8.4.1　平面--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
A级必备知识基础练
1.[探究点一]下列几何元素可以确定唯一平面的是(　　)
A.三个点
B.圆心和圆上两点
C.梯形的两条边
D.一个点和一条直线
2.(多选题)[探究点一]如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
3.[探究点一]已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a α,b α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是(　　)
A.l α B.l∈α
C.l∩α=A D.l∩α=B
4.[探究点一]已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(　　)
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
5.[探究点二]平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=(　　)
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上都不对
6.(多选题)[探究点一]下列说法错误的是(　　)
A.不共面的四点中,任意三点不共线
B.三条两两相交的直线在同一平面内
C.有三个不同公共点的两个平面重合
D.依次首尾相接的四条线段不一定共面
7.[探究点一]三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定　　　　　个平面.
8.[探究点三]如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
9.[探究点一、二]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.
B级关键能力提升练
10.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(　　)
A.点M一定在直线AC上
B.点M一定在直线BD上
C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上
D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上
11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有(　　)
A.1条或2条
B.2条或3条
C.1条或3条
D.1条或2条或3条
12.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为(　　)
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
13.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.
(1)A α,a α:　　　　;
(2)α∩β=a,P α且P β:　　　　;
(3)a α,a∩α=A:　　　　;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:　　　　.
14.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的　　　　　条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填入)
15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.
16.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示,求证:P,Q,R三点共线.
C级学科素养创新练
17.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l;
(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
1.C　根据题意,依次分析选项:
对A,三个不共线的点才能确定唯一平面,A错误;
对B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,B错误;
对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,C正确;
对D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,D错误.故选C.
2.ABC　因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.
3.A　由基本事实2或画图可知,l α.
4.C　两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错误.
5.C　根
据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.
6.BC　由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.
7.三　当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;
当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.
8.
证明∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴EF∥BD,且EF=BD.
又=2,
∴GH∥BD,且GH=BD,
∴EF∥GH,且EF>GH,
∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.
设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,
∵EG 平面ABC,FH 平面ACD,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.
9.证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.
∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
10.A　由题意得EF 平面ABC,HG 平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M一定在直线AC上.
11.D　当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;
当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;
当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.
12.C　应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.
13.(1)③　(2)④　(3)①　(4)②　根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,
(1)A α,a α:对应③;
(2)α∩β=a,P α且P β:对应④;
(3)a α,a∩α=A:对应①;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.
14.必要不充分　空间中的三条直线l,m,n不过同一个点,当l,m,n共面时,l,m,n不一定两两相交,也可能两两平行,所以充分性不成立;
当三条直线l,m,n两两相交时,直线l,m,n一定共面,所以必要性成立.
故“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的必要不充分条件.
15.证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.又M∈直线CD,N∈直线AB,CD 平面ABCD,AB 平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN 平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF 平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
16.证明(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB 平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证点Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
(方法二)∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC 平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
17.
解(1)延长DM交D1A1的延长线于点E,连接NE,则直线NE即直线l.
(2)∵M为AA1的中点,AD∥ED1,
∴AD=A1E=A1D1=a.
∵A1P∥D1N,且D1N=a,
∴A1P=D1N=a,
于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.
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