8.6.2　直线与平面垂直--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
8.6.2　直线与平面垂直
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知直线m,b,c,平面α,下列条件中,能使直线m⊥α的是(　　)
A.m⊥b,m⊥c,b α,c α
B.m⊥b,b∥α
C.m∩b=A,b⊥α
D.m∥b,b⊥α
2.[探究点二]如图,如果MC垂直于菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是(　　)
A.平行
B.垂直且相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
3.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　)
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
4.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是　　　　　.(填“平行”或“垂直”)
6.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为　　　　　.
7.[探究点一·2024海南三亚高一检测]如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2AB=4,BC=2,AC=2,D为棱PC的中点,证明:BC⊥平面PAB.
8.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.
9.[探究点三、四·2024江苏无锡高一测试]如图,AB是圆柱OO1的一条母线,BC是底面的一条直径,D是圆O上一点,且AB=BC=5,CD=3.
(1)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值;
(2)求点B到平面ACD的距离.
B级关键能力提升练
10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是(　　)
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
11.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是(　　)
A.EF与AD所成角的正切值为
B.EF与AD所成角的正切值为
C.AB与面ACD所成角的余弦值为
D.AB与面ACD所成角的余弦值为
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为(　　)
A.2 B.7 C. D.
13.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则(　　)
A.在折起的过程中始终有AD⊥平面BDC'
B.三棱锥A-DC'C的体积的最大值为
C.当∠C'DC=60°时,点A到C'C的距离为
D.当∠C'DC=90°时,点C到平面ADC'的距离为
14.如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
15.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,有下列结论:①PB⊥AE;②直线BC∥平面PAE;③∠PDA=45°.
其中正确的有　　　　.(把所有正确结论的序号都填上)
16. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.
(1)求证:AE⊥BC;
(2)求点A1到平面ABE的距离.
17. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:
(1)MN∥平面PAD;
(2)AB⊥MN.
C级学科素养创新练
18.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是　　　　.
①FM与BC1所成角为45°;
②BM⊥平面CC1F;
③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;
④三棱锥B-CFE的体积为定值.
19.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥平面PAB;
(3)设AB=BC=,求三棱锥P-AEF的体积.
8.6.2　直线与平面垂直
1.D　对于A,缺少b与c相交的条件,A错误;对于B,还可能得出m∥α,m与α相交或m α,B错误;对于C,可能有m∥α或m α或m与α相交,C错误.D正确.
2.C　连接AC(图略),因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3.C　取BD的中点O,连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.
又BD,AC异面,故选C.
4.C　如图,连接AC.
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.
∵AC=,PA=,
∴tan∠PCA=.∴∠PCA=60°.
5.垂直　∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.
∵BB1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥BB1.
又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.
6.　
如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.
∵底面△A'B'C'是正三角形,
∴C'D⊥A'B'.
∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.
又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',
故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.
等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=,
在Rt△BB'C'中,BC'=,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.
7.证明在△ABC中,AB=2,BC=2,AC=2,则AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB.
又PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以BC⊥PA.
因为PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
8.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.
又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.
又因为BP==2=BC,
F是PC的中点,所以BF⊥PC.
又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.
因为BE 平面BEF,所以PC⊥BE.
9.解(1)∵AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,∴AB⊥CD.
∵BC是底面圆的一条直径,∴BD⊥CD.
又BD 平面ABD,AB 平面ABD,BD∩AB=B,
∴CD⊥平面ABD.
∴∠CAD是直线AC与平面ABD所成的角.
∵AB=BC=5,∴AC=5,
∴sin∠CAD=.
(2)过点B作BM⊥AD,垂足为M.
由(1)得CD⊥平面ABD,BM 平面ABD,
∴CD⊥BM,
又AD∩CD=D,AD,CD 平面ACD,
∴BM⊥平面ACD.
∵BD==4,∴AD=.
AD·BM=AB·BD,
∴BM=.
即点B到平面ACD的距离为.
10.ABC　由于BD∥B1D1,BD 平面CB1D1,B1D1 平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;
因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;
可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,
所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;
由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.
11.
BC　设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.
因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.
所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.
在三角形EFG中,EG=1,FG=,
由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,
又因为AH,HD 平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.
因为AD 平面ADH,所以BC⊥AD,
所以EG⊥FG,
所以tan∠EFG=,所以A错误,B正确.
过点B作BO垂直AF,垂足为O.
因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF 平面ABF,所以CD⊥平面ABF.
因为BO 平面ABF,所以CD⊥BO.
因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD 平面ACD,所以BO⊥平面ACD.
所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.
由题得BF=,AF=2,AB=3,所以cos∠BAO=,所以C正确,D错误.
12.A　如图所示,连接CM.
因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.
由条件知BC=4,故CM的最小值为2,又PC=4,则PM的最小值为=2.
13.ABCD　因为AD⊥BD,AD⊥DC',且BD∩DC'=D,BD,DC' 平面BDC',所以AD⊥平面BDC',故A正确;
当DC'⊥DC时,△DC'C的面积最大,此时三棱锥A-DC'C的体积也最大,最大值为,故B正确;
当∠C'DC=60°时,△DC'C是等边三角形.
设C'C的中点为E,连接AE,DE,因为AC=AC',所以AE⊥C'C,即AE的长度为点A到C'C的距离,AE=,故C正确;
当∠C'DC=90°时,CD⊥DC',CD⊥AD,故CD⊥平面ADC',则CD的长度就是点C到平面ADC'的距离,则CD=,故D正确.
14.C　连接CH(图略),∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,∴PC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB,∴AB⊥PC.
∵AB⊥PH,PH∩PC=P,PH,PC 平面PCH,∴AB⊥平面PCH.
又CH 平面PCH,∴AB⊥CH.
同理BC⊥AH,AC⊥BH.
∴H为△ABC的垂心.
15.①③　对于①,因为PA⊥平面ABC,AE 平面ABC,所以PA⊥AE,又AE⊥AB,PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB,从而可得AE⊥PB,故①正确.
对于②,由于在正六边形中,BC∥AD,所以BC与AE必有公共点,从而BC与平面PAE有公共点,所以直线BC与平面PAE不平行,故②不正确.
对于③,因为PA⊥平面ABC,AD 平面ABC,所以PA⊥AD,所以△PAD是直角三角形.又PA=2AB=AD,所以∠PDA=45°,故③正确.
16.(1)证明因为AC=BC=,AB=2,
所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.
因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC 平面ABC,所以AA1⊥BC,
又AA1∩AC=A,AA1 平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又因为AE 平面ACC1A1,所以AE⊥BC.
(2)解设点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,
在△ABE中,AE=BE=,AB=2,则EO⊥AB,
所以EO=.
所以△ABE的面积为2.
因为,
所以S△ABE×h=BC,
所以h=2,解得h=,
所以点A1到平面ABE的距离为.
17.
证明(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,
∴NQ=CD,NQ∥CD.
∵M是AB的中点,
∴AM=AB=CD.
又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.
∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.
∵MN 平面PAD,AQ 平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
∴AB⊥平面PAD,又AQ 平面PAD,∴AB⊥AQ.
又∵AQ∥MN,∴AB⊥MN.
18.②④　连接A1B,BC1,图略.
对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,∴FM∥AC,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,∴异面直线FM与BC1所成的角为∠A1C1B,
在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B为等边三角形,则∠A1C1B=60°,故①错误;
对于②,∵BC=CD,CM=DF,∠BCM=∠CDF,
∴△BCM≌△CDF,
∴∠BMC+∠DCF=90°,∴BM⊥CF,
又因为CC1⊥平面ABCD,且BM 平面ABCD,所以CC1⊥BM,因为CF∩CC1=C,所以BM⊥平面CC1F,故②正确;
对于③,若平面BEF∥平面CC1D1D,因为平面CC1D1D∥平面AA1B1B,所以平面BEF∥平面AA1B1B,但平面BEF与平面AA1B1B有公共点B,故③错误;
对于④,VB-CFE=VE-BCF=S△BCF·AA1=BC·AB·AA1=(定值),故④正确.
19.(1)证明取PA的中点N,连接NF,DN,
∵N,F分别为PA,PB的中点,∴FN∥AB且FN=AB.
∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB且CD=AB.
∵E为CD的中点,
∴DE∥AB且DE=AB,∴DE∥FN且DE=FN,
∴四边形DEFN为平行四边形,故EF∥DN.
∵EF 平面PAD,DN 平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(2)证明∵PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
∴AB⊥PD.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥AD.
∵PD∩AD=D,∴AB⊥平面PAD.
∵DN 平面PAD,∴DN⊥AB.
∵AD=PD,N为PA的中点,∴DN⊥PA.
∵AB∩PA=A,∴DN⊥平面PAB.∵EF∥DN,
∴EF⊥平面PAB.
(3)解连接BE,则点E到AB的距离等于AD,由已知可得PD=AD=BC=1,
S△ABE=AB·AD=.
∵PD⊥平面ABCD,
∴VP-ABE=S△ABE·PD=.
∵F为PB的中点,∴点F到平面ABCD的距离为PD,
∴VF-ABE=S△ABE·PD=,
∴VP-AEF=VP-ABE-VF-ABE=.
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