9.2.3　总体集中趋势的估计 9.2.4　总体离散程度的估计--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
9.2.3　总体集中趋势的估计　9.2.4　总体离散程度的估计
A级必备知识基础练
1.[探究点一]某趟车某时刻从始发站驶往终点站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为(　　)
A.170 B.165 C.160 D.150
2.[探究点二]某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)
A.,s2+1002 B.+100,s2+1002
C.,s2 D.+100,s2
3.(多选题)[探究点三]某市今年夏天迎来罕见的高温天气,当地气象部门统计进入八月份以来连续10天(8月1日至8月10日)中每天的最高气温和最低气温,得到如下的折线图.
根据该图,关于这10天的气温,下列说法正确的有(　　)
A.最高气温的众数为38 ℃
B.最低气温的平均数为29 ℃
C.8月4日的温差最大
D.最高气温的极差大于最低气温的极差
4.(多选题)[探究点二·2024安徽蚌埠高一期末]在某次调查中,利用分层随机抽样选取了25名学生的测试得分,其中15名男生得分的平均数为75,方差为6,其余10名女生的得分分别为67,69,71,67,71,73,72,72,69,69,则下列选项正确的是(　　)
A.女生得分的平均数小于75
B.女生得分的方差大于6
C.女生得分的第70百分位数是71.5
D.25名学生得分的方差为11.2
5.[探究点三·2024云南昆明高一期末]我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出.某市政府为了制定居民节约用水相关政策,抽样调查了该市200户居民月均用水量(单位:t),绘制成频率分布直方图如图,则下列说法不正确的是(　　)
A.图中矩形ABCD的面积为0.24
B.该市居民月均用水量众数约为6 t
C.该市大约有85%的居民月均用水量不超过19 t
D.这200户居民月均用水量的中位数大于平均数
6.[探究点二]抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　　　　　.
7.[探究点二·人教B版教材例题]计算下列各组数的平均数与方差:
(1)18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5;
(2)2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6.
8.[探究点三·人教B版教材例题]某射击运动员一次射击训练的成绩可以整理成如图所示的统计图表,试计算这次成绩的平均数与方差.
B级关键能力提升练
9.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格.若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中不正确的是(　　)
A.成绩在[70,80)内的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1 000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D.考生竞赛成绩的中位数为75
10.如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图.根据频率分布直方图,求出自学时间的中位数和众数的估计值(精确到0.01)分别是(　　)
A.2.20　2.25 B.2.29　2.20
C.2.29　2.25 D.2.25　2.25
11.已知某7个数的平均数为3,方差为s2,现又加入一个新数据3,此时这8个数的平均数为,方差为,则(　　)
A.=3,s2=2 B.=3,s2=4
C.=3,s2=28 D.=3,s2=
12.下列说法正确的是(　　)
A.有甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层随机抽样调查,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为30
B.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲
C.数据1,2,3,4,4,5的平均数、众数、中位数相同
D.某单位A,B,C三个部门平均年龄为38岁、24岁和42岁,又A,B两部门人员平均年龄为30岁,B,C两部门人员平均年龄为34岁,则该单位全体人员的平均年龄为35岁
13.已知一组样本数据x1,x2,…,x5的方差为10,且x1+x3=x2+x4,则样本数据x1-1,x2+1,x3-1,x4+1,x5的方差为(　　)
A.9.2 B.10.8
C.9.75 D.10.25
14.(多选题)若数据x1,x2,…,x10的平均数为2,方差为3,则(　　)
A.数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的平均数为20
B.xi=20
C.数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的标准差为3
D.=70
15.(多选题)如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图,则(　　)
A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为,则
B.若甲、乙射击成绩的方差分别为,则
C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
D.乙比甲的射击成绩稳定
16.(多选题)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分,分值高者为优),绘制如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造能力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述正确的是(　　)
A.乙的记忆能力优于甲
B.乙的观察能力优于创造能力
C.甲的六大能力整体水平优于乙
D.甲的六大能力比乙均衡
17.已知一组正数x1,x2,x3,x4的方差s2=-16),则数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为　　　　.
18.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂的产量分布如图所示.现用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为　　　　;测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时,980小时,1 030小时,估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为　　　　小时.
19.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,求这组数据.(结果按从小到大排列)
C级学科素养创新练
20.某校高一(1)(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如下表:
班级 平均分 众数 中位数 标准差
高一(1)班 79 70 87 19.8
高一(2)班 79 70 79 5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析:
高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了.”
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.
9.2.3　总体集中趋势的估计
9.2.4　总体离散程度的估计
1.D　数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、中位数、平均数的和为150,故选D.
2.D　由题意知yi=xi+100,
则(x1+x2+…+x10+100×10)=(x1+x2+…+x10)+100=+100,方差s2={[(x1+100)-(+100)]2+[(x2+100)-(+100)]2+…+[(x10+100)-(+100)]2}=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2.故选D.
3.BC　由题图知,最高气温的众数为37 ℃,故A错误;最低气温的平均数为=29 ℃,故B正确;
这10天的温差分别为9 ℃,7 ℃,9 ℃,12 ℃,9 ℃,10 ℃,10 ℃,7 ℃,8 ℃,8 ℃,
则温差最大的为8月4日,故C正确;
最高气温的极差为39-37=2 ℃,最低气温的极差为31-27=4 ℃,故D错误.故选BC.
4.ACD　A项,女生得分的平均数:
(67+69+71+67+71+73+72+72+69+69)=70<75,故A正确;
B项,女生得分的方差:
[2×(67-70)2+3×(69-70)2+2×(71-70)2+2×(72-70)2+(73-70)2]=4<6,故B错误;
C项,将女生得分从小到大排列:67,67,69,69,69,71,71,72,72,73,
女生得分的第70百分位数:=71.5,C正确;
D项,25名学生得分的平均数:=73,
25名学生得分的方差:=11.2,D正确.
故选ACD.
5.D　由4(0.01+0.075+a+0.045+0.03+0.02+0.01)=1,可得a=0.06,
所以矩形ABCD的面积是4×0.06=0.24,故A正确;
由题意可知该市居民月均用水量众数约为=6,故B正确;
由题意可得该市居民月均用水量不超过19 t的频率为4×(0.01+0.075+0.06+0.045)+(19-16)×0.03=0.76+0.09=0.85,故C正确;
设200户居民月均用水量的中位数为x1,
因为第一个矩形的面积为0.04,第二个矩形的面积为0.3,第三个矩形的面积为0.24,
所以中位数x1∈[8,12],
则x1=8+=8+.
这200户居民月均用水量的平均数=4×0.01×2+4×0.075×6+4×0.06×10+4×0.045×14+4×0.03×18+4×0.02×22+4×0.01×26=11.76,
因为<11<11.76,所以这200户居民月均用水量的中位数小于平均数,故D不正确.
故选D.
6.2　由图表中甲、乙两位射击运动员的训练成绩得
=90,
=90.
方差
=4,
=2.
所以乙运动员的成绩较稳定,且方差为2.
7.解(1)将每一个数乘10,再减去190,可得-1,5,5,2,0,-2,5.
这组新数的平均数为(-1+5+5+2+0-2+5)=2,
方差为[(-1-2)2+(5-2)2+(5-2)2+(2-2)2+(0-2)2+(-2-2)2+(5-2)2]=8.
由此可知,所求平均数为19.2,方差为8=0.08.
(2)可将数据整理为
x 2 3 4 5 6
频数 3 4 5 6 2
每一个数都减去4可得
x-4 -2 -1 0 1 2
频数 3 4 5 6 2
这组数的平均数与方差分别为[(-2)×3+(-1)×4+0×5+1×6+2×2]=0,
[(-2)2×3+(-1)2×4+02×5+12×6+22×2]=.
因此,所求平均数为4,方差为.
8.解设运动员共射击了n次,则由题图可知,射中7环与10环的次数均为0.2n,射中8环与9环的次数均为0.3n,因此平均数为=0.2×7+0.3×8+0.3×9+0.2×10=8.5.
方差为0.2×(7-8.5)2+0.3×(8-8.5)2+0.3×(9-8.5)2+0.2×(10-8.5)2=1.05.
9.D　由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;
由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,因此,不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B正确;
由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正确;
因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10≈71.67,故D错误.
10.C　由频率分布直方图得,自学时间在[0.5,2)内的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35,自学时间在[2,2.5)内的频率为0.52×0.5=0.26,所以自学时间的中位数为2+0.5≈2.29,众数为=2.25.故选C.
11.B　∵这7个数的平均数为3,方差为s2,现又加入一个新数据3,此时这8个数的平均数为,方差为,
=3,由方差公式得[7s2+(3-3)2],
所以s2=8=4.
故选B.
12.D　对于选项A,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为=18,故选项A说法错误;
对于选项B,乙组数据的平均数为=7,
方差为[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=,
因为乙组数据的方差比甲组数据的方差小,所以这两组数据中较稳定的是乙,故选项B说法错误;
对于选项C,数据1,2,3,4,4,5的平均数为,众数为4,中位数为,故选项C说法错误;
对于选项D,设A,B,C三个部门的人数为a,b,c,则有
=30,化简得a=,
=34,化简得c=,
所以该单位全体人员的平均年龄为=35岁,故选项D说法正确.
故选D.
13.B　设样本数据x1,x2,…,x5的平均数为,则=10.
因为样本数据x1-1,x2+1,x3-1,x4+1,x5的平均数也为,
所以]=(-x1+x2-x3+x4)+0.8=10.8.
故选B.
14.BCD　因为数据x1,x2,…,x10的平均数为2,所以数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的平均数为3×2+2=8,故选项A错误;xi=10×2=20,故选项B正确;数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的方差为32×3=27,所以数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的标准差为3,故选项C正确;由方差的计算公式可得,=10×3+10×22=70,故选项D正确.
15.CD　甲射击测试中6次命中环数为:6,7,8,9,9,10,乙射击测试中6次命中环数为:5,5,6,7,7,7,甲、乙射击成绩的平均数分别为,甲、乙射击成绩的方差分别为,则(9+10+6+7+9+8)≈8.17,(6+7+5+5+7+7)≈6.17,所以,故选项A错误;由折线图可以看出,乙的射击成绩比甲的射击成绩波动小,所以,乙比甲的射击成绩稳定,故选项B错误,选项D正确;甲射击成绩的中位数为=8.5,乙射击成绩的中位数为=6.5,故选项C正确.
16.BCD　由六维能力雷达图,知乙的记忆能力指标值是4,甲的记忆能力指标值是5,故甲的记忆能力优于乙的记忆能力,故A错误;乙的创造能力指标值是3,观察能力指标值是4,故乙的观察能力优于创造能力,故B正确;甲的六大能力之和为25,乙的六大能力之和为24,所以甲的六大能力整体水平优于乙,故C正确;甲的六大能力指标值的方差大于乙的六大能力指标值的方差,所以甲的六大能力比乙均衡,D正确.
17.4　由题意可得s2=(xi-)2=-4,则=4,由于x1,x2,x3,x4均为正数,则其平均数>0,=2.
故数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为'=(xi+2)=xi+2=+2=4.
18.50　1 015　由分层随机抽样可知,
第一分厂应抽取100×50%=50(件).
由样本的平均数估计总体的平均数,可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%+980×20%+1 030×30%=1 015(小时).
19.解假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,则
又s=
=
==1,
∴(x1-2)2+(x2-2)2=2.
同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2.
由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为方程(x-2)2+(y-2)2=2的解,分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.
20.解(1)由高一(1)班成绩的中位数是87可知,85分排在25名以后,从名次上讲并不能说85分在班里是上游,但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏.小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游.
(2)高一(1)班成绩的中位数是87,说明高于87分的人数占一半左右,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分者很多,两极分化严重,建议对学习差的学生给予帮助.
高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79,标准差较小,说明学生成绩之间的差别也较小,学习差的学生较少,但学习优秀的学生也很少,建议采取措施提高优秀学生的人数.
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