8.6.1　直线与直线垂直--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
A级必备知识基础练
1.[探究点一]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱所在直线中,和AC垂直且异面的直线有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
2.[探究点一·2024江苏常州高一期末]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=,AA1=,则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.(多选题)[探究点一]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是(　　)
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
4.[探究点一]若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为　　　　　.
5.[探究点一]如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为　　　　　.
6.[探究点一]一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论正确的为　　　　　.(填序号)
7.[探究点一]如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=　　　　　.
8.[探究点二]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证:AO1⊥BD.
9.[探究点二·2024天津南开高一月考]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.
B级关键能力提升练
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1各个面的对角线中,与AD1所成的角为60°的有(　　)
A.5条 B.6条 C.8条 D.10条
11.(多选题)如图所示是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是(　　)
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
12.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD,BC所成的角为　　　　　.
13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为　　　　　,直线A1B与AC1所成角的余弦值为　　　　　.
14.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大 最大面积是多少
C级学科素养创新练
15.如图,已知在圆柱OO1中,AB,A1B1分别是☉O,☉O1的直径,且AB∥A1B1.点P在☉O上,BP⊥A1P.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题.
(1)求三棱锥A1-APB的体积.
(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为 若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
1.B　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B.
2.C　如图,连接A1C1.
因为BB1∥A1A,所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角.
因为tan∠A1AC1=,所以∠A1AC1=60°.
故选C.
3.ABD　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E共面,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于点E,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选ABD.
4.60°　∵a∥OA,
∴∠AOB或它的补角为a与OB所成的角,
又∠AOB=120°,
∴a与OB所成角的大小为180°-120°=60°.
∴a与OB所成的角为60°.
5.30°　设G为AD的中点,连接GF,GE,如图.
则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线,∴GF∥AB,且GF=AB=1,GE∥CD,且GE=CD=2,则EF与CD所成的角等于EF与GE所成的角.
又EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF,
则△GEF为直角三角形.GF=1,GE=2,∠GFE=90°,
∴在直角三角形GEF中,sin∠GEF=,∴∠GEF=30°.
∴EF与CD所成的角为30°.
6.①③　如图,把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,可知AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
7.5　
如图,取AD的中点P,连接PM,PN.
则BD∥PM,AC∥PN,
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角),
∴∠MPN=90°,PN=AC=4,PM=BD=3,∴MN=5.
8.证明
如图,连接B1D1,AD1,AB1.
∵几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1∥DD1,BB1=DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴B1D1∥BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
易证AB1=AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心,
∴O1为B1D1的中点,∴AO1⊥B1D1,∴AO1⊥BD.
9.证明如图,取CD1的中点G,连接EG,DG.
∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.
∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又A1A=AB,∴四边形ABB1A1是正方形,则四边形CDD1C1也是正方形,又G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,
∴∠DGD1=90°,∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.
∴CD1⊥EF.
10.C　由图可知△AB1D1和△AD1C均是等边三角形,所以B1D1,AB1,CD1,AC与AD1成60°角.根据平行关系,可知BD,C1D,A1B,A1C1也与AD1成60°角,故满足题意的面对角线共有8条,故选C.
11.BCD　
如图,把平面展开图还原成正四面体,知GH与EF为异面直线,A错误;
BD与MN为异面直线,B正确;
GH∥AD,MN∥AF,而∠DAF=60°,
∴∠GHM=60°,∴GH与MN成60°角,C正确;
把正四面体ADEF补成一个正方体,易证DE⊥AF,
又MN∥AF,∴DE与MN垂直,D正确.
故选BCD.
12.
60°　如图,取AC的中点为H,连接EH,HF,则易得EH∥BC,FH∥AD,所以∠EHF就是异面直线AD,BC所成的角(或所成角的补角).
因为AD=BC=2,所以EH=HF=1,则△EHF是等腰三角形,又EF=,所以cos∠EHF==-,
因为0°<∠EHF<180°,所以∠EHF=120°,则异面直线AD,BC所成的角为60°.
13.
90°　　如图所示,连接AB1,在△AA1B1与△AA1C1中,
∵AA1=AA1,A1B1=A1C1,∠AA1B1=∠AA1C1=120°,
∴△AA1B1≌△AA1C1,
∴AC1=AB1,又E是B1C1的中点,∴AE⊥B1C1,又BC∥B1C1,
∴AE⊥BC,即直线AE与BC所成的角为90°.
如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,AD.
由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1或其补角就是异面直线A1B与AC1所成的角.设AB=a,
∵AA1与AC,AB所成的角均为60°,且AB=AC=AA1,
∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos 30°=a.
又∠BAC=90°,∴在矩形ABDC中,AD=a,
∴A1D1=a,
∴A1+A1B2=B,∴∠BA1D1=90°,
∴在Rt△BA1D1中,cos ∠A1BD1=.
14.解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.
设AE∶AB=x,则=x.又BC=a,
∴EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).
∴S四边形EFGH=EF×EH×sin 60°=ax×a(1-x)a2(-x2+x)=a2.
当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.
15.解(1)由题意,得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π,解得AA1=3.
由OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,BP=2,AP=2,
∴△PAB的面积S△PAB=2×2=2,
∴三棱锥A1-APB的体积S△PAB·AA1=23=2.
(2)当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
证明如下:
∵O,M分别为AB,AP的中点,
∴OM∥BP.
又BP⊥A1P,即∠A1PB=90°,
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.
∵AA1=3,AB=4,AA1⊥AB,∴A1B=5.
又BP⊥A1P,∴cos ∠A1BP=,
∴当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
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