7.1.1　数系的扩充和复数的概念--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
A级必备知识基础练
1.[探究点一]若复数z满足z=6i+2i2,则z的虚部是(　　)
A.-2i B.6i C.1 D.6
2.[探究点一]若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为(　　)
A.-1 B.2
C.1 D.-1或2
3.[探究点一]已知复数z=2a+1+(a-2)i(其中i是虚数单位,a∈R)的实部与虚部相等,则a=(　　)
A.-2 B.-3 C.2 D.3
4.[探究点三·2024广西北海高一月考]若xi-2i2=y+2yi,x,y∈R,则复数x+yi等于(　　)
A.-2+i B.4+2i C.1-2i D.1+2i
5.[探究点一]若复数z=a+bi(a,b为实数),则“a=0”是“复数z为纯虚数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选题)[探究点二]对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是(　　)
A.若b≠0,则a+bi为虚数
B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1
C.若a+bi为实数,则b=0
D.i的平方等于1
7.[探究点三]若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为　　　　　　　　.
8.[探究点二]当实数m为何值时,复数z=(m2+m-6)i+是:(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
9.[探究点三]已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R).若z1=z2,求λ的取值范围.
B级关键能力提升练
10.下列说法正确的是(　　)
A.纯虚数的平方不小于0
B.i是一个无理数
C.1+ai(a∈R)是一个虚数
D.复数a+i与b+3i(a,b∈R)不可能相等
11.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是(　　)
A.3-3i B.3+i
C.-i D.i
12.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 (　　)
A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若=0,则z1=z2=0
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
13.(多选题)已知复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为(　　)
A. B. C.π D.
14.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=　　　　　,n=　　　　　.
15.下列说法:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.
其中说法正确的序号是　　　　　.
16.已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a=　　　　.
17.(1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值;
(2)已知关于x的方程x2+kx+2+(2x+k)i=0有实数根x0,求x0以及实数k的值.
18.已知复数z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i,λ,m∈R,θ∈0,,若z1=z2,求λ的取值范围.
C级学科素养创新练
19.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z= (　　)
A.3+i B.3-i
C.-3-i D.-3+i
第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
1.D　z=6i+2i2=-2+6i,则z的虚部是6.故选D.
2.D　因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
3.B　因为复数z=2a+1+(a-2)i的实部与虚部相等,所以2a+1=a-2,解得a=-3.故选B.
4.B　由i2=-1,2+xi=y+2yi,根据复数相等的充要条件得解得故x+yi=4+2i.故选B.
5.B　根据复数的概念,当a=0且b≠0时,复数z=a+bi为纯虚数.
反之,当复数z=a+bi为纯虚数时,a=0且b≠0,
所以“a=0”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.
6.ABC　对于选项A,当b≠0时,a+bi为虚数,故选项A正确;对于选项B,若a+(b-1)i=3-2i,则解得故选项B正确;对于选项C,若a+bi为实数,则b=0,故选项C正确;对于选项D,i的平方为-1,故选项D错误.故选ABC.
7.-,-　依题意得所以
8.解(1)因为z=(m2+m-6)i+是实数,则解得m=2.
(2)因为z=(m2+m-6)i+是虚数,则解得m≠-3且m≠2.
(3)因为z=(m2+m-6)i+是纯虚数,则解得m=3或m=4.
9.解∵z1=z2,λ=4-cos θ.
又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].
10.D　纯虚数的平方,如i2=-1<0,故A错误;∈R,故i是纯虚数,故B错误;C错误;D中两个复数的虚部不相等,故两个复数不可能相等,D正确,故选D.
11.A　3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A.
12.BD　取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误; a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;取z1=i,z2=1,则=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.
13.BC　∵复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,
∴3cos α+cos 2α=-2,即2cos2α+3cos α+1=0,
解得cos α=-或cos α=-1.
∵0<α<2π,∴α=或π.故选BC.
14.2　±2　由复数相等的充要条件有解得
15.③　当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则即x=1,故②错误;两个虚数不能比较大小,故③正确.
16.-1　由M∩N={3}知,3∈M,即有(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,所以解得a=-1.
17.解(1)因为x2-y2+2xyi=2i,
所以解得
(2)由题意得+kx0+2+(2x0+k)i=0,
由复数相等的充要条件,得
解得
18.解由z1=z2,λ,m∈R,可得
整理,得λ=4sin2θ-3sin θ=4sin θ-2-.
∵θ∈0,,∴sin θ∈[0,1],∴λ∈-,1.
19.B　由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,
即n2+mn+2+(2n+2)i=0.
所以解得所以z=3-i.
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