6.4.3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
A级必备知识基础练
1.[探究点一]
如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是 (　　)
A.角A,B和边AC B.角A,B和边BC
C.边BC,AC和角C D.边BC,AC和角A
2.[探究点一]
如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(　　)
A.6(3+)m B.6(3-)m
C.6(3+2)m D.6(3-2)m
3.[探究点二]
如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究三(角度1)]如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　)
A. B.-1 C.2- D.
5.[探究点三(角度2)]
如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ等于(　　)
A. B. C. D.
6.[探究点一]一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°,则这个海岛的宽度为　　　　　 m.(精确到0.1 m)
7.[探究点三(角度2)]已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是　　　h.
8.[探究点一]某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.
B级关键能力提升练
9.(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好 km,则x的值为(　　)
A. B.2 C.2 D.3
10.[2024福建厦门高一期末]一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了4 km到达B地,然后由B地向南偏东30°方向骑行了6 km到达C地,再从C地向北偏东30°方向骑行了16 km到达D地,则A,D两地的距离为(　　)
A.4 km B.10 km
C.2 km D.26 km
11.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为　　　　m.
12.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物PD的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.
13.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.
C级学科素养创新练
14.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.
第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
1.D　根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.
2.B　由 AB=AD+BD=CD=12 CD=6(3-)m,故选B.
3.A　在△ADC中,∠DAC=β-α.
由正弦定理,得,
∴AC=,∴AB=ACsin β=.
4.B　在△ABC中,由正弦定理,得
BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1.
由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故选B.
5.B　在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20.
由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.
故cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.
6.5 856.4　海岛的宽度为≈5 856.4(m).
7.
　如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°==-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h.
8.
解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,
∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.
∵OC=3,由正弦定理,得,
则BO=.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得,则AO=.在△ABO中,由余弦定理,得AB=≈1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m.
9.AB　
如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即()2=x2+32-2x·3·cos 30°.∴x2-3x+6=0,解得x=2或x=.
10.B　如图,AB=4,BC=6,CD=16,延长AB交CD于点E,则∠CBE=60°,∠BCE=60°,
因此△CBE是正三角形,BE=CE=BC=6,∠BEC=60°,于是AE=DE=10,∠AED=120°,在△ADE中,由余弦定理得AD==
=10,
所以A,D两地的距离为10 km.故选B.
11.
10　设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30 m.
在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan 45°=,tan 30°=,
则DB=30 m,DC=10 m.
在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos 30°,即BC2=302+(10)2-2×30×10,解得BC=10 m.
12.解设建筑物的高度为h m,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h.
∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=, ①
cos∠PBC=. ②
∵∠PBA+∠PBC=180°,
∴cos∠PBA+cos∠PBC=0. ③
由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),
即建筑物的高度为30 m.
13.
解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.
由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile.
在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,
∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.
在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=.∴∠BAC=30°.
∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,
∴D位于A的正北方向.
又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向.
14.解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.
由正弦定理,得AD=.
在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,
由正弦定理,得AB=.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=
=
=.即点B,D间的距离为 km.
(方法二)如图,记AD与BC的交点为M.
因为∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°,所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,
所以M为AD的中点,所以BA=BD.
又AB=,所以BD=.
所以点B,D间的距离为 km.
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