5.7　三角函数的应用--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
5.7　三角函数的应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点二·2024浙江宁波高一期末]据长期观察,某学校周边6时到18时之间的车流量y(单位:辆)与时间t时满足如下函数关系式:y=Asin(t-)+300(A为常数,6≤t≤18).已知早上8:30(即t=8.5)时的车流量为500辆,则下午15:30(即t=15.5)时的车流量约为(　　)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
A.441辆 B.159辆
C.473辆 D.127辆
2.[探究点二]如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　)
A.5 B.6
C.8 D.10
3.[探究点一]在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式可以为(　　)
A.x=sin(t-) B.x=3sin t
C.x=sin(3t+) D.x=3sin(t+)
4.[探究点一·2024重庆沙坪坝高一期末]如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为l cm,沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3cos(t+),t∈[0,+∞),g取10 m/s2,如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5 s,则线长约为(　　)(π≈3.14,结果精确到0.1 cm)
A.12.7 cm B.25.4 cm
C.101.3 cm D.50.7 cm
5.[探究点二·2024江西萍乡高一期中]时钟花原产于南美洲热带,我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律,其开花时间与气温密切相关,开花时所需气温约为20 ℃,气温上升到约30 ℃开始闭合,在花期内,时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花,该景区6时~16时的气温y(单位:℃)随时间x(单位:时)的变化趋势近似满足函数y=10sin(x-)+25,则在6时~16时中,赏花的最佳时段大致为(　　)
A.7.3时~11.3时 B.8.7时~11.3时
C.7.3时~12.7时 D.8.7时~12.7时
6.[探究点二]如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),则在6≤t≤14时这段曲线的函数解析式是　　　　　　　　　　　.(不要求写定义域)
B级　关键能力提升练
7.[2024广东高一期末]如图,一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点,沿逆时针方向运动,每3 s转一圈.则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是(　　)
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
8.[2024湖北武汉高二开学考试](多选题)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑,如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮,如图所示,某摩天轮最高点离地面高度55米,转盘直径为50米,设置若干个座舱,游客从离地面最近的位置进舱,开启后按逆时针方向匀速旋转t min,当t=10时,游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中,正确的为(　　)
A.摩天轮离地面最近的距离为5米
B.若旋转t min后,游客距离地面的高度为h米,则h=-25cos(t)+30
C.存在t1,t2∈[0,15],使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米
D.若在t1,t2时刻游客距离地面的高度相等,则t1+t2的最小值为20
9.唐代李皋发明了“桨轮船”,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导.如图,某桨轮船的轮子的半径为3 m,它以1 rad/s的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P,点P到船底的距离是H(单位:m),轮子旋转时间为t(单位:s).当t=0时,点P在轮子的最高点处.
(1)当点P第一次入水时,t=　　　　　s;
(2)当t= s时,H=　　　　　m.
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(1,-)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒,经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),当t=5时,|PA|=　　　　　　.
C级　学科素养创新练
11.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物
答案：
1.A　由题意可得500=Asin(×8.5-)+300,可得200=Asin,解得A=200,
所以y=200sin(t-)+300,当t=15.5时,y=200sin(×15.5-)+300
=200sin+300=100+300≈100×1.41+300=441(辆).故选A.
2.C　由题意可知当sin(x+φ)取最小值-1时,
函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,
∴y=3sin(x+φ)+5,当sin(x+φ)取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.
3.D　设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,
故φ=+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,x=3sin(t+).故选D.
4.B　因为线长为l cm,沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3cos(t+),t∈[0,+∞),且g取10 m/s2=1 000 cm/s2,又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5 s,所以函数s(t)的最小正周期为T=1,即=1,解得l=≈25.4,即线长约为25.4 cm.故选B.
5.B　当x∈[6,16]时,x-∈[-],
由y=10sin(x-)+25=20,得sin(x-)=-,
所以x-=-,x=≈8.7(时).
由y=10sin(x-)+25=30,得sin(x-)=,所以x-,x=≈11.3(时).
故在6时~16时中,观花的最佳时段约为8.7时~11.3时.故选B.
6.y=10sin(t+)+20　由图可知,A=×(30-10)=10,T=2×(14-6)=16,b=20,
∴ω=.
∵点(10,20)在函数的图象上,且在该点附近图象呈上升趋势,
∴10sin(×10+φ)+20=20,即sin(+φ)=0,
则+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-,k∈Z.
∵|φ|<π,则φ=.
则这段曲线的函数解析式是y=10sin(t+)+20.
7.A　设点P的纵坐标为f(t)=Asin(ωt+φ),A>0,ω>0,
由题意可得T==3,得ω=.
因为起始点P在第四象限,所以φ=-.
由图可知A=2,所以f(t)=2sin(t-),
所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是y=.故选A.
8.ABD　对于A,由题意知,摩天轮离地面最近的距离为55-50=5(米),故A正确;
对于B,设h=Asin(ωt+φ)+b,当t=0时,游客从离地面最近的位置进舱,当t=10时,游客随舱旋转至距离地面最远处,所以T=20=,ω=,b==30,A==25,又当t=0时,h=5,所以φ=-,所以h=-25cos(t)+30,故B正确;
对于C,因为t1,t2∈[0,15],又高度相等,函数h=-25cos(t)+30的图象的对称轴方程为t=10,则t1,t2关于t=10对称,则=10,则t1+t2=20;
令0≤t≤π,解得0≤t≤10,令π≤t≤2π,解得10≤t≤20,则h在t∈[0,10]上单调递增,在t∈[10,15]上单调递减,当t=10时,hmax=55,
当t=0时,h=5;当t=15时,h=-25cos()+30=30>20,所以h=20在t∈[0,15]只有一个解,故C错误;
对于D,h=-25cos(t)+30周期T=20,由余弦型函数的性质可知,令t=kπ,则t=10k,k∈N*,函数关于t=10k对称,若在t1,t2时刻游客距离地面的高度相等,则当k=1时,的最小值为10,t1+t2的最小值为20,故D正确.故选ABD.
9.(1)　(2)4-　(1)如图所示,当P第一次入水时到达A点,由几何关系知|OB|=又圆的半径为3,故∠AOB=,此时轮子旋转的圆心角为π-,故t=.
(2)由题可知H(t)=4+3cos θ,其中θ=ωt=t,即H(t)=4+3cos t,当t=时,
H()=4+3cos=4+3×cos=4-3×=4-.
10.2　根据点A的坐标(1,-)可得圆周的半径R==2,又旋转一周用时6秒,
∵最小正周期T=6,从而得ω=,∴f(t)=2sin(t+φ),又当t=0时,y=-,
∴f(0)=2sin(×0+φ)=-,且|φ|<,∴φ=-,
∴f(t)=2sin(t-),当t=5时,f(5)=2sin(π+)=-2sin=-,则|PA|=2=2.
11.解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,=12,
故ω=,且解得
根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,故sin(2×+φ)=-1,且sin(8×+φ)=1.又0<|φ|<π,故φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin(x-)+300(1≤x≤12,x∈N*).
(2)由条件可知,200sin(x-)+300≥400,化简得sin(x-)≥,
所以2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10这五个月份要准备不少于400份的食物.
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