10.2　事件的相互独立性--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第二册
10.2　事件的相互独立性
A级必备知识基础练
1.[探究点二]甲、乙两人练习射击,甲击中目标的概率为0.9,乙击中目标的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则他们都击中的概率是(　　)
A.0.3 B.0.63 C.0.7 D.0.9
2.[探究点二]一个学生通过一种英语能力测试的概率是,他连续测试两次,这两次测试互不影响,那么其中恰有一次通过的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.[探究点三]社区开展“军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.[探究点三]甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛,若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为,且三人是否获得一等奖相互独立,则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5.[探究点二]事件分别是事件A,B的对立事件,如果事件A,B相互独立,那么以下四个式子一定成立的是　　　　　　.(填写所有成立的式子序号)
①P(A∪B)=P(A)+P(B)
②P(B)=P()P(B)
③P()=[1-P(A)][1-P(B)]
④P()=P()+P()
6.[探究点三]有一道数学难题,在半小时内,甲能独立解决的概率是,乙能独立解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未能解决的概率为　　　　,问题得到解决的概率为　　　　.
7.[探究点一·苏教版教材例题]一只不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球.
(1)“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
(2)“从口袋内无放回地抽取2个球,第一次抽到红球”记为事件A,“从口袋内无放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”记为事件B.
试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件.
B级关键能力提升练
8.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(　　)
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球中恰有1个红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球不都是红球的概率为
9.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是(　　)
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为
D.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为p+q-2pq
10.如图,用A,B,C三个不同的元件连接成一个系统N.当元件C正常工作且元件A,B至少有一个正常工作时,系统N正常工作.已知元件A,B,C正常工作的概率依次为0.8,0.7,0.9,A,B,C是否正常工作互不影响,则系统N能正常工作的概率为　　　　.
11.事件A,B,C相互独立,若P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=　　　　　,P(B)=　　　　　.
12.甲、乙2人进行定点投篮游戏,在1次投篮中投进的概率分别为0.7,0.6,且各次投篮是否投进相互独立,各人投篮是否投进相互独立,每人各投篮1次为“一轮游戏”.
(1)在一轮游戏中,求2人共投进1球的概率;
(2)在两轮游戏中,求2人共投进1球的概率.
C级学科素养创新练
13.如图所示,用A,B,C,D四种不同的元件分别连接成两个系统M,N.当元件A,B都正常工作或元件C正常工作或元件D正常工作时,系统M正常工作;当元件A,B都正常工作或元件B,D都正常工作或元件C正常工作时,系统N正常工作.已知A,B,C,D四种元件正常工作的概率分别为0.5,0.9,0.7,0.8,且各元件是否正常工作是彼此独立的.试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理.
10.2　事件的相互独立性
1.B　设甲击中为事件A,乙击中为事件B,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.9×0.7=0.63.
故选B.
2.C　由题意知,恰有一次通过的概率为1-+1-.
3.C　由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C.
4.D　设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是P(A)=,P(B)=,P(C)=,
则不获一等奖的概率分别是P()=1-,P()=1-,P()=1-,
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=,这三人都获得一等奖的概率为P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)=,
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率P=.
故选D.
5.②③　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故①不一定成立;
由事件的相互独立的定义可得与B,相互独立,所以P(B)=P()P(B),P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)],故②③正确;
P()=P()+P()-P(),故④不一定成立.
6.　甲、乙两人都未能解决的概率为1-×1-=.
问题得到解决就是至少有1人能解决问题,
∴P=1-.
7.解(方法1)(1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},A={(1,1),(1,2),(1,3)},B={(1,2),(2,2),(3,2)}.
若A发生,则B发生的概率为;
若A不发生,则B发生的概率为.
可见,事件A发生与否不影响事件B发生的概率,因此,A,B相互独立.
(2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1,2,3,则Ω,A,B可分别表示为Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}.
若A发生,则B发生的概率为;
若A不发生,则B发生的概率为.
可见,事件A发生与否影响事件B发生的概率,因此,A,B不相互独立.
(方法2)(1)P(A)=,P(B)=.
又因为AB={(1,2)},所以P(AB)=,从而P(AB)=P(A)P(B).
因此,A,B为相互独立事件.
(2)因为P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)≠P(A)P(B).
因此,A,B不是相互独立事件.
8.BC　对于A,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,所以2个球都是红球的概率为,故A错误.
对于B,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,所以2个球中恰有1个红球的概率为1-+1-,故B正确.
对于C,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,所以至少有1个红球的概率为1-+1-,故C正确.
对于D,因为从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,所以2个球不都是红球的概率为1-,故D错误.
故选BC.
9.ACD　对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-2,故A正确.对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能单独破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B错误.对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确.对于D,恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.故D选项正确.
10.0.846　系统N能正常工作,则A,B至少有1个能正常工作且C能正常工作,所以系统N能正常工作的概率为(0.8×0.3+0.2×0.7+0.8×0.7)×0.9=0.846.
11.　∵P(AB)=P(AB)P()=P()=,
∴P()=,即P(C)=.
又P(C)=P()P(C)=,
∴P()=,P(B)=.
又P(AB)=,则P(A)=,
∴P(B)=P()P(B)=.
12.解(1)记一次投篮中“甲投进”为事件A,“乙投进”为事件B,“在一轮游戏中,2人共投进1球”为事件C,
则C=AB,且A与B相互独立,AB互斥,
又P(A)=0.7,P(B)=0.6,所以P(C)=P(A)+P(B)=0.7×0.4+0.3×0.6=0.46,所以在一轮游戏中,2人共投进1球的概率为0.46.
(2)记“在两轮游戏中,2人共投进1球”为事件D,则D=CC,CC互斥,
所以P(D)=P(C)+P(C)=0.46×0.3×0.4+0.3×0.4×0.46=0.055 2+0.055 2=0.110 4,
所以,在两轮游戏中,2人共投进1球的概率为0.110 4.
13.解由题意知,元件A正常工作的概率p1=0.5,元件B正常工作的概率p2=0.9,元件C正常工作的概率p3=0.7,元件D正常工作的概率p4=0.8.
则系统M正常工作的概率为1-(1-p1p2)(1-p3)(1-p4)=1-(1-0.5×0.9)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.967,系统N正常工作的概率为1-{1-[1-(1-p1)(1-p4)]·p2}·(1-p3)=1-[1-(1-0.5×0.2)×0.9]×0.3=0.943.
因为0.967>0.943,所以系统M的连接方式更为合理.
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