7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
A级必备知识基础练
1.[探究点一]若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.[探究点一]复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于(　　)
A.0 B.i
C.i D.i
3.[探究点一]设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.1或-1
4.[探究点一·2024江西景德镇高一质检]已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
5.[探究点二·2024上海静安区高一月考]若向量分别对应复数z1=2-i,z2=3+i,则||=(　　)
A.5 B. C.2 D.2
6.[探究点二]在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是(　　)
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
7.[探究点一]若复数z1=3+4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于第　　　　象限.
8.[探究点三]已知z1=2-2i,且|z|=1,则|z-z1|的最大值为　　　　.
9.[探究点一]计算:
(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i);
(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
B级关键能力提升练
10.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
11.若|z|+z=3+i,则z=(　　)
A.1-i B.1+i
C.+i D.-+i
12.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作 ABCD,则||等于(　　)
A.5 B. C. D.
13.如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.
14.[2024江苏常州高一质检]已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=(　　)
A.0 B.1 C. D.
15.(多选题)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的可能取值有(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
16.复数z1=-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=　　　　　,对应的点位于第　　　　　象限.
17.复平面上有A,B,C三点,点A对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,对应的复数为3-i,则点C的坐标为　　　　.
18.已知O为坐标原点,向量分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),+z2是实数.求:
(1)实数a的值;
(2)以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积.
19.已知复数z1=+aia∈R且a≥-,若复数z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.
C级学科素养创新练
20.已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,α,β均为锐角,且|z1-z2|=.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若cos α=,求cos β的值.
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
1.C　z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.
2.C　z1+z2=2+-+2i=i.
3.A　由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i,若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1.故选A.
4.B　因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加、减运算的几何意义知,以线段OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三角形.
5.B　因为,又向量分别对应复数z1=2-i,z2=3+i,所以表示复数z2-z1=1+2i,所以||=|1+2i|=.故选B.
6.D　依题意有,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.
7.一　∵z1=3+4i,z2=-2+3i,
∴z1-z2=(3+4i)-(-2+3i)=5+i,
∴z1-z2在复平面内对应的点的坐标为(5,1),位于第一象限.
8.2+1　如图所示,因为|z|=1,所以z所对应点的轨迹可看作是半径为1,圆心为原点的圆,而z1对应复平面中的点Z1(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点Z1(2,-2)到圆上的点的最大距离,则|z-z1|的最大值为2+1.
9.解(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i.
(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i(a,b∈R).
10.C　设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
11.C　设z=x+yi(x,y∈R),
依题意有+x+yi=3+i,
因此解得故z=+i.
12.B　如图,设D(x,y),F为 ABCD的对角线的交点,则点F的坐标为2,,
所以
所以点D对应的复数为z=3+3i,所以=(3,3)-(1,0)=(2,3),
所以||=.
13.A　设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z-2i|=4,|Z1Z2|=4,所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2,如图所示,问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0,则Z3与Z0的距离即为所求的最小值,|Z0Z3|=1.故选A.
14.B　在复平面中,设z1,z2分别与向量对应,
由题意可得||=||=1,||=.
因为||2+||2=2(||2+||2),
即3+=2(1+1)=4,解得||=1,即|z1-z2|=1.故选B.
15.BC　复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的几何意义是以原点为圆心的单位圆上的点与复平面上的点(1,1)的距离,所以最大值为原点与(1,1)的距离加半径,即+1=+1,最小值为原点与(1,1)的距离减去半径,即-1=-1,所以|z-1-i|的取值范围为[-1,+1],故1,2满足题意,0,3不满足.故选BC.
16.2　三　z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)=(-m)+(m2-2m)i.
∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.
解得m=2.
∴z2=-2+4i,=-2-4i,
对应点为(-2,-4),位于第三象限.
17.(4,-2)　因为对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,又,所以对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,所以点C的坐标为(4,-2).
18.解(1)由z1=+(10-a2)i,得-(10-a2)i,则+z2=+[(a2-10)+(2a-5)]i的虚部为0,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.
又a+5≠0,∴a=3.
(2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,
则=,1,=(-1,1),
则||=,||=,
∴cos<>=,
∴sin<>=,
∴以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积S=||||sin<>=.
19.解因为z1=+ai,
所以|z1|==|a+1|.
又a≥-,所以|a+1|=a+1,所以z=+ai-(a+1)+1-i=-a+(a-1)i.
因为z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,
所以解得a>1+,
所以实数a的取值范围为(1+,+∞).
20.解(1)因为复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,
所以z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β).
所以|z1-z2|=
=.
因为|z1-z2|=,所以,解得cos(α+β)=.
(2)因为α,β均为锐角,所以0<α+β<π,
所以sin(α+β)=.
因为α为锐角,cos α=,所以sin α=.所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
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