6.3.1　平面向量基本定理　6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示--2025人教A版数学必修第二册同步练习（含解析）题

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版数学必修第二册
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
A级必备知识基础练
1.[探究点一]设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　)
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
2.[探究点二(角度1)]如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则= (　　)
A. B.
C. D.
3.[探究点二(角度1)]如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
4.[探究点二(角度2)·2024广东广州高一月考]如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=4,则(　　)
A.x=,y= B.x=,y=
C.x=,y= D.x=,y=
5.(多选题)[探究点三]已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是(　　)
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O
D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
6.[探究点一]已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　.
7.[探究点二(角度2)]已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若=3+x,则x=　　　　.
8.[探究点二(角度1)]在长方形ABCD中,点E为CD的中点,设=a,=b,若=λa+μb,则λ+μ=　　　　　.
9.[探究点一]设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底,表示向量c=3e1-e2.
10.[探究点二(角度2)·2024吉林长春高一月考]在△ABC中,∠BAC=120°,AB=,AC=1,D是边BC上一点,CD=2BD,设=a,=b.
(1)试用a,b表示;
(2)求的值.
B级关键能力提升练
11.在△ABC中,AB=4,AC=2,点M是边BC的中点,则的值为(　　)
A.-6 B.6 C.-8 D.8
12.如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点,若=m,则实数m的值为(　　)
A. B. C.2 D.
13.[2024陕西商洛高一段考]如图,在△ABC中,,若=λ+μ,则=(　　)
A.8 B.4 C.2 D.
14.已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a=,其中O为原点,则x=　　　　　,y=　　　　　.
15.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=||,求点P的坐标.
16.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求的值.
C级学科素养创新练
17.[2024陕西西安高一检测]在△ABC中,点D满足=2,点E满足,若=x+y,则x+y=(　　)
A.- B.- C.- D.-
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
1.D　因为向量e1与e2不共线,
所以解得
2.D　)=.
3.B　如图所示,利用平行四边形法则,将分解到上,有,则=m=n,很明显方向相同,则m>0;
方向相反,则n<0.
4.C　由=4,可得,
所以)=,所以x=,y=.故选C.
5.BCD　由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.
6.6　由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,所以故xy=3λ·=6.
7.-2　∵点P在直线AB上,且=3+x,
∴3+x=1,∴x=-2.
8.　∵在长方形ABCD中,点E为CD的中点,
,而=a,=b,
=b+a.∴λ+μ=.
9.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得
所以λ不存在,故a,b不共线,
即{a,b}可以作为一个基底.
(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
所以解得故c=2a+b.
10.解(1)∵D是边BC上一点,CD=2BD,
,又=a,=b,得=b-a,
=a+(b-a)=a+b.
(2)∵|a|=||=,|b|=||=1,∠BAC=120°,
∴a·b=|a|·|b|cos∠BAC=-=a+b·(b-a)=b2+a·b-a2=-.
11.A　∵在△ABC中,点M是边BC的中点,
).
又,AB=4,AC=2,
)·()=)=(4-16)=-6.故选A.
12.A　设=λ,因为,所以,
则+λ+λ()=(1-λ),又因为=m,所以解得λ=,m=.故选A.
13.A　因为,所以),
即,又=λ+μ,所以λ=,μ=,故=8.故选A.
14.-1　-2　由题意知解得
15.解设点P的坐标为(x,y).
当P在线段AB上时,.
∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y),
解得
∴点P的坐标为(1,-1).
当P在线段AB的延长线上时,=-.
∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y),
此时无解.
综上所述,点P的坐标为(1,-1).
16.解设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=2e1+3e2,解得
,即=4∶1.
17.C　因为点E满足,所以E为AD的中点,所以,又=2,所以,
所以.
因为,又=x+y,
所以=x+y,
即++y,
所以解得所以x+y=-.故选C.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)