6.4.3　第3课时　习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
第3课时　习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用
A级必备知识基础练
1.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.[探究点一]若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,b=2,且△ABC的面积为,则a=(　　)
A.3 B.4 C. D.3
3.[探究点三]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若(a+c-b)(b+c-a)=4,C=60°,则△ABC的面积是(　　)
A. B. C. D.2
4.[探究点四]已知△ABC满足AB=2AC,BC=4,则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B·cos C,且A=,b=1,则=　　　;△ABC的面积为　　　.
6.[探究点一]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=60°,bsin C=,且△ABC的面积为2,则b=　　　　　.
7. [探究点二·苏教版教材例题]如图,AM是△ABC的边BC上的中线,求证:AM=.
8.[探究点三]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A=sin 2B,且b≠c.
(1)求证:a2-b2=bc;
(2)若b+c=a,且△ABC的外接圆半径为,求△ABC的面积.
9.[探究点四·2024上海青浦高一月考]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A-sin A+2=0.
(1)求A的值;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
B级关键能力提升练
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60°,b=1,△ABC的面积为,则=(　　)
A. B. C. D.
11.[2024江苏南京高二检测]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2acos Bsin C+2bcos Asin C=c2,则△ABC外接圆的面积是(　　)
A. B. C. D.π
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5
B.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
C.△ABC是钝角三角形
D.若c=6,则S△ABC=
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为(a2+b2-c2),b=1,a=,则c=　　　　.
14.如图,若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60,则cos A=　　　　　,该圆的直径长度为　　　　　.
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=2,c=2,则B=　　　　　,△ABC的面积S△ABC=　　　　　.
16.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,ccos=sin A(acos B+bcos A).
(1)求A;
(2)若b=1,求c的取值范围.
17. 如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,∠BAD=,2AB=BD=4.
(1)求cos∠ADB;
(2)若BC=,求CD.
18.在①(b+a)(b-a)=c(b-c);②=4;③sin+2A+2cos2=1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
问题:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C=2sin B,b=2,　　　　,求△ABC的面积.
C级学科素养创新练
19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos C+cos Acos B=2sin Acos B.
(1)求cos B的值;
(2)若a+c=2,求b的取值范围.
第3课时　习题课——正弦定理和
余弦定理的综合应用
1.A　由sin C=2sin B可得c=2b,由余弦定理得cos A=,所以A=30°,故选A.
2.C　∵A=,b=2,且△ABC的面积为,
bcsin A=,即2c,解得c=.又a2=b2+c2-2bccos A=12+3-2×2-=21,∴a=.故选C.
3.C　因为(a+c-b)(b+c-a)=4,C=60°,
所以c2-(a-b)2=4,cos C=,
所以c2-b2-a2+2ab=4,b2+a2-c2=ab,
所以ab=4,S△ABC=absin C=4.故选C.
4.B　设AC=x,AB=2x,所以S△ABC=BC·ACsin C=2xsin C=2x,
又由余弦定理得cos C=,
所以S△ABC=2x=2x,
由三角形的三边关系可得解得所以当x2=,即x=时,△ABC的面积有最大值为.故选B.
5.　因为sin A=2sin B·cos C,所以a=2b·,解得b=c,
所以B=C=,
又b=1,所以c=b=1,△ABC面积为S△ABC=bcsin A=1×1.
6.2　由正弦定理可得,即csin B=bsin C,
又B=60°,则c=,解得c=2.
又S△ABC=absin C=a=2,解得a=4,
则由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=16+4-2×4×2=12,则b=2.
7.证明设∠AMB=α,则∠AMC=180°-α.
在△ABM中,由余弦定理,得AB2=AM2+BM2-2AM·BMcos α.
在△ACM中,由余弦定理,得AC2=AM2+MC2-2AM·MCcos(180°-α).
因为cos(180°-α)=-cos α,BM=MC=BC,
所以AB2+AC2=2AM2+BC2,
从而AM=.
8.(1)证明∵sin A=sin 2B,∴sin A=2sin Bcos B,
由正弦定理、余弦定理可得a=2b·,
则a2(c-b)=b(c2-b2),
又b≠c,故a2=b(c+b),即a2-b2=bc.
(2)解由得b2+bc=(b+c)2,则有由余弦定理得,cos B=,
则sin B=.因为△ABC的外接圆半径为,
所以b=2sin B==2,
则a=,c=3,所以S△ABC=acsin B=.
9.解(1)因为cos 2A-sin A+2=0,所以-2sin2A-sin A+3=0,解得sin A=或sin A=-(舍去).
又△ABC为锐角三角形,所以A=.
(2)在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即12=b2+c2-bc,所以12+bc=b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),所以bc≤12,△ABC的面积为bcsin A≤12=3,又A=,故当△ABC为等边三角形时,有最大面积为3.
10.A　由题意得△ABC的面积S=bcsin A=,∴c=4.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A=13,
.
11.D　因为2acos Bsin C+2bcos Asin C=c2,所以由正弦定理,得2sin Acos Bsin C+2sin Bcos Asin C=csin C,因为sin C≠0,且A+B+C=π,所以2sin(A+B)=2sin C=c,
设△ABC外接圆的半径是R,则=2=2R,解得R=1,
所以△ABC外接圆的面积是πR2=π.故选D.
12.B　对于A,由(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9k,a+c=10k,b+c=11k,其中k>0,
则a+b+c=15k,解得a=4k,b=5k,c=6k,
根据正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A错误;
对于B,由A可知a=4k,b=5k,c=6k,则a0,则A∈0,,
则sin A=.
cos C=>0,
则C∈0,,cos2A-sin2A=,则cos 2A=cos C,由2A,C∈(0,π),则C=2A,故B正确;
对于C,由选项B可知△ABC的最大内角C∈0,,则△ABC为锐角三角形,故C错误;
对于D,由选项A可知,a∶b∶c=4∶5∶6,又c=6,则a=4,b=5,由选项B可知,sin A=,则S△ABC=bcsin A=5×6,故D错误.故选B.
13.1　由题意知(a2+b2-c2)=absin C,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,
所以2abcos C=absin C,则tan C=1.
因为C∈(0,π),所以C=,又b=1,a=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=2+1-21=1,解得c=1.
14.0　65　由余弦定理得BD2=392+522-2×39×52cos C,BD2=252+602-2×25×60cos A,∵A+C=180°,∴cos C=-cos A,∵(392-252)-(602-522)+2×39×52cos A+2×25×60cos A=0,∴cos A=0.∵0°15.　2　由及正弦定理,得,tan B=,∵B∈(0,π),∴B=.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,又b=2,c=2,
∴a2-2a-8=0,解得a=4,或a=-2(负值舍去),
S△ABC=acsin B=4×2=2.
16.解(1)由题意,sin Csin=sin A(sin Acos B+sin Bcos A)=sin Asin C.
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,
所以sin=sin A=2sincos.
因为A∈(0,π),所以∈0,,所以sin≠0,
所以cos,即,则A=.
(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,又b=1,A=,所以a2=c2+1-c.
△ABC是锐角三角形,由C为锐角,得a2+b2-c2>0,把a2=c2+1-c代入,得2-c>0,c<2.
由B为锐角,得a2+c2-b2>0,把a2=c2+1-c代入,得2c2>c,由c>0,得c>,故c∈,2.
17.解(1)在△ABD中,由余弦定理的推论,得cos∠BAD=,即-,
解得AD=(AD=-舍去).
故cos∠ADB=.
(2)由(1)得sin∠ADB=.
因为AD⊥CD,即∠ADC=,
所以cos∠BDC=cos-∠ADB=sin∠ADB=.
根据余弦定理的推论,得cos∠BDC=,
即,
解得CD=3(CD=-舍去),故CD=3.
18.解因为sin C=2sin B,b=2,所以c=2b=4.
选①:因为(b+a)(b-a)=c(b-c),
所以b2+c2-a2=bc,所以cos A=.
又因为A∈(0,π),所以A=.
所以△ABC的面积S=bcsin A=2×4=2.
选②:若=4,则||·||cos A=4,
故cos A=.因为A∈(0,π),所以A=.
所以△ABC的面积S=bcsin A=2×4=2.
选③:若sin+2A+2cos2=1,则cos 2A+cos A=0,故2cos2A+cos A-1=0,解得cos A=(cos A=-1舍去).
因为A∈(0,π),所以A=.
所以△ABC的面积S=bcsin A=2×4=2.
19.解(1)因为cos C+cos Acos B=2sin Acos B,
所以-cos(A+B)+cos Acos B=2sin Acos B,
即sin Asin B=2sin Acos B,
因为sin A≠0,所以sin B=2cos B>0,
又因为sin 2B+cos 2B=1,解得cos B=.
(2)∵a+c=2,可得c=2-a,
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+.
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