5.4.3　正切函数的性质与图象--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
5.4.3　正切函数的性质与图象
A级　必备知识基础练
1.[探究点三·2024山西晋中高三阶段练习]函数f(x)=tan的最小正周期是(　　)
A.2π B.4π
C.2 D.4
2.[探究点四](多选题)与函数y=tan的图象不相交的一条直线方程是(　　)
A.x= B.x=-
C.x= D.x=-
3.[探究点三]函数y=(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
4.[探究点四]函数y=2tan的对称中心是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
5.[探究点四·2024江西南昌高一期末](多选题)已知函数f(x)=tan(x+),则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的定义域为
C.若f(θ)=1,则θ=kπ(k∈Z)
D.f(x)在R上是增函数
6.[探究点二(角度1)]函数y=tan(3x+)的单调递增区间是　　　　　　　　　　.
7.[探究点二(角度2)]比较下列各组中三角函数值的大小:
(1)tan(-)与tan(-);
(2)tan 1 519°与tan 1 493°.
8.[探究点一·2024四川南充高一阶段练习]设函数f(x)=tan(),
求:(1)函数f(x)的定义域、最小正周期;
(2)不等式-1≤f(x)≤的解集.
B级　关键能力提升练
9.下列图形是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-)内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
10.方程tan(2x+)=在[0,2π)上的解的个数是(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
11.[2024辽宁大连高一期末](多选题)已知函数f(x)=tan 2x,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)是奇函数
B.函数f(x)的最小正周期是π
C.函数f(x)在(-)上单调递增
D.函数f(x)图象的对称中心是(,0)(k∈Z)
12.(多选题)下列关于函数f(x)=tan(2x+)的相关结论,正确的有(　　)
A.f(x)的定义域是
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)的单调递增区间是()(k∈Z)
D.f(x)的对称中心是(,0)(k∈Z)
13.(多选题)对于函数f(x)=asin x+btan x+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的结果可能是(　　)
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
14.[2024北京高一期末]函数y=-tan2x+4tan x-1,x∈[-]的值域为　　　　　.
15.已知函数y=tan ωx在区间上单调递减,则ω的取值范围为　　　　　　.
16.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:
①对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
②f(x)的图象关于对称;
③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.
其中不正确的说法的序号是　　　　　.
17.画出函数y=|tan x|的图象.
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性;
(2)求不等式|tan x|≤1的解集.
C级　学科素养创新练
18.关于函数y=f(x),其中f(x)=tan|x|+|tan x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数;②f(x)在区间(0,)上单调递增;③f(x)在[-π,π]上有3个零点;④f(x)的最小正周期为π.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①② B.②④
C.①④ D.①③
19.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,x∈[-1,],其中θ∈(-).
(1)当θ=-时,求函数的最大值和最小值;
(2)若y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数,求θ的取值范围.
答案：
1.C　f(x)的最小正周期为=2.故选C.
2.AD　令2x-+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,
∴直线x=,k∈Z与函数y=tan的图象不相交,
∴当k=-1时,x=-;当k=0时,x=.
3.A　函数的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},关于原点对称.
设f(x)=,
则f(-x)==-f(x).
所以y=f(x)是奇函数.故选A.
4.C　由x-,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,
∴函数的对称中心是,k∈Z.
5.ABC　f(x)=tan(x+),函数f(x)的最小正周期为T==π,故A正确;
由x++kπ,k∈Z,得x≠+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的定义域为,故B正确;
f(θ)=tan(θ+)=1,得θ++kπ,k∈Z,解得θ=kπ,k∈Z,故C正确;
易知函数f(x)在R上不单调递增,故D错误.故选ABC.
6.(),k∈Z　令-+kπ<3x++kπ,k∈Z,则所以函数y=tan(3x+)的单调递增区间是(),k∈Z.
7.解(1)函数y=tan x在(-)上单调递增,而-<-<-,所以tan(-)>tan(-).
(2)依题意,tan 1 519°=tan 79°,tan 1 493°=tan 53°,而90°>79°>53°>-90°,
则tan 79°>tan 53°,所以tan 1 519°>tan 1 493°.
8.解(1)函数f(x)=tan()的定义域满足函数+kπ,k∈Z,所以x≠+2kπ,k∈Z,
所以函数的定义域为,最小正周期T==2π.
(2)由不等式-1≤f(x)≤,则-+kπ≤+kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以不等式的解集为.
9.D
10.B　由题意知,2x++kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z.
又x∈[0,2π),所以x=0,,π,,共4个.故选B.
11.ACD　对于A,f(x)=tan 2x的定义域为(-)(k∈Z),定义域关于原点对称,因为f(-x)=tan(-2x)=-tan 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以A正确;
对于B,f(x)的最小正周期为T=,所以B错误;
对于C,由x∈(-),得2x∈(-),因为y=tan x在(-)上单调递增,
所以f(x)在(-)上单调递增,所以C正确;
对于D,由2x=,k∈Z,得x=,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心是(,0)(k∈Z),
所以D正确.故选ACD.
12.AC　令2x++kπ(k∈Z),解得x≠(k∈Z),
则函数f(x)的定义域是{x|x≠,k∈Z},A选项正确;
函数f(x)的最小正周期为,B选项错误;
令kπ-<2x+则函数f(x)的单调递增区间是()(k∈Z),C选项正确;
令2x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),
则函数y=f(x)的图象的对称中心为(,0)(k∈Z),D选项错误.
13.ABC　设g(x)=asin x+btan x,显然g(x)为奇函数.
∵f(1)=g(1)+c,f(-1)=g(-1)+c,
∴f(1)+f(-1)=2c.
∵c∈Z,∴f(1)+f(-1)为偶数.故选ABC.
14.[-6,2]　令t=tan x,则y=-t2+4t-1,因为函数t=tan x在[-]上单调递增,
当x∈[-]时,-1≤tan x≤1,即-1≤t≤1,又因为函数y=-t2+4t-1在[-1,1]上单调递增,
当t∈[-1,1]时,y=-t2+4t-1∈[-6,2],所以函数y=-tan2x+4tan x-1,x∈[-]的值域为[-6,2].
15.[-1,0)　由题意可知ω<0,
又,故-1≤ω<0.
16.①　①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;
令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确;④显然正确.
17.解 (1)函数y=|tan x|化为y=k∈Z,画出图象如下.
观察图象知,函数y=|tan x|的定义域为,值域为[0,+∞).
函数y=|tan x|的单调递减区间是(-+kπ,kπ](k∈Z),单调递增区间为[kπ,+kπ)(k∈Z),函数y=|tan x|是偶函数,周期是π.
(2)由|tan x|≤1,得-1≤tan x≤1,而函数y=tan x在(-)上单调递增,
且是周期为π的周期函数,于是-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以不等式|tan x|≤1的解集是.
18.A　f(x)=tan|x|+|tan x|的定义域为,
f(-x)=tan|-x|+|tan(-x)|=tan|x|+|tan x|=f(x),所以f(x)是偶函数,故①正确;
当0当f(-)=tan+tan=2,f(-+π)=f()=tan=-1+1=0,
所以π不是f(x)的最小正周期,故④错误.故选A.
19.解(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=(x-)2-.
∵x∈[-1,],∴当x=时,f(x)取得最小值-,
当x=-1时,f(x)取得最大值.
(2)f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2θ是关于x的二次函数,它的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≤-1或-tan θ≥,即tan θ≥1或tan θ≤-.
又θ∈(-),
∴θ的取值范围是(-,-]∪[).
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