos α≠0,
则2sin2α-3cos2α==-.故选B.
4.A　∵tan α=2,∴cos α≠0,
∴+cos2α=.故选A.
5.-　∵α是第三象限角且cos α=-,
∴sin α=-=-,∴tan α=.
6.　由tan α=-,所以sin2α=3cos2α,所以cos2α=.因为α是第四象限的角,所以cos α=.
7.0　由题可知cos α≠0,
所以原式=cos α+sin α=cos α+sin α.
因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以cos α+sin α=-1+1=0.
8.证明 (1)1+tan2α=1+.
(2)sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α.
(3)右边=tan2α-sin2α=-sin2α=sin2α(-1)=sin2α·=sin2α·=sin2α·tan2α=左边.
9.解(1)∵sin x+cos x=,
∴(sin x+cos x)2=,即1+2sin xcos x=,
∴2sin xcos x=-,∴sin xcos x=-.
(2)由(1)知,sin xcos x=-,
则(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x=1-2sin xcos x=1+.
又-0,
∴sin x-cos x<0,∴sin x-cos x=-.
(3)∵sin x+cos x=,sin x-cos x=-,
∴.
10.B　∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,
∴sin αcos α=-<0.
又α是三角形的一个内角,∴α∈.
∴三角形为钝角三角形.
11.C　将sin α+cos α=两边同时平方可得,sin2α+cos2α+2sin αcos α=,
可得sin αcos α=-.
又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0.
易知(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=,可得sin α-cos α=±.
又sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α=.故选C.
12.B　由题可知sin x≠1,cos x≠0.
因为,
所以=-.
13.B　由已知=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α,
∴sin α≥0,cos α≤0.
又α∈[0,2π),∴α∈.
14.D　∵θ是第二象限角,
∴
∴∴m=8,故选D.
15.A　∵π<α<,∴-1∴cos α+sin α
=cos α+sin α
=cos α+sin α
=cos α·+sin α·
=-sin α-1-cos α-1
=-sin α-cos α-2.
故选A.
16.　∵sin2+cos2=1,
∴sin2=1-.
∵0<α<,∴<α+,∴sin.
17.2　由cos α+2sin α=-,得cos α=-2sin α-,
因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+=1,
化简得5sin2α+4sin α+4=0,得=0,解得sin α=-,
所以cos α=-2×(-)-=-,所以tan α==2.
18.D　由题意知tan θ=2,则cos θ≠0,
则sin2θ+sin θcos θ=.故选D.
19.-　因为大正方形的面积是1,所以大正方形的边长为1,则直角三角形中较短的直角边长为1·sin θ=sin θ,较长的直角边长为1·cos θ=cos θ,所以小正方形的边长为cos θ-sin θ.又小正方形的面积是,所以小正方形的边长为cos θ-sin θ=,故sin θ-cos θ=-.
因为(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=,又(cos θ+sin θ)2=1+2sin θcos θ=1+,cos θ+sin θ>0,所以cos θ+sin θ=,所以cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.
20.解假设存在实数m满足条件,则由题设得Δ=36m2-32(2m+1)≥0. ①
∵α为第三象限角,
∴sin α<0,cos α<0,∴sin α+cos α=-m<0, ②
sin αcos α=>0. ③
又sin2α+cos2α=1,∴(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1.
把②③代入上式得-2×=1,
即9m2-8m-20=0,解得m1=2,m2=-.
∵m1=2不满足条件①,舍去;
m2=-不满足条件②③,舍去.
故满足题意的实数m不存在.
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