6.2.4　第1课时　向量数量积的概念--2025人教A版数学必修第二册同步练习题

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2025人教A版数学必修第二册
6.2.4　向量的数量积
第1课时　向量数量积的概念
A级必备知识基础练
1.[探究点一]若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b=(　　)
A. B. C.1 D.2
2.[探究点三]已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为(　　)
A.45° B.135° C.120° D.150°
3.[探究点二]已知|b|=3,a在b方向上的投影向量是b,则a·b为(　　)
A.3 B.
C.2 D.
4.[探究点一]在△ABC中,<0,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
5.[探究点二·2024贵州贵阳高一段考]已知|a|=2,e为单位向量,向量a与向量e的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量为(　　)
A.e B.-e
C. D.-
6.[探究点三]设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于(　　)
A.150° B.120°
C.60° D.30°
7.[探究点一]已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值是　　　　.
8.[探究点二·2024广东惠州高一期末]已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则a在b方向上的投影向量是　　　　　.
9.[探究点一]已知|a|=2,b2=3,在下列情况下分别求a·b.
(1)a∥b;
(2)a⊥b;
(3)a与b的夹角为150°.
B级关键能力提升练
10.(多选题)给出下列判断,其中正确的是(　　)
A.若a2+b2=0,则a=b=0
B.已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|
C.a,b共线 a·b=|a||b|
D.|a||b|11.[2024浙江宁波高一月考]已知|a|=2|b|,且满足=,则a在b上的投影向量为(　　)
A.b B.-b C.3b D.-3b
12.如图所示,一个大小为5 N,与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上,小车沿水平方向向右运动.运动过程中,小车受到的阻力大小为3 N,方向水平向左.小车向右运动的距离为2 m的过程中,小车受到的各个力都没有发生变化.求在此过程中:拉力F对小车做的功(取cos 37°≈0.8)为　　　　,小车克服阻力做的功为　　　　.
13.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为　　　　　.
14.已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·(e1-e2)=0,且b·e1=1,则|b|=　　　　.
15.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为-e1,则a与b的夹角θ=　　　　　.
16.如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1);(2).
C级学科素养创新练
17.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　　)
A. B.
C. D.
18.[2024内蒙古呼和浩特高一检测]如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.如图,若正方形ABCD的面积是25,正方形EFGH的面积是1,求的值.
6.2.4　向量的数量积
第1课时　向量数量积的概念
1.C　a·b=|a||b|cos 60°=2×1=1.
2.B　cos θ==-.
又因为0≤θ≤π,所以θ=,即θ=135°.
3.B　a·b=b·b=9=.
4.C　因为=||||cos A<0,
所以cos A<0.所以角A是钝角.
所以△ABC是钝角三角形.
5.B　向量a在向量e上的投影向量为|a|cose=-e.故选B.
6.B　如图所示,设=a,=b,因为|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以以线段OA,OC为邻边作平行四边形OABC,可得△OAB是等边三角形,所以=120°.
7.-25　因为||2=||2+||2,
所以B=90°,所以=0.
因为cos C=,cos A=,所以=||·||cos(180°-C)=4×5×-=-16.
=||·||cos(180°-A)=5×3×-=-9.
所以=-25.
8.-b　设a与b的夹角是θ,与b方向相同的单位向量为e,则e=,则a在b方向上的投影向量为|a|cos θe=b=-b.
9.解因为|a|=2,b2=3,所以|b|=.
(1)当a∥b时,a·b=|a||b|cos 0°=21=2,或a·b=|a||b|cos 180°=2(-1)=-2.
(2)当a⊥b时,a·b=|a||b|cos 90°=20=0.
(3)当a与b的夹角为150°时,a·b=|a||b|cos 150°=2-=-3.
10.AB　由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,则a=b=0,故A正确;
若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故B正确;
a,b共线 a·b=±|a||b|,所以C不正确;
对于D应有|a||b|≥a·b,所以D不正确.故选AB.
11.D　因为|a|=2|b|,=,所以a在b上的投影向量为|a|cos·cos·b=2cos·b=-3b.故选D.
12.8 J　6 J　拉力F对小车做的功W1≈5×2×0.8=8(J),小车克服阻力做的功为W2=3×2=6(J).
13.
1　如图所示,设的夹角是θ,根据平面向量的数量积的定义可得=||·||cos θ.
由图可知,||·cos θ=||,因此=||2=1.
14.　因为e1·e2=|e1|·|e2|cos=cos=,又0°≤≤180°,所以=60°.
因为b·(e1-e2)=0,且|e1|=|e2|,所以b与e1,e2的夹角相等,又b·e1=1>0,所以b与e1的夹角为0°或为锐角,显然b与e1的夹角不是0°,所以b与e1的夹角是30°,所以b·e1=|b||e1|cos 30°=1,从而|b|=.
15.120°　由题意,得解得
∴cos θ==-.
∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
16.解(1)因为,且方向相同,
所以的夹角是0°,
所以=||||·cos 0°=3×3×1=9.
(2)因为的夹角为60°,所以的夹角为120°,所以=||||·cos 120°=4×3×-=-6.
17.A　由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A.
18.解因为正方形ABCD的面积是25,正方形EFGH的面积是1,所以AD=5,EH=1.
设DE=AH=x,则AE=AH+EH=x+1.
在Rt△AED中,AD2=DE2+AE2,即25=x2+(x+1)2,解得x=3或x=-4(舍去),所以cos∠DAE=.
易知在正方形ABCD中,,∠BCF=∠DAE,FC=DE=3,所以=||·||·cos∠BCF=5×3=12.
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