10.1.3　古典概型--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
10.1.3　古典概型
A级必备知识基础练
1.[探究点一]下列试验是古典概型的是(　　)
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径
C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况
D.某人射击中靶或不中靶
2.[探究点二·2024湖北咸宁高二月考]某工厂从三名男工人和两名女工人中选出两人参加技能大赛,则这两名工人恰好都是男工人的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3.[探究点二]从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点二]算盘起源于中国,是中国传统的计算工具.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横一梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠,则表示的数字大于50的概率为(　　)
图1
图2
A. B.
C. D.
5.[探究点二]将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面朝上的概率是　　　　　.
6.[探究点二]在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是　　　　　.
7.[探究点二]甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
8.[探究点三·2024辽宁沈阳高一期末]某市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂,涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、亲子阅读等丰富的活动.公益课堂共开设24期,近200名少年儿童受益.从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查(满分100分),将问卷调查结果按[68,72),[72,76),[76,80),[80,84),[84,88),[88,92),[92,96),[96,100]分成八组,并绘制成频率分布直方图,如图所示.
(1)求a的值,并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若从样本中问卷调查结果在[88,92)和[96,100]内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童,求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.
B级关键能力提升练
9.某中学举行党史学习教育知识竞赛,甲队有A,B,C,D,E,F共6名选手,其中4名男生2名女生,按照比赛规则,比赛时现场从中随机抽出2名选手答题,则至少有1名女同学被选中的概率是(　　)
A. B. C. D.
10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为(　　)
A. B. C. D.
11.某考试方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为(　　)
A. B. C. D.
12.《史记》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马劣于齐王的上等马,优于齐王的中等马,田忌的中等马劣于齐王的中等马,优于齐王的下等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现两人进行赛马比赛,比赛规则为:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马,则比赛结束时,田忌得2分的概率为(　　)
A. B. C. D.
13.(多选题)下列试验是古典概型的是(　　)
A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率
14.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(　　)
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
15.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　　　.
16.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b17.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为　　　　　.
18.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
C级学科素养创新练
19.(多选题)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
20.某药厂测试一种新药的疗效,随机选择1 200名志愿者服用此药,结果如下:
治疗效果 病情好转 疗效不时显 病情恶化
人数 800 200 200
现拟采用分层随机抽样的方法从服用此药的1 200名志愿者中抽取6人组成样本,并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会,求抽取的3人病情都未恶化的概率.
10.1.3　古典概型
1.C　只有C具有古典概型两个特征.
2.C　三名男工人记为A,B,C,两名女工人记为a,b,试验的样本空间Ω={AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共10个样本点,
选出的两人恰好都是男工人的事件M={AB,AC,BC},共3个样本点,所以选出的这两名工人恰好都是男工人的概率P(M)=.
故选C.
3.B　从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是.
4.B　拨动图1算盘中的两枚算珠,有两类办法,
第一类,只在一个档拨动两枚算珠,共有4种方法,表示的数字分别为2,6,20,60;
第二类,在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法,表示的数字分别为11,15,51,55.
所以表示不同整数的个数为8,
其中表示的数字大于50的有51,55,60,共3个,
所以表示的数字大于50的概率为.故选B.
5.　试验共有8个基本结果:(正,正,正),(反,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),(反,反,反),其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个,故所求的概率是.
6.　用列举法知,可重复地选取两个数共有16种基本结果,其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),共4种,故所求的概率为.
7.解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.
设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.
(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.
设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=.
8.解(1)由题意得4×(0.010+0.020+0.050+0.050+0.075+0.020+a+0.010)=1,解得a=0.015.
估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数为4×(70×0.010+74×0.020+78×0.050+82×0.050+86×0.075+90×0.020+94×0.015+98×0.010)=83.28.
(2)依题意可得在[88,92)内抽取的人数为0.020×4×50=4,
设所抽取的人为a,b,c,d,
在[96,100]内抽取的人数为0.010×4×50=2,设所抽取的人为A,B,
则从中随机抽取2名少年儿童的样本空间Ω={ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB},共15个样本点,
其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组包含的样本点是ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB,共7个.
故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率为.
9.D　现场选2名选手,共有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)15种情况,不妨设A,B,C,D四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况共6个,则至少有一名女同学被选中的概率为.
故选D.
10.D　不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为.
11.B　按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,地理),(物理,化学,政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,地理),(历史,化学,政治),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率P=.
故选B.
12.C　设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上、中、下三个等次的马分别为A,B,C,双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛,所有的可能为
Aa,Bb,Cc,田忌得0分;
Aa,Bc,Cb,田忌得1分;
Ba,Ab,Cc,田忌得1分;
Ba,Ac,Cb,田忌得1分;
Ca,Ab,Bc,田忌得2分;
Ca,Ac,Bb,田忌得1分.
田忌得2分的概率为P=.
故选C.
13.BD
14.ACD　记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.
15.　从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=.
16.　a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为P=.
17.　从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.
“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和B1不全被选中的概率为.
18.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},即样本点的总数为16,记A=“xy≤3”,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记B=“xy≥8”,C=“3则事件B包含的样本点共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),
所以P(B)=.
事件C包含的样本点共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=.
因为,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
19.BC　由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=.
20.解采用分层随机抽样的方法,从病情好转的志愿者中抽4人,从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本.
将6人中病情恶化的1人用符号A代替,其余5人分别用1,2,3,4,5代替,
则从6人中任意抽取3人的样本点表示如下:(A,1,2),(A,1,3),(A,1,4),(A,1,5),(A,2,3),(A,2,4),(A,2,5),(A,3,4),(A,3,5),(A,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共20个样本点.
其中没有抽到病情恶化的志愿者的样本点为(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共10个样本点,因此抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为.
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