5.4.2　第2课时　单调性、值域--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
第2课时　单调性、值域
A级　必备知识基础练
1.[探究点二]令a=sin(-),b=sin(-),判断a与b的大小关系是(　　)
A.a>b B.aC.a=b D.无法判断
2.[探究点一·2024广东佛山高一期末]函数y=sin(2x+)的一个单调递增区间是(　　)
A.[-] B.[-]
C.[] D.[]
3.[探究点三(角度1)]函数y=sin x,x∈[],则y的取值范围是(　　)
A.(,1] B.[,1]
C.[] D.[,1]
4.[探究点三(角度3)]函数y=的最小值是(　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
5.[探究点一·2024重庆江津高一期末](多选题)函数y=sin(x-)(x∈R)(　　)
A.在区间[-]上单调递增
B.在区间[,π]上单调递增
C.在区间[-π,0]上单调递减
D.在区间[-π,π]上单调递减
6.[探究点三(角度2)]函数y=2-sin2x-cos x的最小值是　　　　.
7.[探究点一]y=cos(-2x+)的单调递减区间为　　　　　　　　　.
8.[探究点三(角度1)·2024陕西咸阳高三阶段练习]函数f(x)=sin(2x+)在[0,]上的值域为　　　　　.
9.[探究点一、三]已知函数f(x)=2cos(3x+).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
B级　关键能力提升练
10.[2024四川绵阳高一期末]已知a=sin,b=sin,c=sin,则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
11.已知函数f(x)=2cos(-3x),x∈[-],则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.[-,0]
B.[-]
C.[-,-],[]
D.[-],[]
12.[2024陕西咸阳高一期末]同时具有以下性质:“①最小正周期是π,②在区间[-]上单调递增”的一个函数是(　　)
A.y=sin(2x-) B.y=sin()
C.y=cos(x+) D.y=cos(2x-)
13.函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值为(　　)
A. B.1
C. D.
14.[2024江西宜春高一期末]已知函数f(x)=cos(x+),若f(x)在[0,a]上的值域是[-1,],则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,] B.[]
C.[,+∞) D.[]
15.[2024广东佛山高一期末](多选题)下列不等式成立的是(　　)
A.cos(-)C.sin>cos D.sin 216.(多选题)设函数f(x)=sin(x-),则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期T为2π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象关于点(-,0)对称
D.f(x)在(0,)上单调递增
17.函数f(x)=3cos2x-4cos x+1,x∈[],当x=　　　　　时,f(x)最小且最小值为　　　　　.
18.[2024江苏宿迁高一期末]已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈R.
(1)求函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(2)求不等式f(x)≤-的解集;
(3)若方程f(x)=m在x∈[0,]上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
C级　学科素养创新练
19.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sin α)>f(cos β).
答案：
1.B　因为函数y=sin x在(-,0)上单调递增,且-<-<-<0,
所以a=sin(-)2.A　令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),可得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
当k=0时,[-]是f(x)的一个单调递增区间,而其他选项不符合.故选A.
3.B　函数y=sin x在[]上单调递增,在[]上单调递减,
又sin,sin=1,sin,故y∈[,1].故选B.
4.B　由y==2-,当sin x=-1时,y=取得最小值-2.故选B.
5.BC　y=sin(x-)=-sin(-x)=-cos x.
y=cos x在[-,0]上单调递增,在[0,]上单调递减,则y=sin(x-)在[-]上无单调性,故A错误;
y=cos x在[,π]上单调递减,则y=sin(x-)在[,π]上单调递增,故B正确;
y=cos x在[-π,0]上单调递增,则y=sin(x-)在[-π,0]上单调递减,故C正确;
y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,则y=sin(x-)在[-π,π]上无单调性,故D错误.故选BC.
6.　函数y=cos2x-cos x+1=(cos x-)2+,-1≤cos x≤1,当cos x=时,函数取得最小值.
7.[kπ+,kπ+](k∈Z)　因为y=cos(-2x+)=cos(2x-),所以由2kπ≤2x-≤π+2kπ,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即所求单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
8.[-,1]　由x∈[0,],可得2x+∈[],则f(x)=sin(2x+)∈[-,1].
9.解 (1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),得≤x≤(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[](k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z),即x=(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
10.D　a=sin(π-)=sin,b=sin(π-)=sin,
∵y=sin x在(0,)上单调递增,∴sin>sin>sin,即b>c>a.故选D.
11.D　f(x)=2cos(-3x)可化为f(x)=2cos(3x-),
由2kπ-π≤3x-≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
令k=-1,则-≤x≤-;
令k=0,则-≤x≤;
令k=1,则≤x≤.因为x∈[-],所以f(x)的单调递增区间是[-],[].故选D.
12.A　对于A,y=sin(2x-)的周期T==π,
当-≤x≤时,-≤2x-,所以函数在区间[-]上单调递增,符合题意;
对于B,y=sin()的周期T==4π,不符合题意;
对于C,y=cos(x+)的周期T==4π,不符合题意;
对于D,y=cos(2x-)的周期T==π,当-≤x≤时,-≤2x-,
所以函数在区间[-]上先增后减,不符合题意.故选A.
13.A　因为(x+)+(-x)=,
所以f(x)=sin(x+)+cos(x-)=sin(x+)+cos(-x)=sin(x+)+sin(x+)=sin(x+)≤.
所以f(x)max=.故选A.
14.B　由题意可得f(x)=cos(x+),令t=x+,则y=cos t的图象如图所示.
∵f(x)的值域是[-1,],0≤x≤a,
∴≤x+≤a+,即≤t≤a+.
∴由图可知π≤a+,解得≤a≤,
∴实数a的取值范围为[].故选B.
15.BC　对于A,-<-<-<0,而余弦函数y=cos x在(-,0)上单调递增,则cos(-)>cos(-),故A错误;
对于B,sin=sin=cos,余弦函数y=cos x在(0,)上单调递减,则有cos对于C,cos=cos()=-sin=sin(-)=sin(π-)=sin,
正弦函数y=sin x在()上单调递减,因此sin>sin=cos,故C正确;
对于D,由2∈(,π),得sin 2>0>cos 2,故D错误.
故选BC.
16.AD　对于A,ω=1,T=2π,故A正确;
对于B,由x-=kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,
当k=0时,x=,当k=-1时,x=-,故B错误;
对于C,由x-=kπ,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,当k=0时,x=,当k=-1时,x=-,故C错误;
对于D,由-所以函数在(-)内单调递增,所以函数在(0,)内单调递增,故D正确.
故选AD.
17.　-　令t=cos x,x∈[],y=f(x),
∴t∈[-],y=3t2-4t+1=3(t-)2-.
∵y=3(t-)2-在t∈[-]上单调递减,
∴当t=,即x=时,ymin=3×2-4×+1=-.
18.解 (1)由x∈[0,π],得2x-∈[-],易知函数y=2x-是增函数,
令-≤2x-≤2x-,解得0≤x≤≤x≤π,
所以函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,]和[,π].
(2)由f(x)≤-,即2sin(2x-)≤-,所以sin(2x-)≤-,
所以+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以不等式的解集为.
(3)由x∈[0,],得2x-∈[-],
令-≤2x-,解得0≤x≤,
令≤2x-,解得≤x≤,
所以f(x)在[0,]上单调递增,在[]上单调递减.
f(0)=2sin(-)=-,f()=2sin(2×)=2,
f()=2sin(2×)=.
因为方程f(x)=m在x∈[0,]上有两个不同的实数解,所以y=f(x)与y=m的图象在x∈[0,]上有两个不同的交点,所以≤m<2,即实数m的取值范围为[,2).
19.证明 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
因为α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>,即>α>-β>0.
因为y=sin x在上单调递增,所以1>sin α>sin=cos β>0,所以f(sin α)>f(cos β).
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