5.4.2　第1课时　周期性、奇偶--2025人教A版数学必修第一册同步练习题性（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性、奇偶性
A级　必备知识基础练
1.[探究点一·2024四川绵阳高一期末]函数f(x)=3cos(4x-)的最小正周期为(　　)
A. B.
C.4π D.8π
2.[探究点二]函数f(x)=x+sin x,x∈R(　　)
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
3.[探究点一]下列函数,最小正周期为2π的是(　　)
A.y=sin B.y=sin 2x
C.y= D.y=|sin 2x|
4.[探究点二]下列函数中是奇函数的为(　　)
A.y=sin B.y=sin
C.y=3x-sin x D.y=x2+sin x
5.[探究点三]设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
6.[探究点二]设函数f(x)=x3cos x+1,若f(a)=11,则f(-a)=　　　　　.
B级　关键能力提升练
7.如果函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为(　　)
A.3 B.6
C.12 D.24
8.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f(-)的值等于(　　)
A.1 B.
C.0 D.-
9.(多选题)下列函数中周期为π,且为偶函数的是(　　)
A.y=|cos x| B.y=sin 2x
C.y=sin(2x+) D.y=cosx
10.(多选题)若函数y=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称,那么φ的取值可以是(　　)
A.- B.
C.π D.
11.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法:
①对任意的φ,f(x)都既不是奇函数,也不是偶函数;
②存在φ,使f(x)是偶函数;
③存在φ,使f(x)是奇函数;
④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.
其中错误的是　　　　　(填序号).
12.[2024江西九江高一期末]设函数f(x)=sinx,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=　 .
C级　学科素养创新练
13.[2024北京海淀高三阶段练习]函数f(x)=cos(x+a)+sin(x+b),则下列结论一定成立的是(　　)
A.若a+b=0,则f(x)为奇函数
B.若a+b=,则f(x)为偶函数
C.若b-a=,则f(x)为偶函数
D.若a-b=π,则f(x)为奇函数
答案：
1.B　由余弦型函数周期性,可知f(x)的最小正周期T=.故选B.
2.A　由f(-x)=-x-sin x=-(x+sin x)=-f(x)可知f(x)是奇函数,不是偶函数.故选A.
3.C　函数y=sin的最小正周期为T==4π,故A不符合;
函数y=sin 2x的最小正周期为T==π,故B不符合;
因为函数y=sin的最小正周期为T=4π,所以函数y=的最小正周期为2π,故C符合;
因为函数y=sin 2x的最小正周期为T==π,所以函数y=|sin 2x|的最小正周期为,故D不符合.故选C.
4.C　令f(x)=3x-sin x.易知x∈R,f(-x)=3·(-x)-sin(-x)=-3x+sin x=-f(x),故函数y=3x-sin x是奇函数.
5.B　由f(-x)=f(x),x∈R,得f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A,C;
由f(x+2)=f(x),得2为f(x)的周期,排除D.故选B.
6.-9　易知x∈R.令g(x)=x3cos x,∴g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x=-g(x),∴g(x)为奇函数.
又f(x)=g(x)+1,∴f(a)=g(a)+1=11,g(a)=10,
∴f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9.
7.B　函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以T=2×,
由,解得ω=6.
8.B　f(-)=f[×(-3)+]=f()=sin.
9.AC　由y=|cos x|的图象(图略)知,y=|cos x|是周期为π的偶函数,所以A正确;B中函数为奇函数,所以B不正确;
C中y=sin(2x+)=cos 2x是偶函数,且周期为π,所以C正确;
D中函数的周期为4π,所以D不正确.
10.ABD　因为函数的图象关于y轴对称,所以该函数是偶函数.所以φ=+kπ,k∈Z.
11.①④　当φ=0时,f(x)=sin x是奇函数.
当φ=时,f(x)=cos x是偶函数.
12.　∵f(x)=sinx的周期T==6,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=337[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 023)+f(2 024)
=337(sin+sin+sin+sin+sin+sin)+f(337×6+1)+f(337×6+2)=337×0+f(1)+f(2)
=sin+sin.
13.B　f(x)的定义域为R,f(x)=cos(x+a)+sin(x-b),若f(x)为奇函数,
则f(0)=0,即cos a-sin b=0.
若a+b=0或a-b=π,则f(0)=0不恒成立,故A,D错误;
若a+b=,f(x)=cos(x+a)+sin(x+-a)=cos(x+a)+cos(x-a),
f(-x)=cos(-x+a)+cos(-x-a)=cos(x-a)+cos(x+a)=f(x),
故f(x)为偶函数,故B正确;
若b-a=,f(x)=cos(x+a)+sin(x++a)=2cos(x+a),
f(-x)=2cos(-x+a),f(-x)=f(x)不恒成立,故C错误.
故选B.
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