10.1.2　事件的关系和运算--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
10.1.2　事件的关系和运算
A级必备知识基础练
1.[探究点二]给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则(　　)
A.A B
B.A B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
2.[探究点一]某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名参加演讲比赛,设A={2名全是男生},B={2名全是女生},C={恰有1名男生},D={至少有1名男生},则下列关系不正确的是(　　)
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
3.[探究点三]某人打靶3次,设事件Ai=“击中i次”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示(　　)
A.全部击中 B.至少有1次击中
C.至少有2次击中 D.全部未击中
4.[探究点二]一个人打靶时连续射击3次,则事件“至少有两次中靶”的对立事件为(　　)
A.至多有一次中靶 B.至多有两次中靶
C.恰好有一次中靶 D.三次都中靶
5.[探究点二]掷一枚骰子,设事件A=“落地时向上的点数是奇数”,B=“落地时向上的点数是3的倍数”,C=“落地时向上的点数是2”,D=“落地时向上的点数是2的倍数”,则下列说法错误的是(　　)
A.A和B有可能同时发生
B.A和D是对立事件
C.B和C是对立事件
D.A和C是互斥事件
6.[探究点一]一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:
事件A:恰有1件次品;
事件B:至少有2件次品;
事件C:至少有1件次品;
事件D:至多有1件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号有(　　)
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
7.[探究点三]在随机抛掷一颗骰子的试验中,事件A=“出现不大于4的偶数点”,事件B=“出现小于6的点数”,则事件A∪的含义为　　　　　,事件A∩B的含义为　　　　　.
8.[探究点三]某射手进行射击测试,设A=“射中10环”,B=“射中9环”,C=“射中8环”.
(1)“射中10环或9环”可表示为　　　　;
(2)“不够8环”可表示为　　　　　　　　.
9.[探究点二]某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有　　　　　.(填序号)
①“恰有1名男生”和“全是男生”;
②“至少有一名男生”和“至少有一名女生”;
③“至少有一名男生”和“全是男生”;
④“至少有一名男生”和“全是女生”.
10.[探究点一·2024甘肃天水高二检测]抛掷一枚硬币3次,记“至少有一次正面向上”为事件A,“一次正面向上,两次反面向上”为事件B,“两次正面向上,一次反面向上”为事件C,“至少一次反面向上”为事件D,“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B,C,E的关系;
(2)试求AD,B∪C所包含的样本点,并判断AD与B∪C的关系.
B级关键能力提升练
11.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为(　　)
A.一个是5点,另一个是6点
B.一个是5点,另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
12.[2024安徽合肥高一段考]一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的3个黄球和4个蓝球,从口袋内任取3个球,那么互斥不对立的事件是(　　)
A.“恰有一个黄球”与“恰有一个蓝球”
B.“至少有一个黄球”与“都是黄球”
C.“至少有一个黄球”与“都是蓝球”
D.“至少有一个黄球”与“至少有一个蓝球”
13.从1,2,3,4,5中任取2个数,设事件A=“2个数都为偶数”,B=“2个数都为奇数”,C=“至少1个数为奇数”,D=“至多1个数为奇数”,则下列结论正确的是(　　)
A.A与B是互斥事件
B.A与C是互斥但不对立事件
C.B与D是互斥但不对立事件
D.C与D是对立事件
14.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},下列关系不正确的是(　　)
A.A D
B.B∩D=
C.A∪C=D
D.A∪B=B∪D
15.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为　　　　,拨号不超过3次而接通电话可表示为　　　　　　　　　　　　　.
16.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是　　　　.
①A与C互斥　②B与C互斥　③任何两个均互斥　④任何两个均不互斥
C级学科素养创新练
17.某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20位顾客可参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能参加一次这个活动.记事件A=“获得不多于30元菜品或饮品”.
(1)求事件A包含的基本事件;
(2)写出事件A的对立事件,以及一个与事件A互斥的事件.
10.1.2　事件的关系和运算
1.C　由互斥事件的定义知C正确.
2.D　至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生,故A D,A∪C=D,故A,C正确;
事件B与D是互斥事件,故B∩D= ,故B正确;
A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生,B∪D表示2名全是女生或2名至少有1名男生,故A∪B≠B∪D,D错误.
故选D.
3.B　A1∪A2∪A3表示的是A1,A2,A3这3个事件中至少有1个发生,即至少有1次击中,故选B.
4.A　由题意,事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”.故选A.
5.C　依题意,事件A={1,3,5},B={3,6},C={2},D={2,4,6},
对于A,因为A∩B={3},所以A正确;
对于B,事件A和D不能同时发生,但必有一个发生,则A和D是对立事件,B正确;
对于C,事件B和C不能同时发生,但可以同时不发生,则B和C不是对立事件,C错误;
对于D,事件A和C不能同时发生,它们是互斥事件,D正确.
故选C.
6.A　事件A∪B表示的事件:至少有1件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B= ,③不正确;事件A∩D表示的事件:恰有1件次品,即事件A,所以④不正确.
7.出现2,4,6点　出现2,4点　易知=“出现6点”,则A∪=“出现2,4,6点”,A∩B=“出现2,4点”.
8.(1)A∪B　(2)
9.①④　①是互斥事件,“恰有一名男生”的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生,它与“全是男生”不可能同时发生;②不是互斥事件;③不是互斥事件;④是互斥事件,“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生.
10.解(1)事件A为“至少有一次正面向上”,包含“一次正面向上,两次反面向上”“两次正面向上,一次反面向上”“3次都正面向上”三个样本点,所以B A,C A,E A,A=B∪C∪E.
(2)“至少一次反面向上”为事件D,包含“一次正面向上,两次反面向上”“两次正面向上,一次反面向上”“3次都反面向上”三个样本点,可以看出事件A与事件D有相同的两个样本点,即“一次正面向上,两次反面向上”“两次正面向上,一次反面向上”,所以AD=B∪C.
11.C　同时掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个,“都不是5点且都不是6点”包含16个,其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.
12.A　从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,不同的样本点有以下4个:
①3个球全是黄球;
②2个黄球1个蓝球;
③1个黄球2个蓝球;
④3个球全是蓝球.
对于A,“恰有一个黄球”是③,“恰有一个蓝球”是②,
∴“恰有一个黄球”与“恰有一个蓝球”是互斥不对立的事件,故A正确;
对于B,“至少有一个黄球”包括①②③,“都是黄球”是①,
∴“至少有一个黄球”与“都是黄球”能同时发生,不是互斥事件,故B错误;
对于C,“至少有一个黄球”包括①②③,“都是蓝球”是④,
∴“至少有一个黄球”与“都是蓝球”是对立事件,故C错误;
对于D,“至少有一个黄球”包括①②③,“至少有一个蓝球”包括②③④,∴“至少有一个黄球”与“至少有一个蓝球”能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
故选A.
13.A　根据题意得,
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},
A={(2,4)},B={(1,3),(1,5),(3,5)},
C={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},
D={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),(2,5),(4,5),(2,4)},
则A∩B= ,所以A与B是互斥事件,A正确;
A∩C= ,A∪C=Ω,所以A与C是互斥且对立事件,B错误;
B∩D= ,B∪D=Ω,所以B与D是互斥且对立事件,C错误;
C∩D={(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),(2,5),(4,5)},所以C与D不是对立事件,D错误.
故选A.
14.D　用(x1,x2)表示试验的结果,其中x1表示第1次射击的情况,x2表示第2次射击的情况,以1表示击中,0表示没中,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
由题意得A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)},
则A D,A∪C=D,且B∩D= ,即ABC都正确;
又B∪D=Ω,A∪B={(0,0),(1,1)}≠Ω,
所以A∪B≠B∪D,故D不正确.
故选D.
15. A3　A1∪A2∪A3
16.①③④　从一批产品中取出三件产品,
设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,
在①中,A与C能同时发生,∴A与C不是互斥事件,故①错误;
在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②正确;
在③中,A与C不是互斥事件,故③错误;
在④中,B与C互斥,故④错误.
17.解(1)事件A包含的基本事件为{获得10元菜品或饮品},{获得20元菜品或饮品},{获得30元菜品或饮品}.
(2)事件A的对立事件是=“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”,与事件A互斥的一个事件为“获得40元菜品或饮品”.
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