8.1　第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征--2025人教A版数学必修第二册同步练习题

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2025人教A版数学必修第二册
8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
A级必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)]下列命题正确的是(　　)
A.棱柱的每个面都是平行四边形
B.一个棱柱至少有五个面
C.棱柱有且只有两个面互相平行
D.棱柱的侧面都是矩形
2.[探究点一]下列结论不正确的有(　　)
A.三棱柱有6个顶点
B.四棱台有8条棱
C.五棱锥有6个面
D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
3.[探究点一(角度1)]下列说法不正确的是(　　)
A.直四棱柱是长方体
B.正方体是平行六面体
C.长方体是平行六面体
D.平行六面体是四棱柱
4.[探究点一(角度2)]如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是 (　　)
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.三棱台
5.(多选题)[探究点一]关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是(　　)
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱锥的侧棱长都相等
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
6.[探究点二]在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(　　)
7.[探究点一]如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 (　　)
A.棱柱 B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定
8.[探究点一(角度1)]一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为　　　　cm.
9.[探究点一(角度2)]若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是　　　　　.
10.[探究点二]如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　　　　　 cm.
11.[探究点一(角度1)]
如图所示的是一个长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗 如果是,是几棱柱 为什么
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱 并用符号表示;如果不是,请说明理由.
12.
[探究点一(角度2)]按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).
(1)一个三棱柱和一个多面体;
(2)三个三棱锥.
B级关键能力提升练
13.(多选题)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是(　　)
A.三棱锥 B.四棱台
C.六棱锥 D.六面体
14.(多选题)用一个平面去截一个三棱柱,可以得到的几何体是(　　)
A.四棱台 B.四棱柱
C.三棱柱 D.三棱锥
15.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(　　)
16.下列说法正确的有　　　　　个.
①棱台的侧棱都相等;
②正棱锥的侧面是等边三角形;
③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
17.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点
(3)每个面的三角形面积为多少
C级学科素养创新练
18.[2024福建厦门高一月考]如图,这是一块长、宽、高分别为6 cm、4 cm、3 cm的长方体木块,如果一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面到达与A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长度为(　　)
A. cm B. cm
C.9 cm D.(3+2)cm
第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.B　对于A,棱柱的上、下底面可以是三角形或者是梯形,故A不正确;对于B,面最少的就是三棱柱,共有五个面,B正确;对于C,长方体是棱柱,但是上下、左右、前后的相对的平面都是互相平行的,C不正确;对于D,斜棱柱的侧面可以不是矩形,D错误.
2.B　三棱柱有6个顶点,四棱台有12条棱,五棱锥有6个面,正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.故选B.
3.A　对于选项A,直四棱柱的侧棱垂直底面,当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体,故A错误;对于选项B,正方体是底面为平行四边形的四棱柱,所以是平行六面体,故B正确;对于选项C,长方体是底面为平行四边形的四棱柱,所以是平行六面体,故C正确;对于选项D,平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱,故D正确.故选A.
4.B　剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
5.ACD　根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.
6.C　动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.
7.A　如图.
∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,
∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.
8.12　n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.
又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.
9.1∶4　由棱台的结构特征知,棱台上、下底面是相似多边形,面积之比为对应边之比的平方,即1∶4.
10.　由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm,故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
11.解(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面),其余各面都是矩形(作侧面),且相邻侧面的公共边互相平行,符合棱柱的定义.
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
12.解(1)在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)
(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)
13.BC　当三棱锥是正四面体时,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D有可能.故选BC.
14.BCD　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,连接BC1,AC1,则可得平面ABC1截三棱柱,得到一个三棱锥C1-ABC,所以D正确;若用一个平行于平面BCC1B1的平面去截三棱柱,如图平面DEFG,则得到一个三棱柱和一个四棱柱,所以BC正确,因为四棱台的上、下底面要平行,所以要得到四棱台,则截面要与三棱柱的上、下底面相交,而四棱台的侧棱延长后交于一点,棱柱的侧棱是相互平行的,所以用一个平面去截一个三棱柱,不可能得到一个四棱台,所以A错误,故选BCD.
15.B　将其折叠起来,变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D.故选B.
16.0　①错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;
②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;
③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.
如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.
17.解(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2,
S△DPF=S△DPE=2a×a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
图①
18.B　第一种情况:把看到的前面和上面组成一个矩形,如图①所示,
则这个矩形的长和宽分别为9 cm和4 cm,所以所走的最短路径为(cm).
第二种情况:把看到的左面与上面组成一个矩形,如图②所示,则这个矩形的长和宽分别为7 cm和6 cm,所以所走的最短路径为(cm).
图②
图③
第三种情况:把看到的前面与右面组成一个矩形,如图③所示,则这个矩形的长和宽分别为10 cm和3 cm,所以所走的最短路径为(cm).
综上可知,蚂蚁需要爬行的最短路径为 cm.故选B.
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