9.2.1　总体取值规律的估计 9.2.2　总体百分位数的估计--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
9.2　用样本估计总体
9.2.1　总体取值规律的估计　9.2.2　总体百分位数的估计
A级必备知识基础练
1.[探究点一]某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为:[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4人;[100,110),8人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),6人;[140,150),2人.则分数在[100,130)中的频数以及频率分别为(　　)
A.25,0.56 B.20,0.56
C.25,0.50 D.13,0.29
2.[探究点一(角度2)·2024安徽亳州高一期末]如图所示为某企业员工年龄(单位:岁)的频率分布直方图,从左到右依次为第一组、第二组、…、第五组,若第五组的员工有80人,则第二组的员工人数为(　　)
A.140 B.240
C.280 D.320
3.[探究点二]某农村不断自主创新,拓宽村民增收渠道,近年来取得了显著成效.据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍,为了更好地了解该村经济收入变化情况,统计了该村两年的经济收入构成比例,得到如图所示的条形图和扇形图.以下说法错误的是(　　)
2022年收入构成比例
2023年收入构成比例
A.2023年“种植收入”和2022年“种植收入”一样多
B.2023年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比2022年的全年总收入还多
C.2023年“外出务工收入”是2022年“外出务工收入”的
D.2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多
4.[探究点三]某位学生8次数学成绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85,则该学生这8次成绩的第75百分位数为(　　)
A.85 B.85.5 C.87 D.88.5
5.[探究点一(角度1)]为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难,班上的20名同学捐出了自己的零花钱.他们捐款数(单位:元)如下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图,以表彰他们的爱心.制图时先计算最大值与最小值的差是　　　　　.若取组距为2,则应分成　　　　　组;若第一组的起点定为18.5,则在[26.5,28.5)内的频数为　　　　　.
6.[探究点一(角度2)]统计某校1 000名学生的数学测试成绩,得到样本的频率分布直方图如图所示,规定不低于60分为及格,不低于80分为优秀,则估计及格人数是　　　　　;优秀率是　　　　　.
7.[探究点一(角度1)]某电视台播出的《诗词大会》火遍全国,下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示:
组号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 0.1
第2组 [165,170) ①　　　
第3组 [170,175) 20 ②　　　
第4组 [175,180) 20 0.2
第5组 [180,185] 10 0.1
合计 100 1.0
(1)请先求出频率分布表中①,②位置的相应数据,再完成频率分布直方图(用阴影表示).
(2)为了能选拔出最优秀的选手,组委会决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层随机抽样抽取5名选手进入第二轮面试,则第3,4,5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试
B级关键能力提升练
8.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图:
建设前经济收入构成比例
建设后经济收入构成比例
则下面结论不正确的是(　　)
A.新农村建设后,种植收入略有增加
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入不变
D.新农村建设后,种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
9.如图为某国统计局于2023年1月20日发布的2016~2022年全国研发经费总量和研发经费与GDP之比的数据图表,则(　　)
2016~2022年全国研发经费及投入强度情况
A.研发经费总量的平均数超过23 000亿元
B.研发经费总量的中位数为19 678亿元
C.研发经费与GDP之比的极差为0.45%
D.研发经费与GDP之比增幅最大的是2021年到2022年
10.(多选题)已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法不正确的是(　　)
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
11.已知30个数据的第60百分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是　　　　　　.
12.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为　　　　;
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数约为　　　　岁.
13.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年11月11日的网购金额,所得数据如下表:
网购金额(单位:千元) 人数 频率
[0,1) 16 0.08
[1,2) 24 0.12
[2,3) x p
[3,4) y q
[4,5) 16 0.08
[5,6] 14 0.07
合计 200 1.00
已知网购金额小于3千元与不小于3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);
(2)估计网购金额的第25百分位数(结果精确到0.001).
C级学科素养创新练
14.首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试,在联考结束后,根据联考成绩,考生可了解自己的学习情况,作出升学规划,决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中,某学校为了解高三学生的联考情况,随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本,并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分组,绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例);
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数.
9.2　用样本估计总体
9.2.1　总体取值规律的估计
9.2.2　总体百分位数的估计
1.A　由题意知该班总人数为2+6+4+8+12+5+6+2=45,其中成绩在[100,130)的人数为8+12+5=25,故分数在[100,130)中的频数为25,频率为≈0.56.
2.C　由已知得5(a+0.06+0.04+0.02+0.01)=1,所以a=0.07,因为第五组的员工人数为80,所以第二组的员工人数为80=280.
故选C.
3.C　设2022年总收入为m,则2023年总收入为2m.
对于A,2022年“种植收入”为0.4m,2023年“种植收入”为0.2×2m=0.4m,A正确;
对于B,2023年“养殖收入”和“第三产业收入”之和为0.35×2m+0.2×2m=1.1m,B正确;
对于C,2022年“外出务工收入”为0.15m,2023年“外出务工收入”为0.05×2m=0.1m,
是2022年“外出务工收入”的,C错误;
对于D,2022年“其他收入”为0.15m,2023年“其他收入”为0.2×2m=0.4m,由于0.4m>2×0.15m,故2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多,D正确.
故选C.
4.D　8次的数学成绩由小到大排列为81,82,84,85,86,87,90,92,
因为8×75%=6,故第75百分位数为=88.5.
故选D.
5.11　6　5　由题意知,极差为30-19=11;因为组距为2,=5.5不是整数,所以取6组;捐款数落在[26.5,28.5)内的有27,27,28,28,27共5个,因此频数为5.
6.800　20%　及格率是1-(0.005+0.015)×10=0.8,所以估计及格人数是1 000×0.8=800,优秀率是(0.01+0.01)×10=0.2=20%.
7.解(1)第1组的频数为100×0.1=10,所以①位置填100-10-20-20-10=40,对应频率0.4;
②位置填=0.2,由此补全频率分布表如下:
组号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 10 0.1
第2组 [165,170) 40 0.4
第3组 [170,175) 20 0.2
第4组 [175,180) 20 0.2
第5组 [180,185] 10 0.1
合计 100 1.0
由此画出频率分布直方图如下.
(2)第3,4,5组的频率之比为0.200∶0.200∶0.100=2∶2∶1,所以第3,4,5组分别抽取2人,2人,1人.
8.C　因为该地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,不妨设建设前的经济收入为m,则建设后的经济收入为2m,
A选项,从扇形统计图中可以看到,新农村建设后,种植收入比建设前增加2m×37%-m×60%=m×14%,故A正确;
B选项,新农村建设后,其他收入比建设前增加2m×5%-m×4%=m×6%>m×4%,即增加了一倍以上,故B正确;
C选项,养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同,但建设后总收入为之前的2倍,所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍,故C错误;
D选项,新农村建设后,种植收入在经济收入中所占比重由建设前的60%降为37%,故D正确.
故选C.
9.C　对于选项A,研发经费总量的平均数为(15 677+17 606+19 678+22 144+24 393+27 956+30 870)≈22 617.7,所以A错误;
对于选项B,研发经费总量的中位数为22 144亿元,所以B错误;
对于选项C,研发经费与GDP之比的极差为2.55%-2.10%=0.45%,所以C正确;
对于选项D,研发经费与GDP之比增幅最大的是2019年到2020年,所以D错误.
故选C.
10.ABD　因为75=75为整数,所以第75个数据和76个数据的平均数为第75百分位数,是9.3,则C正确,其他选项均不对,故选ABD.
11.8.6　由60=18,设第19个数据为x,则=8.2,解得x=8.6,即第19个数据是8.6.
12.(1)0.04　(2)39　(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.
(2)由图可知,年龄小于35岁的频率为(0.01+0.04+0.07)×5=0.6,年龄小于40岁的频率为(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9,
所以志愿者年龄的85%分位数在[35,40)内,
因此志愿者年龄的85%分位数为35+5≈39(岁).
13.解(1)根据题意有
解得
所以p=0.4,q=0.25.
补全频率分布直方图如图所示.
(2)由(1)可知,网购金额小于2千元的频率为0.08+0.12=0.2,网购金额小于3千元的频率为0.2+0.4=0.6,所以网购金额的第25百分位数在[2,3)内,设网购金额的第25百分位数为x,则0.2+(x-2)×0.4=0.25,解得x=2.125(千元).
14.解(1)由(0.004+a+0.013+0.014+0.016)×20=1,得a=0.003,
则及格率为(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%.
(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004+0.013+0.016)×20=0.66,得分在130分以下的学生所占比例为0.66+0.014×20=0.94,所以第80百分位数位于[110,130)内,由110+20=120,估计第80百分位数为120.
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