5.5.1　第1课时　两角差的余弦公式--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=(　　)
A. B. C.- D.-
2.[探究点一]计算的值是(　　)
A. B.- C. D.-
3.[探究点二]已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
4.[探究点三]若sin(-α)=-,sin(+β)=,其中<α<<β<,则角α+β的值为(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点一]sin 16°cos 14°+sin 74°sin 14°=　　　　　.
6.[探究点二]已知sin(α+)=-,α∈(),则cos α=　　　　　.
7.[探究点二·2024江西高一期末]已知α,β为锐角,sin α=,cos(π-β)=-,求cos(α-β)的值.
B级　关键能力提升练
8.已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=(　　)
A. B. C. D.
9. [北师大版教材习题]在sin x+cos x=2a-3中,实数a的取值范围是(　　)
A.≤a≤ B.a≤
C.a> D.-≤a≤-
10.[2024新高考Ⅰ,4]已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A.-3m B.-
C. D.3m
11.如图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为(　　)
A. B. C. D.0
12.(多选题)下列满足sin αsin β=-cos αcos β的有(　　)
A.α=β=90° B.α=-18°,β=72°
C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°
13.(多选题)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的可能的值是(　　)
A.- B.- C. D.
14.(多选题)已知α,β,γ∈(0,),sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　)
A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=-
C.β-α= D.β-α=-
15.化简=　　　　　.
16.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则sin=　　　 　　,
cos=.
17.已知α,β为锐角且.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若cos α=,求cos β的值.
C级　学科素养创新练
18.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为.求cos(α-β)的值.
答案：
1.B　由两角差的余弦公式可得cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°
=cos(45°-15°)=cos 30°=,故选B.
2.C　.
3.A　∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,
∴sin α=,sin(α+β)=,
∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
故选A.
4.B　因为<α<,所以--α<0.
因为<β<,所以+β<.
由已知可得cos(-α)=,cos(+β)=-,
则cos(α+β)=cos[(+β)-(-α)]
=cos(+β)cos(-α)+sin(+β)sin(-α)
=(-)××(-)=-.
因为<α+β<π,所以α+β=.
5.　原式=cos 74°cos 14°+sin 74°sin 14°=cos(74°-14°)=cos 60°=.
6.　∵α∈(),∴α+∈(,2π),
∴cos(α+)=,
∴cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos+sin(α+)sin+(-)×.
7.解 因为sin α=,α为锐角,所以cos α=.
因为cos(π-β)=-cos β=-,
β为锐角,所以cos β=,sin β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
8.C　cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β),
由已知cos α=,cos(α-β)=,0<β<α<,
可知sin α=,sin(α-β)=,代入上式得cos β=,所以β=.
9.A　sin x+cos x=2(cos x+sin x)=2cos(x-),
因为-1≤cos(x-)≤1,所以-2≤2a-3≤2,所以≤a≤.
10.A　∵tan αtan β=2,
∴sin αsin β=2cos αcos β.
∵cos(α+β)=m,即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,
∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
11.A　设大正方形的边长为1,因为小正方形与大正方形面积之比为4∶9,
所以小正方形的边长为,可得cos α-sin α=, ①
sin β-cos β=, ②
由图可得cos α=sin β,sin α=cos β,
①×②可得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),
解得cos(α-β)=.
12.BC　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.
13.AC　对比公式特征知,cos φ=,sin φ=-,故φ=-+2kπ,k∈Z.
14.AC　由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.
两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1,
∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,故A正确,B错误;
∵α,β,γ∈(0,),∴sin γ=sin β-sin α>0,
∴β>α,∴β-α=,故C正确,D错误.
15.　原式==.
16.　因为0<α<,
所以+α<,
又cos,所以sin,
因为-<β<0,所以,
又cos,所以sin.
于是cos=cos
=coscos+sinsin
=.
17.解(1)∵,
∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)=,∴cos(α-β)=.
(2)∵cos α=,cos(α-β)=,α,β为锐角,
∴sin α=,sin(α-β)=±.
当sin(α-β)=时,cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=;
当sin(α-β)=-时,cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=0.
∵β为锐角,∴cos β=.
18.解依题意,得cos α=,cos β=.
因为α,β为锐角,所以sin α=,sin β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
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