5.3　第2课时　诱导公式五、六--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
第2课时　诱导公式五、六
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]若α∈,则=(　　)
A.sin α B.-sin α
C.cos α D.-cos α
2.[探究点一]已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于(　　)
A.a B.-a
C.a2 D.
3.[探究点一·2024安徽滁州高一期末]若α∈(-),且sin(π+α)=,则sin(-α)等于(　　)
A. B.- C. D.-
4.[探究点一·2024河南驻马店高一期末]已知sin(+α)=,则cos(-α)=(　　)
A.- B. C.- D.
5.[探究点一·2024四川绵阳高三阶段练习]已知sin(θ+)=,则cos(θ+)=(　　)
A.- B.
C. D.-
6.[探究点三] α为锐角,2tan(π-α)-3cos=-5,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α=(　　)
A. B.
C. D.
7.[探究点一]若cos α=,且α是第四象限角,则sin α=　　　　,cos=　　　　　.
8.[探究点一]若sin,则cos2=　　　　　　.
9.[探究点二]求证:.
10.[探究点三·2024江苏高一期末]已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α为第三象限角,且cos(α-)=,求f(α)的值.
B级　关键能力提升练
11.已知sin(π-α)=-2sin(+α),则sin αcos α等于(　　)
A. B.- C.或- D.-
12.计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°等于(　　)
A.89 B.90 C. D.45
13.已知cos(60°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为(　　)
A.- B. C.- D.
14.已知角α的终边上有一点P(1,3),则的值为(　　)
A.- B.- C.- D.-4
15.(多选题)下列结论一定正确的有(　　)
A.sin(+α)=cos(-α)
B.cos(+θ)+sin(-θ)=0
C.sin2(15°-α)+cos2(75°+α)=1
D.sin2(15°-α)+sin2(75°+α)=1
16.若f(sin x)=3-cos,则f(cos x)等于(　　)
A.3+sin x B.3-sin x
C.3-cos x D.3+cos x
17.已知cos(-α)=,则cos(-α)-sin2(α-)的值是　　　　　.
18.已知sin,则sin=　　　　　,cos=　　　　　.
19.已知cos=2sin,则=　　　　　.
20.已知sin α=,则sin(α-π)cos(2π-α)的值为　　　　.
21.已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值;
(2)求的值.
C级　学科素养创新练
22.[2024广东佛山高一期中]已知f(α)=.
(1)若f(α)=-,且α∈(0,π),求α的值;
(2)若f(α+)=,求sin2(-α)+sin(-α)的值.
答案：
1.B　∵α∈,∴sin α<0,
∴=-sin α.
2.A　cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.
3.B　∵α∈(-),且sin(π+α)=,
∴sin α=-,cos α=,则sin(-α)=sin(-α)=-cos α=-.故选B.
4.B　cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(+α)=.故选B.
5.D　由题意可得cos(θ+)=cos[(θ+)+]=-sin(θ+)=-.故选D.
6.C　由条件可得-2tan α+3sin β=-5, ①
tan α-6sin β=1. ②
①×2+②可得tan α=3,即sin α=3cos α.
又sin2α+cos2α=1,α为锐角,
所以cos α=,sin α=.
7.-　-　因为α是第四象限角,
所以sin α=-=-,
于是cos=-cos=sin α=-.
8.　sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.
9.证明左边=
=
=
==右边.
所以原等式成立.
10.解 (1)f(α)==-cos α,即f(α)=-cos α.
(2)由cosα-=-sin α=,可得sin α=-.
因为α为第三象限角,所以f(α)=-cos α=,故f(α)=.
11.B　∵sin(π-α)=-2sin(+α),即sin α=-2cos α,
∴tan α=-2,
∴sin αcos α==-.
12.C　∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,
sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1,……,
∴sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=44+sin245°=44+.
13.A　由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°,
所以sin(60°+α)<0,
所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-=-=-.
14.A　因为角α终边上有一点P(1,3),
所以cos α≠0,tan α=3,
所以=-.故选A.
15.ABD　sin(+α)=sin(+α-)=cos(α-)=cos(-α),故A正确;
因为cos(+θ)=-si(+θ)=-sin[π-(-θ)]=-sin(-θ),所以cos(+θ)+sin(-θ)=0,故B正确;
因为sin(15°-α)=sin[90°-(75°+α)]=cos(75°+α),所以sin2(15°-α)+cos2(75°+α)=2cos2(75°+α),故C错误;
sin2(15°-α)+sin2(75°+α)=cos2(75°+α)+sin2(75°+α)=1,故D正确.故选ABD.
16.D　∵f(sin x)=3-cos=3+sin x,
∴f(x)=3+x.∴f(cos x)=3+cos x.
17.-　因为cos(-α)=,所以sin2(α-)=1-cos2(α-)=1-,
可得cos(-α)-sin2(α-)=cos[π+(-α)]-sin2[(α-)-2π]=-cos(-α)-sin2(α-)=-=-.
18.-　sin=sin=-sin=-,
cos=cos=cos=sin.
19.　因为cos=2sin,
所以sin α=2cos α,
所以原式=.
20.-　原式=[-sin(π-α)]cos(-α)=(-sin α)cos α=-sin2α=-.
21.解(1)∵角α的终边经过点P,
∴|OP|=1(O是坐标原点),∴sin α=-.
(2),
由题可知cos α=,故所求式子的值为.
22.解(1)f(α)==cos α,
因为f(α)=-,所以cos α=-,又α∈(0,π),所以α=.
(2)由(1)知f(α)=cos α,所以f(α+)=cos(α+),
因为f(α+)=,所以cos(α+)=,
令x=α+,则cos x=,α=x-,
所以sin2(-α)+sin(-α)=sin2(π-x)+sin(-x)=sin2x+cos x=1-cos2x+cos x=.
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