6.3.5　平面向量数量积的坐标表示--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
A级必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(　　)
A.-5 B.-3 C.3 D.5
2.[探究点二·2024河北唐山高一检测]已知向量a=(,1),则下列选项中与a共线的单位向量是 (　　)
A. B.-,-
C.- D.,-
3.[探究点二·2024广东河源高一期中]已知=3,且=(-2,1),则||=(　　)
A.4 B.3
C.3 D.3
4.[探究点一(角度1)·2024重庆开州高一检测]已知向量a=(2,n),b=(-1,2),c=(n,n),若a∥b,则a·(2b+c)=(　　)
A.-12 B.24
C.-24 D.12
5.[探究点一(角度2)]在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　)
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
6.[探究点三]设向量a=(,1),b=(x,-3),c=(1,-).若b⊥c,则a-b与c的夹角为(　　)
A.0° B.30° C.60° D.90°
7.[探究点二]设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=　　　　　.
8.[探究点二]设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　　.
9.[探究点二、三]设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则|b|=　　　　　,cos θ=　　　　　.
10.[探究点二、三]已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
11.[探究点三]已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.
B级关键能力提升练
12.(多选题)[2024广东广州高一期中]已知向量a=(-4,3),b=(7,1),下列说法正确的是(　　)
A.(a+b)⊥a
B.与向量a平行的单位向量仅有-
C.|a-b|=5
D.向量a在向量b上的投影向量为-b
13.已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是(　　)
A.若a∥b,则t的值为-
B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2
C.|a+b|的最小值为1
D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是(-∞,2)
14.已知菱形ABCD的对角线相交于点O,点E为AO的中点,若AB=2,∠BAD=60°,则=(　　)
A.-2 B.- C.- D.
15.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为(　　)
A.3 B.5 C.7 D.8
16.(多选题)如图,4×6的方格纸中有一个向量(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有(　　)
A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有11个
B.满足||=的格点B共有3个
C.满足=1的格点B共有4个
D.存在格点B,C,使得
17.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=　　　　　　　.
18.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“ ”为m n=(ac-bd,ad+bc).若p=(1,2),p q=(-4,-3),则q的坐标为　　　　　.
19.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c与a方向相反,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
20.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值.
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
C级学科素养创新练
21.已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.
(1)求向量a的坐标;
(2)求向量a与b的夹角.
22.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,-,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
1.B　∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B.
2.A　∵a=(,1),∴=a=,1),
∴与a共线的单位向量是±.故选A.
3.D　由=3,得=3,
又=(-2,1),所以=3=(-6,3),
故||==3.故选D.
4.A　因为a∥b,所以2×2-(-1)×n=0,解得n=-4,故a=(2,-4),c=(-4,-4),所以a·(2b+c)=(2,-4)·[2×(-1,2)+(-4,-4)]=(2,-4)·(-6,0)=-12.故选A.
5.A　如图,A(0,0),E(2,1),设F(x,2)(0≤x≤2),所以=(2,1),=(x,2),
因此=2x+2,
设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,
则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14].
6.D　根据题意,设a-b与c的夹角为θ,b=(x,-3),c=(1,-),b⊥c,则b·c=x+3=0,解得x=-3,
则b=(-3,-3),a-b=(4,4),
则(a-b)·c=(4,4)·(1,-)=4-4=0,
所以(a-b)⊥c.
因为θ∈[0°,180°],所以θ=90°.故选D.
7.　因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,
解得x=1,即a=(2,-1),则|a|=.
8.-2　(方法一)a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.
∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.
(方法二)由|a+b|2=|a|2+|b|2,
得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.
9.　1　设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)=(-1,-1),解得|b|=,cos θ==1.
10.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.
综上,|a-b|=2或2.
(2)因为a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
11.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
=(1,1),=(-3,3).
又=1×(-3)+1×3=0,
,∴AB⊥AD.
(2)解,四边形ABCD为矩形,.
设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).
又=(1,1),解得
∴点C的坐标为(0,5).
=(-2,4),=(-4,2),
∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,则cos θ=.故矩形ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
12.ACD　向量a=(-4,3),b=(7,1),对于A,a+b=(3,4),(a+b)·a=-4×3+3×4=0,则(a+b)⊥a,A正确;对于B,与向量a平行的单位向量为=±-,B错误;对于C,由a-b=(-11,2),得|a-b|==5,C正确;对于D,向量a在向量b上的投影向量b=b=-b,D正确.故选ACD.
13.D　选项A中,若a∥b,则-2×t=1×1,即t=-,选项A正确.
选项B中,若|a+b|=|a-b|,两边平方并化简,得a·b=0,即-2+t=0,即t=2,选项B正确.
选项C中,|a+b|=|(-1,1+t)|=,当t=-1时,有最小值1,选项C正确.
选项D中,若a与b的夹角为钝角,
则选项D不正确.故选D.
14.
B　如图,以点O为坐标原点,OD,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由AB=2,∠BAD=60°,得A(0,),B(-1,0),D(1,0),E0,,所以=(-1,-),=-1,,所以=1-=-.故选B.
15.B　如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则+3=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|+3|=≥5,当且仅当 x=a时,等号成立.故|+3|的最小值为5.
16.
BCD　对于A,分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有18个,故A错误;
以O为原点建立平面直角坐标系,则A(1,2),设B(m,n)(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z).
对于B,若||=,则(1-m)2+(2-n)2=10(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(0,-1),(2,-1),(-2,1),共3个,故B正确;
对于C,若=1,则m+2n=1(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(1,0),(3,-1),(-1,1),(-3,2),共4个,故C正确;
对于D,根据向量加法的平行四边形法则可知,当B,C的坐标满足B(1,0),C(0,2)或B(0,2),C(1,0)时,成立,故D正确.故选BCD.
17.　设b=(x,y).
∵|b|==1,∴x2+y2=1.
∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1,
整理得4x2-6x+2=0,即2x2-3x+1=0,解得x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.∵当b=(1,0)时,b是与x轴平行的向量,不符合题意,舍去,∴b=.
18.(-2,1)　设q=(x,y),则p q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).
q=(-2,1).
19.解(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2,
可得所以
因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
所以2×5+3a·b-2=0,
所以a·b=-,所以cos θ==-1.
又因为θ∈[0,π],所以θ=π.
20.解(1)当α=时,b=,a·b=,
∴|m|=,
∴当t=-时,|m|取得最小值.
(2)存在.假设存在满足条件的实数t.
由条件得cos,
∵a⊥b,∴a·b=0,则|a-b|=,
|a+tb|=,
(a-b)·(a+tb)=5-t,.
∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=.
∴存在t=满足条件.
21.解(1)设a=(x,y),因为|a|=,则, ①
又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,
2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),
所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0, ②
由①②解得所以a=(1,2)或a=(-2,1).
(2)设向量a与b的夹角为θ,
所以cos θ==-
或cos θ==-,
因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=.
22.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),m⊥n,
∴m·n=sin x-cos x=0,即sin x=cos x,
∴tan x==1.
(2)由题意知,|m|==1,|n|==1,m·n=sin x-cos x=sin.
而m·n=|m|·|n|cos=cos.
∴sin.又x∈,x-,
∴x-,∴x=.
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