5.5.2　简单的三角恒等变换--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
5.5.2　简单的三角恒等变换
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]已知cos α=,α∈(,2π),则sin等于(　　)
A. B.-
C. D.
2.[探究点一·2024甘肃武威高一期末]已知sin α=,cos α=,则tan等于(　　)
A.2- B.2+
C.-2 D.±(-2)
3.[探究点二]2cos(2x+)sin(2x-)=(　　)
A.+cos 4x B.-sin 4x
C.+cos 4x D.-+sin 4x
4.[探究点二]若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan的值为(　　)
A.2 B.
C.-2 D.-
5.[探究点三·2024四川资阳高二阶段练习]函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B.
C.π D.2π
6.[探究点二·苏教版教材习题改编]的值是　　　　　.
7.[探究点一]已知180°<α<270°,且sin(α+270°)=,则sin=　　　　,tan=　　　　.
8.[探究点二]若coscos,则sin4θ+cos4θ=　　　　　.
B级　关键能力提升练
9.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=(　　)
A. B.-
C.1 D.
10.若3πA.cos() B.-cos()
C.sin() D.-sin()
11.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a为实常数)在区间上的最小值为-4,那么a的值等于(　　)
A.4 B.-6 C.-4 D.-3
12.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于,则它的底角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
13.若cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=　　　　　,sin-cos=　　　　　.
C级　学科素养创新练
14.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.
答案：
1.A　∵α∈(,2π),∴∈(,π),sin.故选A.
2.C　∵sin α=,cos α=,∴tan-2.
3.D　2cos(2x+)sin(2x-)=sin[(2x+)+(2x-)]-sin[(2x+)-(2x-)]=sin 4x-sin=sin 4x-.故选D.
4.A　由sin α+sin β=sin()+sin()=2sincos,
cos α+cos β=cos()+cos()=2coscos,
两式相除得tan=2.故选A.
5.C　由二倍角公式和辅助角公式化简f(x)=sin xcos x+cos 2x,
可得f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+φ),其中tan φ=2,
由三角函数的周期公式可得最小正周期T==π.故选C.
6.-　原式==-=-.
7.　-3　∵sin(α+270°)=-cos α=,
∴cos α=-.
又180°<α<270°,∴90°<<135°,
∴sin,tan=-=-=-3.
8.　coscos
=cos·sin
=sin
=cos 2θ=,
∴cos 2θ=.
∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=1-(1-cos22θ)=1-.
9.D　∵f(x)=cos x=cos x+sin x=2sin,
∴f=2sin=2sin.
10.C　因为3π所以<2π,sin<0,cos>0.
于是=|cos|+|sin|=cos-sincossin)=sin().
11.C　f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a=2sin+a+1.
当x∈时,2x+,sin(2x+)∈[-,1],∴f(x)min=2·+a+1=-4,∴a=-4.
12.B　设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cos α=,则sin>0.
又β=,即cos β=cos=sin.
13.　因为θ∈(π,2π),所以,
所以sin,
cos=-=-,
所以sin+cos,sin-cos.
14.证明 由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①
cos A+cos B=-cos C. ②
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-,
∴cos2A+cos2B+cos2C=cos2A+cos2B+(cos A+cos B)2=2cos2A+2cos2B+2cos Acos B
=1+cos 2A+1+cos 2B+2cos Acos B
=2+cos[(A+B)+(A-B)]+cos[(A+B)-(A-B)]+cos(A+B)+cos(A-B)
=2+cos(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)+cos(A-B),代入cos(A-B)=-得原式成立.
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