8.5.3　平面与平面平行--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版数学必修第二册
8.5.3　平面与平面平行
A级必备知识基础练
1.[探究点一·2024河南郑州高一质检]设α,β为两个平面,则α∥β的充分条件是(　　)
A.α内有两条直线与β平行
B.α内有无数条直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α内有两条相交直线与β平行
2.[探究点一]若一个平面α内的两条直线a,b分别平行于另一个平面β内的两条直线c,d,则平面α与β的位置关系是(　　)
A.一定平行 B.一定相交
C.平行或相交 D.以上判断都不对
3.[探究点一·2024江西赣州高一期末]在正方体ABCD-A'B'C'D'中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是(　　)
A.截面BDC'与截面B'D'C
B.截面A'BC'与截面ACD'
C.截面B'D'D与截面BDA'
D.截面A'DC'与截面AD'C
4.[探究点二·2024江苏无锡高一质检]如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则(　　)
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
5.[探究点二]如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是底面A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面AA1C1C,则动点M的轨迹是(　　)
A.平面 B.直线
C.线段,但只含1个端点 D.圆
6.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有(　　)
A.BD1∥GH
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
(第6题图)
7.(多选题)[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个说法正确的是(　　)
(第7题图)
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
8.[探究点一]一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为P1A,P4D,P2C,P2B的中点,点P1,P2,P3,P4折起后重合为点P,在此几何体中,给出下面五个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是　　　　　.
9.[探究点二]如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=　　　　.
10.[探究点一]如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:
(1)GH∥平面ABC;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
11.[探究点一]已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
12.[探究点三]如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB 若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
B级关键能力提升练
13.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为(　　)
A.2 B.2
C.2 D.4
14.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则=(　　)
A. B. C. D.
15.(多选题)正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,下列结论正确的有(　　)
A.BM∥平面ADE
B.CN∥AF
C.平面BDM∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
16.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=　　　　　,ED与AF相交于点H,则GH=　　　　　.
17.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:
(1)GE∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
C级学科素养创新练
18.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F为AD的中点,E是线段PD上的一点.
(1)若E为PD的中点,求证:平面CEF∥平面PAB;
(2)当点E在什么位置时,PB∥平面ACE
8.5.3　平面与平面平行
1.D　
如图,在正方体ABCD-EFGH中,设平面ADHE为α,平面ABCD为β,
显然平面α中有无数条直线与平面β平行,但α∩β=AD,故A,B错误;
又FG∥α,FG∥β,但α∩β=AD,故C错误;
由平面与平面平行的判定定理可知D正确.
故选D.
2.C　平面α内的两条直线a,b分别平行于平面β内的两条直线c,d,若直线a,b相交且这两条直线平行于平面β,则可得这两个平面平行;
若直线a,b平行,则平面α与β可能相交也可能平行.
故选C.
3.B　如图,选项A,B,C,D分别对应图1、图2、图3、图4.
对于A,BC'与B'C相交,截面BDC'与B'D'C相交,故A错误;
对于B,截面A'BC'与ACD'平行.
理由如下:因为A'D'∥BC,A'D'=BC,所以四边形BCD'A'为平行四边形,
所以A'B∥D'C,又A'B 平面A'BC',D'C 平面A'BC',
所以D'C∥平面A'BC',
同理可得AC∥平面A'BC',AC∩D'C=C,AC,D'C 平面ACD',所以平面A'BC'∥平面ACD',故B正确;
对于C,截面B'D'D与BDA'相交于点D,故C错误;
对于D,A'D与AD'相交,截面A'DC'与AD'C相交,故D错误.
故选B.
4.A　如图,取DG的中点M,连接AM,FM,
则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM,且DE=FM.
∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,
∴AB∥DE,∴AB∥FM.
又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.又BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,
∴BF∥平面ACGD,选项A正确.
选项B不一定成立,选项C不一定成立,选项D不成立.
故选A.
5.C　∵平面BDM∥平面AA1C1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面AA1C1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过点D作DE∥A1C1交B1C1于点E(图略),则点M的轨迹是线段DE(不包括点D).
6.D　易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误.
易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误.
因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误.
因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1,选项D正确.故选D.
7.AC　∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1.
∵FG 平面AA1D1D,AD1 平面AA1D1D,
∴FG∥平面AA1D1D,故选项A正确.
∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,
∴EF与平面BC1D1相交,故选项B错误.
∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1,
∵FG 平面BC1D1,BC1 平面BC1D1,
∴FG∥平面BC1D1,故选项C正确.
∵EF与平面BC1D1相交,
∴平面EFG与平面BC1D1相交,故选项D错误.
故选AC.
8.①②③④　把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.
9.　由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',.
10.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1.又因为BC∥B1C1,所以GH∥BC.因为GH 平面ABC,BC 平面ABC,所以GH∥平面ABC.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.
又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,G为A1B1的中点,
所以A1G∥EB,A1G=EB,
即四边形A1EBG为平行四边形.
所以A1E∥BG.
因为EF∥BC,EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
因为A1E∥BG,A1E 平面BCHG,BG 平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.
又因为EF,A1E 平面EFA1,且EF∩A1E=E,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
11.证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,
∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.
而BP 平面PBC,NQ 平面PBC,∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD,
∴MQ∥BC,而BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.
12.解
存在.点Q在梯形ABCD的中位线GH上,理由如下:
取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.
因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FG∥PA.
因为FG 平面PAB,PA 平面PAB,所以FG∥平面PAB.
因为AB∥CD,EF∥CD,所以EF∥AB,而EF 平面PAB,AB 平面PAB,所以EF∥平面PAB.
因为EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD,所以点Q∈GH.
所以点Q在梯形ABCD的中位线GH上.
13.C　
由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.
又因为正方体的棱长为2,所以A1E=CE=CF=FA1=,所以四边形A1ECF为菱形.
又因为A1C=2,EF=2,
所以截面面积为2.
14.B　在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1,FG,如图.
因为平面AEF∥平面BD1G,平面AEF∩平面BB1D1D=EF,平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1,所以EF∥BD1,于是.
因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,而BG 平面BCC1B1,
所以BG∥平面ADD1A1.
在平面ADD1A1内存在与AF不重合的直线l∥BG,又平面AEF∥平面BD1G,BG 平面BD1G,
所以BG∥平面AEF,在平面AEF内存在与AF不重合的直线m∥BG,从而m∥l.
因为m 平面AEF,l 平面AEF,所以l∥平面AEF,又l 平面ADD1A1,平面AEF∩平面ADD1A1=AF,
所以AF∥l∥BG,BG,AF可确定平面ABGF,
因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ABGF∩平面ABB1A1=AB,平面ABGF∩平面CDD1C1=FG,于是AB∥FG,即有CD∥FG,所以.故选B.
15.ACD　展开图可以折成如图①所示的正方体.
①
②
在正方体中,连接AN,如图②所示.
∵AB∥MN,且AB=MN,
∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.
③
∴BM∥平面ADE.
显然CN⊥AF,∴A正确,B错误.
如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,∴C,D正确.
16.1　　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,且AB=CD.
又E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=FD.
又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,
∴△AEH≌△FDH,∴EH=DH.
∵平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,
∴GH∥PE,则G是PD的中点,即PG=GD,∴λ=1.
∵PA=AB=PB=2,∴PE=,GH=PE=.
17.证明(1)取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=B1C1.
因为BE∥B1C1,且BE=B1C1,
所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB∥GE.
因为OB 平面BDD1B1,GE 平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.
(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.
因为B1D1 平面BDF,BD 平面BDF,
所以B1D1∥平面BDF.
因为HD1 平面BDF,BF 平面BDF,
所以HD1∥平面BDF.
又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.
18.(1)证明因为E,F分别为PD,AD的中点,
所以EF∥PA.
因为EF 平面PAB,PA 平面PAB,所以EF∥平面PAB.
又因为AD=2BC,F为AD的中点,所以AF=BC.
又因为AF∥BC,所以四边形ABCF是平行四边形,
所以CF∥AB.
因为CF 平面PAB,AB 平面PAB,
所以CF∥平面PAB.
又因为EF 平面CEF,CF 平面CEF,EF∩CF=F,
所以平面CEF∥平面PAB.
(2)解如图,连接BD,设AC∩BD=O,连接OE.
因为PB∥平面CEA,PB 平面PDB,平面CEA∩平面PDB=OE,所以OE∥PB,所以.
在梯形ABCD中,AD∥BC,所以△AOD∽△COB.
又AD=2BC,所以,所以.
所以当E为线段PD上靠近点P的三等分点时,PB∥平面ACE.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)