第2章　一元二次函数、方程和不等式 习题课　基本不等式的应用--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

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2025人教A版数学必修第一册
习题课　基本不等式的应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)]下列最小值为4的是(　　)
A.y=x+ B.y=2t+
C.y=4t+(t>0) D.y=t+
2.[探究点一(角度1)]当x>0时,y=的最小值为(　　)
A.2 B.2-1
C.2+1 D.4
3.[探究点一(角度2)·2024广东东莞高一期中]已知x>0,y>0,且=1,则x+4y的最小值是(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
4.[探究点一(角度1)·2024河南商丘高一期中]已知x>-1,则x+的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
5.[探究点一(角度2)]已知正实数a,b满足2a+b-9ab=0,则a+2b的最小值为(　　)
A.3 B.1
C.9 D.
6.[探究点一(角度3)]已知x>0,y>0,且xy+2x+y=6,则2x+y的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
7.[探究点二]某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(　　)
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
8.[探究点二]一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　 h.
9.[探究点一(角度1)]当x>-1时,x+(t>0)的最小值为3,则实数t的值为　　　　　;
当x>0时,x+的最小值为　　　　　.
10.[探究点一(角度2)·2024重庆沙坪坝高一期末]已知a>0,b>0,a+b=1,则的最大值为　　　　　.
11.[探究点二]运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低 并求出最低总费用.
B级　关键能力提升练
12.[2024河南信阳高一月考]当x>a时,2x+的最小值为10,则a=(　　)
A.1 B.
C.2 D.4
13.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式≥m恒成立,则m的最大值为(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
14.若两个正实数x,y满足=1,且不等式x+A.-1B.m<-4
C.m>4
D.m<0或m>3
15.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,下列叙述正确的是(　　)
A.xy最大值为
B.4x2+y2的最小值为
C.的最小值为4
D.的最小值为4
16.设y=x+(a>0).当x>2时,y存在最小值,则满足条件的一个a的值为　　　　　.
17.经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有如下关系:y=(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度为　　　　　千米/时时车流量最大,最大车流量为　　　　　千辆/时(精确到0.01).
18.已知x>-1,则的最小值是　　　　　　　　　.
19.已知实数x>0,y>0,则的最小值是　　　　　.
C级　学科素养创新练
20.[2024山西高一统考期末]已知正数a,b满足a+2b=6,则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
21.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体为每平方米400元,左右两面新建墙体为每平方米150元,屋顶和地面以及其他共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
答案：
1.C　A项中,当x=-1时,y=-5<4;B项中,当t=-1时,y=-3<4;C项中,∵t>0,∴y=4t+≥2=4,当且仅当t=时,等号成立;D项中,当t=-1时,y=-2<4.
故选C.
2.C　因为x>0,则y==x++1≥2+1=2+1,当且仅当x=,即x=时,等号成立,所以y=的最小值为2+1.故选C.
3.C　由题得x>0,y>0,x+4y=(x+4y)()=1++4≥5+2=5+4=9,当且仅当,即x=2y,x=3,y=时,等号成立.故选C.
4.B　因为x>-1,所以x+1>0,由基本不等式,x+=(x+1)+-1≥2-1=4-1=3,当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,故x+的最小值为3.故选B.
5.B　因为2a+b-9ab=0,变形得=9.
由题意a+2b==1,当且仅当,即a=b=时,等号成立.故选B.
6.A　已知x>0,y>0,且xy+2x+y=6,y=,2x+y=2x+=2(x+1)+-4≥2-4=4,当且仅当2(x+1)=,即x=1时,等号成立,故2x+y的最小值为4.故选A.
7.A　设仓库到车站的距离为d千米,则y1=,y2=k2d,由题意知2=,8=10k2,
∴k1=20,k2=0.8.∴y1+y2=+0.8d≥2=8,当且仅当=0.8d,即d=5时,等号成立.
8.10　由题意,可知第一辆汽车出发 h后,最后一辆汽车出发,最后一辆汽车驶完全程需要 h,所以一共需要()h,由基本不等式,得≥2=10,当且仅当,即v=80时,等号成立,故最少需要10 h.
9.4　　当x>-1时,x+1>0,则x+=(x+1)+-1≥2-1,当且仅当x+1=时,等号成立,则x+的最小值为2-1,则有2-1=3,解得t=4.
∵x>0,∴x+>0,x+=x+=x+≥2,
当且仅当x+,即x=时,等号成立.
10.5-2　由已知a>0,b>0,a+b=1,则,而=()(a+b)=+5≥2+5=5+2,当且仅当时,等号成立,故的最大值为=5-2.
11.解(1)设这次行车所用时间为t=小时,则y=×6×+14×x,50≤x≤100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=x,50≤x≤100.
(2)y=x≥,当且仅当x,即x=2时,等号成立.又2<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低总费用为y=×50=(元).
12.A　当x>a时,x-a>0,所以2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=8+2a,即8+2a=10,故a=1.故选A.
13.B　由已知得=()(2a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=b=时,等号成立.所以的最小值为9,又因为≥m恒成立,所以m≤9,即m的最大值为9.
14.C　由已知得x+=2+≥2+2=4,当且仅当4x=y=8时,等号成立.又不等式x+4.
15.ABC　xy=×2xy≤,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故A正确;4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy≤,则4x2+y2=1-4xy≥1-4×,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故B正确;(2x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故C正确;(2x+y)=+2,当且仅当,即x=y=时,等号成立,故D错误.故选ABC.
16.5(答案不唯一,只要a>4即可)　由基本不等式得x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时等号成立,故>2,即a>4.填大于4的任意一个值都符合题意.
17.40　11.08　依题意得y=≈11.08.当且仅当v=时,等号成立,此时v=40,车流量最大,最大车流量为11.08千辆/时.
18.3　因为x>-1,x+1>0,所以=(x+1)+-1≥2-1=3.当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,所以的最小值是3.
19.3　,令t=>0,则+t=1+t+-1≥2-1=3,当且仅当1+t=,即t=1,x=y时,等号成立.故的最小值为3.
20.C　因为a+2b=6,所以a+2+2b+2=10,
所以)(a+2+2b+2)
=[5+]≥[5+2]=,当且仅当2b+2=2(a+2),即a=,b=时,等号成立.故选C.
21.解(1)设甲工程队的总报价为y元,则由题得,y=3(150×2x+400×)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6),900(x+)+7 200≥900×2×+7 200=14 400.当且仅当x=,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.
(2)由题意可得,当2≤x≤6时,900(x+)+7 200>恒成立,即,
∴a<=(x+1)++6,又x+1++6≥2+6=12,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.
∴a的取值范围为{a|021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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